Теплопроводность

 

 

3 Теплопроводность плоской стенки

 

3.1 Однородная стенка

Рассмотрим однородную стенку толщиной δ (рис. 1), коэффициент теплопроводности λ, которой постоянен. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t₁ и t₂. Температура изменяется только в направлении оси х. В этом случае температурное поле одномерно, изотермические поверхности плоские и располагаются перпендикулярно оси х.

На расстоянии х выделим внутри стенки слой толщиной dx, ограниченный двумя изотермическими поверхностями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1 – Теплопроводность через плоскую однородную стенку

 

На основании закона Фурье [уравнение (1-1)] для этого случая можно написать

 

                       

    или   ,                                 (1)

 

Плотность теплового потока q при стационарном тепловом режиме постоянна в каждом сечении, поэтому

 

                                  ,                                                    (2)                                                     

 

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий, а именно при   х = 0 t = t₁ = С, а при х = δ t = t₂. Подставляя эти значения в уравнение (2), имеем

 

                                     

,                                              (3)                             

 

Из уравнения (3) определяется неизвестное значение плотности теплового потока q, а именно

 

                                    

,                                           (4)

 

Следовательно, количество теплоты, переданное через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ. и разности температур наружных поверхностей Δt и обратно пропорционально толщине стенки δ.

Уравнение (4) является расчетной формулой теплопроводности плоской стенки. Оно связывает между собой четыре величины: q, λ, δ и Δt. Зная из них любые три, можно найти четвертую

         

                                        

   и   ,                            (5) 

 

Отношение λ/ δ называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина δ/λ - термическим сопротивлением. Последнее определяет падение температуры в стенке на единицу плотности теплового потока.

Если в уравнение (2) подставить найденные значения С и плотности теплового потока q, то получим уравнение температурной кривой

 

                                          ,                                                  (6)           

                               

Последнее показывает, что  при постоянном значении коэффициента теплопроводности температура однородной стенки. изменяется по линейному закону. В действительности же вследствие своей зависимости от температуры коэффициент теплопроводности является переменной величиной. Если это обстоятельство учесть, то получим иные, более сложные расчетные формулы.

Для подавляющего большинства  материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры имеет линейный характер вида λ = λ₀(1 + bt). В этом случае на основании закона Фурье для плоской стенки имеем

 

                                        

,                                 (7)

 

Разделив переменные и произведя интегрирование, получим

 

                   ,                                 (8)

 

Подставляя в уравнение (8) граничные значения переменных, имеем при х=0  t=t₁

 

                                            ,                                  (9)    

 

и при x=σ  t=t₂              

 

                                 ,                                (10)

 

                                      

                                     }                        (11)

 

   

Новая расчетная формула (6) несколько сложнее формулы (4). Там мы принимали коэффициент теплопроводности постоянным и равным некоторому среднему значению λ_m. Приравнивая друг другу правая часть этих формул, имеем

 

                 

,                                    (12)

 

 

Следовательно, если λ_m определяется по среднеарифметическому из граничных значений температур стенок, то формулы (4) и (6) равнозначны.

С учетом зависимости коэффициента теплопроводности λ от температуры уравнение температурной кривой в стенке получается путем решения уравнения (6) относительно t и подстановки значения С, а именно

 

                     

                                 (13)

 

Следовательно, в этом случае температура стенки изменяется не линейно, а по кривой. При этом если коэффициент b положителен, выпуклость кривой направлена вверх, а если b отрицателен – вниз.

 

 

3. 2 Многослойная стенка

Стенки, состоящие из нескольких разнородных слоев, называются многослойными. Именно такими являются, например, стены жилых домов, в которых на основном кирпичном слое с одной стороны имеется внутренняя штукатурка, с другой – внешняя облицовка. Обмуровка печей, котлов и других тепловых устройств также обычно состоит из нескольких слоев.

Пусть стенка состоит  из трех разнородных, но плотно прилегающих  друг к другу слоев (рис. 1-8). Толщина первого слоя δ₁ второго δ₂ и третьего δ₃ . Соответственно коэффициенты  теплопроводности слоев λ₁, λ₂ и λ_3. Кроме того, известны температуры наружных поверхностей стенки t₁ и t₄. Тепловой контакт между поверхностями предполагается идеальным, температуру в местах контакта мы обозначим через t₂ и t₃.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2 – Теплопроводность через  плоскую многослойную стенку

 

При стационарном режиме плотность  теплового потока постоянна и  для всех слоев одинакова. Поэтому на основании уравнения (4) можно написать

 

}                                         (14)

 

Из этих уравнений  легко определить температурные  напоры в каждом слое

}                                           (15)

 

Сумма температурных  напоров в каждом слое составляет полный температурный напор. Складывая  левые и правые части системы  уравнений (15), получаем

 

                                                         (16)

 

Из соотношения (16) определяем значение плотности теплового потока

                       

                                  

                                         (17)

 

По аналогии с изложенным можно сразу написать расчетную формулу для n-слойной стенки

 

                                 

                                            (18)

 

Так как каждое слагаемое знаменателя в формуле (17) представляет собой термическое сопротивление слоя, то из уравнения (18) следует, что общее термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме частных термических сопротивлений.

