Проектирование регуляторов во временной области

– –

– –

 

 

МГУПС

 

 

 

 

 

КУРСОВОЙ  ПРОЕКТ

 

По  дисциплине:“ Локальные Системы Управления ”

На  тему: «Проектирование регуляторов  во временной области»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: Грачев А.Ю. студент гр. АУИ-412

Принял:Ермолин  Ю.А.

 

 

 

МОСКВА 2000

 

Введение

Проектирование регуляторов во временной области связано с   использованием   временных   свойств   и   особенностей проектируемой системы. Теория автоматического регулирования показывает, что имеется однозначная связь между временными свойствами системы и характеристиками передаточной функции на комплексной плоскости. Таким образом, проектирование линейной системы управления может быть проведено, базируясь на представлении о полюсах и нулях передаточной функции на комплексной плоскости.

Цель проектирования

Как известно, временные особенности линейной системы управления отражаются характером переходного процесса и установившимся значением выходной переменной при воздействии сигналов некоторого вида на ее входе. В зависимости от цели проектирования, в качестве таких сигналов принимаются единичный скачок, линейно нарастающая функция либо функции времени другого вида. При единичном скачкообразном входном воздействии качество системы чаще всего оценивают максимальным перерегулированием (в процентах) и временем регулирования. Для оценки относительной устойчивости системы могут быть также использованы коэффициент демпфирования и частота собственных колебаний. Эти величины, строго говоря, определены только для систем второго порядка. Для систем более высокого порядка эти параметры имеют смысл только в случае, когда соответствующие пары (комплексно-сопряженных) полюсов передаточной функции замкнутой системы оказывают доминирующее влияние на динамические   свойства   системы.   Таким   образом,   при проектировании   регулятора   по   желаемым   временным характеристикам в качестве критерия чаще всего выбирается максимум перерегулирования.

В общем случае, динамическая линейная система управления может быть представлена в виде структуры показанной на рис. 1.

Рис. 1.

Цель проектирования состоит в получении управляемых переменных, отражаемых выходным вектором , ведущих себя некоторым желаемым образом. При заданной неизменяемой части системы задача, по существу, состоит в определении управляющего сигнала в определенном временном интервале таким образом, чтобы цель проектирования была бы достигнута.

1. Задание на курсовой проект

№ варианта	k0	T,сек	g,%
7	16	0,3	3

Объект  –  инерционное  звено с передаточной функцией:                                                                                                                  

Необходимо:

1. Построить переходную характеристику объекта.
2. Найти время установления процесса на выходе из условия h(t) = 0,98∙h(¥).
3. Спроектировать пропорциональный регулятор, обеспечивающий g = 5% статической ошибки от установившегося значения.
4. Спроектировать ПД-регулятор, обеспечивающий  время переходного процесса, по крайней мере, в 2 раза меньше, чем в п. 3.
5. Изменить найденное значение коэффициента при дифференциальной составляющей на ±10%. Оценить влияние этого коэффициента на время регулирования.
6. При найденных ранее значениях коэффициентов ввести интегральную составляющую со своим коэффициентом, подобрав его таким образом, чтобы корни характеристического уравнения замкнутой системы были бы  действительными.
7. Построить переходные характеристики системы при найденном значении коэффициента при интегральной составляющей и при его увеличенном  на 10% значении. Сделать вывод о влиянии этого коэффициента на характер и длительность переходного процесса.
8. Сделать обобщенные выводы по проделанной работе.

2. Построение переходной характеристики объекта и нахождение времени установления процесса на выходе

Переходная характеристика h(t) – это реакция объекта на единичный скачок, т.е. на входной сигнал вида x_ВХ=1(t).

Передаточная функция объекта  моего варианта имеет вид

,

следовательно

Воспользуемся формулой Хевисайда [2] для расчета переходной характеристики:

,

где p_k – корни уравнения А(р)=0

B(p)=16;  А(р) = 0,3р+1;  А’(р) = 0,3

Корень уравнения А(р)=0: p= –1/0,3=  –3,33, тогда

Построим график полученной h(t):

Рис. 2.1.

 

Исходя  из условия h(t_р)=0,98h(¥), найдем время установления процесса на выходе объекта t_р.

 

 

3. Проектирование  пропорционального регулятора

 

Спроектируем пропорциональный регулятор, обеспечивающий заданный g=3% статической ошибки от установившегося значения, т.е. определим его коэффициент усиления k_П.

 

Рис. 3.1.

Передаточная функция  системы с пропорциональным регулятором  будет:

Определим переходную характеристику h(t) этой системы, воспользовавшись формулой Хевисайда:

где p_k – корни уравнения А(р)=0

B(p)=32,32;  А(р) = 0,3р+33,32;  А’(р) = 0,3

Корень уравнения А(р)=0: p= –33,32/0,3=  –111,1 тогда

Построим график полученной h(t):

Рис. 3.2.

Исходя  из условия h(t_р)=0,98h(¥), найдем время установления процесса на выходе объекта t_р.

3. Проектирование ПД-регулятора

Спроектируем ПД-регулятор, обеспечивающий время переходного  процесса, по крайне мере в 2 раза меньше, чем у предыдущего П-регулятора, т.е. определим коэффициент k_Д.

Рис. 4.1.

