Теория вероятности

 

Контрольная работа № 1

1.

 

В книге В. Феллера «Введение в теорию вероятностей» 500 страниц. Чему равна вероятность того, что открытая наугад страница будет иметь номер, кратный 9?

 

Решение:

Находим количество чисел кратных 9 из 500, т.е. = 55,55. Таким

 

образом, количество благоприятных исходов равно m=55, при этом общее число исходов n=500. Используя классическое определение вероятности, находим вероятность того, что открытая наугад страница будет иметь номер кратный 9:

P =

= 0,11.

Ответ: P 0,11.

 

 

2.

 

При записи фамилий членов некоторого собрания, общее число которых 420, оказалось, что начальной буквой фамилии у 10 человек была буква «А», у 6 человек – «Е», у 9 человек – «И», у 12 человек – «О», у 5 человек «У» и у 3 человек «Ю». У остальных фамилии начинались с согласной буквы. Найти вероятность того, что фамилия члена данного собрания начинается с согласной буквы.

 

Решение:

 

Подсчитаем число человек с фамилией начинающейся на гласную: 10+6+9+12+5+3=45. Тогда число человек с фамилией начинающейся на согласную букву m=420-45=375. По классическому определению вероятностей находим вероятность что, фамилия выбранного члена собрания начинается с согласной буквы:

P =

= 0,893.

Ответ: P 0,893.

 

3.

 

Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наугад. Какова вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места? Как изменится вероятность, если известно, что последняя цифра – нечетная?

 

Решение:

 

Имеется 10 цифр и соответственно, 10 возможностей набора последней цифры телефонного номера.

Найдем вероятность того, что нужная цифра будет набрана с первой попытки:

P1 = .

Найдем вероятность того, что нужная цифра будет набрана со второй попытки:

P2 = * = .

В данном случае воспользовались теоремой умножения вероятностей и тем обстоятельством, что неправильная цифра может быть выбрана 9 способами из 10, а правильная – одним способом из 9.

Найдем вероятность того, что нужная цифра будет набрана с третьей попытки:

P3 = * * = .

 

Используя теорему сложения вероятностей, находим искомую вероятность:

P(A) = P1 + P2 + P3 = + + = = 0,3

Если известно, что последняя цифра нечетная, то будет пять возможностей набора последней цифры телефонного номера, что в два раза меньше, следовательно, вероятность набрать правильную цифру в два раза больше P(B) = 0,6. Проверим это математически:

 

Найдем вероятность того, что нужная цифра будет набрана с первой попытки:

 

 = .

Найдем вероятность того, что нужная цифра будет набрана со второй попытки:

 

= * = .

Найдем вероятность того, что нужная цифра будет набрана с третьей попытки:

 

= * * = .

В результате:

 

= + + = + + = = 0,6.

Ответ: P = 0,3; = 0,6.

 

4.

 

Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% случаев, ненормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме составляет 0.1, в ненормальном режиме – 0.7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.

 

Решение:

 

С событием А={прибор вышел из строя за время t}, связано две гипотезы H1={прибор работает в нормально режиме} и H2={прибор работает в ненормальном режиме}. Вероятности этих гипотез: P(H1) = 0,8 и P(H2 ) = 0,2. Условные вероятности события А по отношению к гипотезам:

P(A/H1) = 0,1 и P(A/H2 ) = 0,7. По формуле полной вероятности получаем: P(A) = P(H1)P(A/ H1) + P(H2 )P(A/H2 ) = 0,8×0,1+ 0,2×0,7 = 0,22.

Ответ: P(A) = 0,22.

 

5.

 

Некто заблудился в лесу и вышел на поляну, откуда вело 5 одинаковых дорог. Вероятность выхода из леса за 1 час для различных дорог равны соответственно: 0.6, 0.3, 0.2, 0.1, 0.1. Какова вероятность, что человек пошел по первой дороге, если в течение часа он вышел из леса.

 

Решение:

 

С событием А={человек вышел из леса}, связано пять гипотез H1={пошел по первой дороге}, H2={пошел по второй дороге}, H3={пошел по третьей дороге}, H4={пошел по четвертой дороге} и H5={пошел по пятой дороге}. Вероятности этих гипотез одинаковы и равны: P(H1) = P(H2) = P(H3) = P(H4) = P(H5) = 0,2. Условные вероятности события А по отношению к гипотезам: P(A/H1) = 0,6, P(A/H2) = 0,3, P(A/H3) = 0,2, P(A/H4) = 0,1 и P(A/H5) = 0,1. По формуле Байеса находим вероятность, что человек пошел по первой дороге и вышел из леса:

 

P (H1/A) = = = 0,426

 

Ответ: P (H1/A) = 0,426.