Высокочастотные микрофильтры

Министерство образования  и науки России Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский Государственный Технический Университет имени Р.Е. Алексеева Арзамасский политехнический институт (филиал)

 

Кафедра “Авиационные приборы и устройства”

 

 

 

 

 

 

 

Реферат по спецкурсу

 

Тема: «Высокочастотные микрофильтры»

 

 

 

 

 

Выполнил студент: Маслов Сергей

Группа АЗИ 2010-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Арзамас 2013

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ МИКРОФИЛЬТРЫ

Компоненты линий связи

 

При описании механических резонансных характеристик соединительных компонентов, таких как балки, струны и планки, используют те же выражения, что и для традиционных механических фильтров. Хотя микрокомпоненты не всегда ведут себя как элементы нормальных размеров, такой анализ помогает смоделировать поведение системы в целом. Для микрокомпонентов сначала стараются разработать эквивалентную модель, считая их идеальными линиями передач. Как упоминалось ранее, разработка электрических эквивалентных схем отдельных компонентов значительно облегчает разработку всего фильтра. Эквивалентные схемы разрабатываются при помощи электромеханических аналогий. Для определения резонансных характеристик используются уравнение распространения волны с соответствующими граничными условиями.

Электрические линии передач

 

Для упрощения составления  эквивалентной схемы отдельных  микрокомпонентов кратко рассмотрим эквивалентную схему двухпроводной электрической линии передач, в которой нет никаких потерь. Значения распределенных компонентов, показаных на рис. 7, соответствуют единице длины линии. Уравнения тока и напряжения для линии передач, составленные по данной модели, можно найти во многих учебниках, посвященных анализу электрических цепей и основам электромагнетизма. Однако для того, чтобы грамотно составлять эквивалентные схемы микрокомпонентов полезно понимать физические принципы распределенных линий.

 

Рис. 7. Эквивалентная  схема линии передач

 

Магнитная проницаемость  используемых металлов и влияние  индуктивности на изменение фаз токов на разной глубине линии являются причинами появления в эквивалентной схеме элементов индуктивности L. Диэлектрическая проницаемость среды между проводниками и геометрия линии отражаются в емкостных элементах С. Потери в проводниках и диэлектриках могут быть учтены в дополнительных компонентах проводимости G. Аналогично этому в эквивалентную схему можно ввести резистивные элементы, в которых отражены проводимость металлов, геометрические особенности линии, такие как ее длина и поперечное сечение, потери на излучение и влияние глубины поверхностного слоя. Если предполагается, что в линии нет потерь, элементы резистивности и проводимости пропадают, тем самым значительно упрощая эквивалентную схему.

Основными дифференциальными уравнениями  для этой модели являются следующие:

   (37)

 (38)

Дифференцируя уравнение (38) и подставляя результат в уравнение (37), получаем:

   (39)

Аналогично выводим следующее  соотношение:

   (40)

В уравнениях (39) и (40) комплексная константа распространения волны имеет следующий вид:

   (41)

Комплексное число можно всегда выразить как:

 (42)

где α – константа  ослабления волны, β – константа  распространения волны в среде.

Решение рассматриваемых  дифференциальных уравнений может  быть записано в виде:

   (43)

   (44)

Характеристический импеданс линии задается выражением:

   (45)

В случае идеальной линии передач, когда отсутствуют потери, константа распространения волны становится равной:

   (46)

Характеристический импеданс идеальной  линии передач определяется выражением:

   (47)

Фазовая скорость распространения  волны в линии равна:

   (48)

Интерес представляет линия передач конечной длины. Короткоза-мкнутая линия, равная четверти длины волны, ведет себя как параллельный резонансный контур. Для определения входного импеданса такой линии передач находится отношение уравнений (43) и (44). Для короткозамкнутой линии входной импеданс описывается уравнением:

   (49)

Применяя граничные условия, получаем, следующие условия резонанса:

    n-целое четное число (50)

Соответствующая резонансная частота  равна:

   (51)

где υ – скорость распространения  электромагнитных волн в среде между  проводниками линии передач. Используя  условие резонанса (50), можно упростить  уравнение (49):

   (52)

При выполнении этих условий  можно вывести выражение для добротности резонирующего сегмента. На частотах, близких к резонансной частоте f₀, выполняется следующее:

 (53)

Подставляя это уравнение в выражение (49) после тригонометрических преобразований, получаем выражение для входного импеданса:

   (54)

Для малых аргументов тригонометрических функций это  выражение принимает вид:

   (55)

При сравнении этого выражения с уравнением (52) видно, что при равенстве мнимой и действительной части знаменателя в уравнении (55), входной импеданс становится равным половине импеданса на резонансной частоте. Таким образом, девиация частоты определяется следующим выражением:

   (56)

Отсюда находится соответствующее значение добротности:

   (57)

Предположения и теоремы для механического  моделирования

 

Для упрощения процесса моделирования все дальнейшие рассуждения ограничиваются однородными, изотропными, бесконечными, упругими твердыми элементами, в которых нет потерь. Для микросистем эти предположения будут справедливы только при выполнении условия, что размер зерна кристаллического материала гораздо меньше длины волны. Также предполагается, что твердый элемент совершает вибрации относительно своего состояния покоя, при этом амплитуда этих колебаний практически одинакова вдоль всей длины элемента. Из закона упругости следует, что нормальное напряжение ах, возникающее из-за деформации элемента в направлении распространения волны x, определяется следующим соотношением:

   (58)

где Е₁ – продольный модуль упругости материала, а ε_х – относительное изменение толщины элемента (его деформация). Выражение для продольного модуля упругости имеет вид:

   (59)

где Е – модуль упругости материала, а μ – коэффициент Пуассона. Деформация прямоугольного элемента в поперечном направлении превращает его в параллелограмм:

   (60)

где τ_ху и τ_ух – тангенциальные (касательные) напряжения на элементе, γ_ху – угол сдвига, a G – модуль сдвига. Для длинных тонких пластин в соответствии с законами Гука и Пуассона можно написать следующие соотношения:

   (61)

   (62)

где F – приложенная сила, S – площадь поперечного сечения, δl/l – относительное удлинение (сжатие), δa/a – относительное изменение поперечных размеров.

