Контрольная работа по «Теория игр»

МИНОБРНАУКИ РФ

ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный  университет»

Институт экономики отраслей, бизнеса и администрирования

Кафедра экономики отраслей и рынков

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Теория  игр»

Вариант № 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                Выполнил: студент гр. 26ЭЗ-201

                                                                                    Кавтрева Ирина Васильевна

                                                                  Проверил: к.т.н., проф. Гельруд Я.Д.

                                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Челябинск

2013

 

Задание 5.1

Поставленные в примере 5.2 ЗЛП решены с использованием ЭВМ 

a=2

ПРЯМАЯ ЗАДАЧА:
	х1	х2	х3	х4	х5
ПЕРЕМЕННЫЕ	0,131707	0	0	0,04878	0,063415
ЦЕЛЕВАЯ Z	0,243902
ОГРАНИЧЕНИЯ	1	1	1	1,473171
ЦЕНА ИГРЫ g (1/Z)	4,1
ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ Р1 (x1*g)	0,54
ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ Р2 (x2*g)	0
ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ Р3 (x3*g)	0
ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ Р4 (x4*g)	0,2
ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ Р5 (x5*g)	0,26

 

ДВОЙСТВЕННАЯ  ЗАДАЧА:
	У1	У2	У3	У4
ПЕРЕМЕННЫЕ	0,097561	0,121951	0,02439	0
ЦЕЛЕВАЯ Z	0,243902
ОГРАНИЧЕНИЯ	1	0,658537	0,682927	1	1
ЦЕНА ИГРЫ g (1/Z)	4,1
ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ q1 (y1*g)	0,4
ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ q2 (y2*g)	0,5
ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ q3 (y3*g)	0,1
ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ q4 (y4*g)	0

 

 

 

 

 

 

Задача № 1.

Директор предприятия А заключает договор с конкурирующей фирмой В о реализации своей продукции на конкретной территории областного центра. Конкурирующие стороны выделили пять районов области. Каждая из них может развивать свое производство в этих пяти районах: A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ – для стороны А и B₁, B₂, B₃, B₄, B₅ – для В. Вероятности успеха для стороны А приведены в платежной матрице:

Ai\Bj	B1	B2	B3	B4	B5
A1	30	70	50	40	60
A2	90	20	10	30	30+2
A3	30+2	40	30	80	60
A4	50	40	30	60	90
A5	20	30	30+2	60	10

Определить оптимальные  стратегии для каждой стороны.

Отчет должен содержать математические модели ЗЛП, составленные для игроков А и В, их решения, оптимальные смешанные стратегии для игроков А и В, цену игры g, выводы, в каких районах предприятие А должно реализовывать свою продукцию и в каких пропорциях, чтобы получить оптимальную прибыль вне зависимости от поведения конкурента В и чему равна эта прибыль.

 

Решение:

Составляем линейное уравнение для стороны А

                                            30x₁+ 90x₂+32x₃+50х₄+20х₅ ≥ 1,

                                            70x₁+ 20x₂+40x₃+40х₄+30х₅ ≥ 1,   

                                            50x₁+ 10x₂+30x₃+30х₄+32х₅ ≥ 1,

                                            40x₁+ 30x₂+80x₃+60х₄+60х₅ ≥ 1,

                                            60x₁+ 32x₂+60x₃+90х₄+10х₅ ≥ 1,   

                                           x₁, x₂,x_3,х_4,х₅ ≥ 0.

 

 

Решаем с помощью  программы  EXCEL, подставляя данные линейного уравнения

переменные	0,02	0,00	0,00	0,00	0,00
целевая	0,02
ограничения	1,00	1,41	1,00	1,00	1,46
цена игры	41,43
p1=	0,71
p2=	0,14
p3=	0,00
p4=	0,14
p5=	0,00

 

2) Составляем линейное уравнение для стороны В

                                            30y₁+ 70y₂+50y₃+40y₄+60y₅ ≤1,

                                            90y₁+ 20y₂+10y₃+30y₄+32y₅ ≤ 1,   

                                            32y₁+ 40y₂+30y₃+80y₄+60y₅ ≤ 1,

                                            50y₁+ 40y₂+30y₃+60y₄+90y₅ ≤ 1,

                                            20y₁+ 30y₂+32y₃+60y₄+10y₅ ≤ 1,   

                                           y₁,y₂,y_3,y_4,y₅ ≥ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

Решаем с помощью  программы  EXCEL , подставляя данные линейного уравнения

переменные	0,01	0,00	0,01	0,00	0,00
целевая	0,02
ограничения	1,00	1,00	0,91	1,00	0,77
цена игры	41,43
g1=	0,36
g2=	0,00
g3=	0,50
g4=	0,14
g5=	0,00

 

Исходя из выше полученных данных можно сделать  вывод: предприятие А развивая производство в первом районе получит успешный результат

 

 

 

 

Задача № 2.

Решить игру, описанную  платежной матрицей для обоих  игроков (матрица приведена для  игрока А).

Аi\Вj	В1	В2	В3	В4	В5
А1	9	2	6	3	5
А2	10	7	2	7	5
А3	5	8	12	2	1
А4	5	6	4	8	2

 

Отчет должен содержать математические модели ЗЛП, составленные для обоих  игроков, полученные в результате решения  на ЭВМ смешанные стратегии для  обоих игроков и цену игры g.

 

 

 

 

 

Решение:

 

1. Для игрока А

                                            9x₁+ 10x₂+5x₃+5х₄ ≥ 1,

                                            2x₁+ 7x₂+8x₃+6х₄ ≥ 1,   

                                            6x₁+ 2x₂+12x₃+4х₄ ≥ 1,

                                            3x₁+ 7x₂+2x₃+8х₄ ≥ 1,

                                            5x₁+ 5x₂+1x₃+2х₄ ≥ 1,   

                                           x₁, x₂,x_3,х₄ ≥ 0.

Решаем   в программе  EXCEL

переменные	0,10	0,09	0,02	0,00	0,00
целевая	0,21
ограничения	1,95	1,00	1,00	1,00	1,00
цена игры	4,69
p1=	0,48
p2=	0,44
p3=	0,08
p4=	0,00

 

 

 

3. Для  Игрока  В.

                                            9y₁+ 2y₂+6y₃+3y₄+5y₅ ≤1,

                                            10y₁+ 7y₂+2y₃+7y₄+5y₅ ≤ 1,   

                                            5y₁+8y₂+12y₃+2y₄+1y₅ ≤ 1,

                                            5y₁+ 6y₂+4y₃+8y₄+2y₅ ≤ 1,

                                              

                                           y₁,y₂,y_3,y_4,y₅ ≥ 0.

Решаем в программе  EXCEL

переменные	0,00	0,04	0,05	0,00	0,13
целевая	0,21
ограничения	1,00	1,00	1,00	0,67
Цена игры	4,69
g1=	0,00
g2=	0,18
g3=	0,22
g4=	0,00
g5=	0,60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 3.

Предлагается три проекта  инвестиций и прогноз получения  доходов за год (дивиденды и повышение  стоимости капитала) при различных  возможных исходах. Как распорядиться  капиталом, чтобы получить наибольший доход, независящий от исходов?

 

Используя данные исходной таблицы 

Составим платежную матрицу:

	В1	В2	В3
А1	100	150	250
А2	100	250	100
А3	250	100	250