Если значение плотности  теплового потока из уравнения (17) подставить в уравнение (15), то получим значения неизвестных температур t ₂ и t ₃

 

 ,  

 

   ,                   (19)

 

.

 

Внутри каждого слоя температура изменяется по прямой, но для многослойной стенки в целом  она представляет собой ломаную  линию (рис. 2).

Значения неизвестных  температур t₂ и t_з многослойной стенки можно определить также графически (рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3 – График определения неизвестных температур t₂ и t₃ многослойной стенки

 

При построении графика  по оси абсцисс в любом масштабе, но в порядке расположения слоев, откладываются значения их термических сопротивлений δ₁/λ₁, δ₂/λ₂ и δ₃/λ₃, восстанавливаются перпендикуляры. На крайних из них также в произвольном, но одинаковом масштабе, откладываются значения наружных температур t₁ и t₄. Полученные точки А и С соединяются прямой. Точки пересечения этой прямой со средними перпендикулярами дают значения искомых температур t₂ и t_з. При таком построении ΔАВС =ΔАDЕ.

Иногда ради сокращения выкладок многослойную стенку рассчитывают как однослойную (однородную) толщиной Δ. При этом в расчет вводится так называемый эквивалентный коэффициент теплопроводности λ_эк, который определяется из соотношения

 

                    (20)

 

 

Отсюда имеем

 

              (21)

 

 

Для n-слойной стенки

 

                                    (22)

 

Таким образом, эквивалентный коэффициент  теплопроводности λ_эк зависит только от значений термических сопротивлений и толщины отдельных слоев.

При выводе расчетной формулы для многослойной стенки мы предполагали, что слои плотно прилегают друг к другу и благодаря идеальному тепловому контакту соприкасающиеся поверхности разных слоев имеют одну и ту же температуру. Однако если поверхности шероховаты, тесное соприкосновение невозможно и между слоями образуются воздушные зазоры. Так как теплопроводность воздуха мала [λ = 0,025 Вт/(м·°С)], то наличие даже очень тонких зазоров может сильно повлиять в сторону уменьшения эквивалентного коэффициента теплопроводности многослойной стенки. Аналогичное влияние оказывает и слой окисла металла. Поэтому при расчете и в особенности при измерении теплопроводности многослойной стенки следует обращать внимание на плотность контакта между слоями.

 

4 Теплопроводность цилиндрической стенки

 

4.1 Однородная стенка

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной l, с внутренним радиусом r₁ и внешним r₂. Коэффициент теплопроводности материала λ постоянен. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах t₁ и t₂, причем t₁>t₂ (рис. 1-11) и температура изменяется только в радиальном направлении r. Следовательно, температурное поле здесь будет одномерным, а изотермические поверхности цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной dr, ограниченный изотермическими поверхностями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4 – Теплопроводность через цилиндрическую однородную стенку

 

Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу  времени через этот слой, равно

 

 ,                         (23)

 

Разделив переменные, имеем

 

 

                                      (24)

 

После интегрирования уравнения

 

                                                                                 (25)

 

 

Подставляя значения переменных на границах стенки (при r = r₁ t = t₁ и при r = r₂ t = t₂) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу

 

 

                              (26)

 

Следовательно, количество теплоты, переданное в единицу времени через стенку трубы, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ, длине l и температурному напору Δt,_. и обратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего диаметра трубы d₂ к внутреннему d₁. Формула (26) справедлива и для случая, когда t₁ < t₂, т. е. когда тепловой поток направлен от наружной поверхности к внутренней.

Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины 1, либо к единице внутренней F₁ или внешней F₂ поверхности трубы. При этом расчетные формулы соответственно принимают следующий вид

 

 

,                             (27)

 

,                         (28)

 

 ,                       (29)

 

Так как площади внутренней и внешней поверхностей трубы  различны, то различными получаются и  значения плотностей тепловых потоков q₁ и q₂. Взаимная связь между ними определяется соотношением

 

                                  (30)                      

 

или             

                                                                                 (31)

 

Уравнение температурной  кривой внутри однородной цилиндрической стенки выводится из уравнения (25). Подставляя сюда значения Q и С, имеем

 

 

                    (32)

 

 

Следовательно, в этом случае при постоянном значении коэффициента теплопроводности λ температура  изменяется по логарифмической кривой (рис. 4). С учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры уравнение температурной кривой принимает следующий вид