Продольная  волна в твердой пластине

 

Рассмотрим длинную  тонкую твердую пластину длиной l с одинаковой площадью поперечного сечения S вдоль всей длины, размещенную по направлению оси х. Небольшая деформация в направлении оси х в поперечном сечении приводит к появлению внутренних сил упругости F(x). Результирующее смещение точки х равно ξ(x). Из второго закона Ньютона следует, что сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на его ускорение. Тогда для элемента пластины длиной dx можно записать соотношение:

   (63)

После реорганизации членов получим:

   (64)

Для выражения силы через перемещение  применим закон Гука (уравнение (61)):

   (65)

После дифференцирования по времени  и некоторых преобразований получаем:

   (66)

Для исключения зависимости от времени в уравнениях (64) и (66) считаем, что вибрации в системе подчиняются синусоидальному закону. Тогда, применив векторную запись, получим следующие выражения:

   (67)

   (68)

Сравнивая уравнения (67) и (68) с уравнениями для идеальной линии передач (R = G = 0) (37) и (38), нельзя не заметить их удивительную схожесть. Теперь, применив электромеханические аналогии, можно построить для пластины эквивалентную схему линии передач.

Также интересно определить константу и скорость распространения волны для такой эквивалентной линии передач. При помощи уравнения (48) находим выражение для скорости волны в пластине:

   (69)

Уравнение для константы распространения имеет вид:

   (70)

 

Линия передач  на основе натянутой струны

 

В возбужденном состоянии  натянутая струна совершает колебания  вокруг положения покоя, формируя при  этом поперечные стоячие волны. Для упрощения анализа будем рассматривать идеальную гибкую струну с постоянной массой на единицу длины. Также предполагаем, что возбуждающие усилия малы и приложены в направлении, поперечном длине струны. В произвольной точке ж, расположенной на струне, поперечная составляющая напряжения равна (рис. 8):

   (71)

где α – угол между исходным положением струны и касательной к перемещению струны в точке х. После дифференцирования этого выражения по времени, получим:

   (72)

где υ_x – поперечная составляющая скорости.

 

Рис. 8. Распределение  напряжений в натянутой струне

 

Теперь рассмотрим небольшой  элемент струны длиной dx и применим к нему второй закон Ньютона. Для поперечных составляющих сил справедливо следующее соотношение:

   (73)

где ρ' – линейная плотность массы струны. После упрощения получим:

   (74)

В векторной форме  уравнения (72) и (74) приобретают вид:

   (75)

   (76)

Очевидна схожесть этих выражений с уравнениями тока и напряжения (37) и (38) для линии передач. Таким образом, для построения эквивалентной схемы для струны, можно воспользоваться электромеханическими аналогиями (рис. 9). Скорость распространения волны в струне определяется выражением:

   (77)

 

Рис. 9. Эквивалентная  схема для струны, построенная  при помощи модели линии передач

Основные элементы механических фильтров

 

Механические фильтры  состоят из последовательности резонаторов, соединенных при помощи элементов, рассмотренных выше. Все эти компоненты влияют на рабочие характеристики фильтров. Например, количество резонаторов определяет форму сигнала на выходе фильтра, а от их резонансной частоты зависит центральная частота полосы пропускания фильтра. Коэффициент упругости соединительных проводов и эквивалентная масса резонатора влияют на ширину частотной полосы фильтра. Теперь перейдем к рассмотрении механических микрофильтров, при этом будем использовать знания об их традиционных аналогах.

Микрофильтры

 

Механические микрофильтры разрабатываются на основе принципов построения традиционных механических фильтров. Однако при разработке микроустройств всегда приходится учитывать размеры структур, соразмеримые с длиной волны, неидеальность граничных условий и прочие эффекты нелинейности. Поэтому не все конструкции, обсуждаемые ранее в этой главе, можно реализовать в микрофильтрах.

Разработчики стремятся  разрабатывать микрофильтры, размеры которых позволяют их интегрировать с другими элементами схем на одном кристалле. Традиционные фильтры, реализованные на кварцевых генераторах, не подходят для такой миниатюризации. Поэтому в последние годы большое внимание уделялось разработке микрофильтров на основе механических фильтров, изготавливаемых по традиционным технологиям производства ИС, которые легко интегрируются с остальными элементами схем.

При использовании последовательности резонансных контуров, соединенных  друг с другом, улучшаются рабочие  характеристики микрофильтров. В общем виде, количество контуров определяет порядок фильтра (порядок фильтра — это порядок его полиноминальной передаточной функции). Чем выше порядок фильтра, тем лучше его частотная избирательность. Но при повышении порядка фильтра, возрастают вносимые потери, что может быть скопменсирова-но высокой добротностью разрабатываемых фильтров.