Воспользуемся формулой Хевисайда для расчета переходной характеристики:

,

где p_k – корни уравнения А(р)=0

B(p)=16 k_Дp+32,32;  А(р) = (16k_Д+0,3)р+33,32;  А’(р) = 16 k_Д+0,3

Корень уравнения А(р)=0: p= –33,32/(16k_Д+0,3), тогда

По условию задания, проектируемый ПД-регулятор должен обеспечить процесса по крайней мере в 2 раза меньшее время переходного, чем у П-регулятора в предыдущем пункте.

Таким образом нужно найти k_Д с учетом .

Исходя  из условия h(t_р)=0,98h(¥) и задаваясь временем установления процесса t_р=0,021, найдем k_Д .

Графическим способом из полученного равенства найдем k_Д :

Рис. 4.2.

Из рис. 4.2. видно, что решением этого уравнения будет k_Д=0,226.

Проверим правильность выбора коэффициента k_Д .

Передаточная функция замкнутой  системы с ПД-регулятором при  k_Д=0,226 будет иметь вид:

,

а переходная характеристика:

.

Исходя  из условия h(t_р)=0,98h(¥), найдем время установления процесса на выходе объекта t_р.

Получили t_p=0,021с, что в 2 раза меньше чем в предыдущем пункте.

Построим график h(t):

Рис. 4.3.

4. Модификация ПД-регулятора

 

Для оценки влияния коэффициента при дифференциальной составляющей на время регулирования системы изменим его на ±10%.

В предыдущем пункте мы получили k_Д=0,226. Изменяя значения k_Д на +10% и –10% получим соответственно k_Д+=0,2486 и k_Д–=0,2034.

Передаточные функции для системы, показанной на рис. 4.1, в зависимости от k_Д будут иметь вид:

Откуда, воспользовавшись формулой Хевисайда, найдем переходные характеристики:

,

где p_k – корни уравнения А(р)=0

Исходя  из условия h(t_р)=0,98h(¥), найдем время установления процесса на выходе системы t_р+ и t_р– .

С увеличением коэффициента при дифференциальной составляющей ПД-регулятора k_Д на 10% процесс на выходе, в рассмотренном случае,  можно сразу считать установившимся, т.к. в начальный момент времени значение переходной характеристики составляет более 98% (98,34%) от ее предельного значения. При уменьшении k_Д на 10% переходный процесс устанавливается на 0,1214 секунды позже. По полученным данным можно сделать вывод что с увеличением k_Д время регулирования уменьшается, а при уменьшении – увеличивается.Построим график h(t) и h₊(t):

Рис. 5.1.

4. Проектирование ПИД-регулятора

Введем интегральную составляющую со своим коэффициентом k_И, подобрав его таким образом, чтобы при найденных ранее значениях коэффициентов k_П=0,475 и k_Д=0,226 корни характеристического уравнения замкнутой системы были бы действительными.

Рис. 6.1.

Передаточная функция  разомкнутой системы с ПИД-регулятором  имеет вид:

,

тогда передаточная функция  замкнутой системы с ПИД-регулятором (рис. 6.1) будет иметь вид:

По условию задания  необходимо подобрать k_И , таким образом чтобы корни характеристического уравнения замкнутой системы были бы действительными. Это условие выполняется при следующем ограничении:

Подставив в полученное неравенство ранее найденные  параметры регулятора k_П=0,475 и k_Д=0,226, окончательно получим:

Примем k_И=0,2, тогда при k_П=0,475 и k_Д=0,226 передаточная функция замкнутой системы с ПИД-регулятором  будет иметь вид:

5. Построение переходных характеристик системы с ПИД-регулятором

Построим переходную характеристики для системы с передаточной функцией, найденной в предыдущем пункте, и для этой же системы с увеличенным на 10% параметром k_И, т.е. k_И+=1,1∙k_И=0,22.

Откуда, воспользовавшись формулой Хевисайда, найдем переходные характеристики:

,

где p_k – корни уравнения А(р)=0

 

Для k_И=0,2:

B(p)=3,616 p²+7,6p+3,52;  А’(р)=7,832p+8,6

Корень уравнения А(р)=0: p₁= –0,5443, p₂= –1,5091, тогда

 

Для k_И+=0,22:

B(p)= 3,616 p²+7,6p+3,52;  А’(р)= 7,832p+8,6

Корень уравнения А(р)=0: p₁= –0,6386, p₂= –1,4148, тогда

Исходя  из условия h(t_р)=0,98h(¥), найдем время установления процесса на выходе объекта t_р и t_р+ .

Графическим способом из полученных равенств найдем t и t+:

Рис. 7.1.

 Рис. 7.2.

Из рис. 7.1 видно, что решением будет t_р =6,3 (с), а из рис. 7.2 – t_р+ =5,2 (с). Длительность переходного процесса уменьшилась на 1,1 секунды с увеличением k_И на 10%. По полученным данным можно сделать вывод что с увеличением k_И время регулирования уменьшается.

 

 

Построим график h(t) и h₊(t):

 

Рис. 7.3.

Заключение

В данном курсовом проекте  исходным объектом являлось инерционное  звено:

В соответствии с заданием было выполнено:

1. Построена переходная характеристика объекта и найдено время установления процесса на выходе .
2. Спроектирован пропорциональный регулятор, обеспечивающий 5% статической ошибки от установившегося значения. Было найдено время регулирования системы с пропорциональным регулятором и построена переходная характеристика.
3. Спроектирован пропорционально-дифференциальный регулятор, обеспечивающий время переходного процесса, по крайней мере, в 2 раза меньше, чем с пропорциональным регулятором. Его коэффициент при дифференциальной составляющей k_Д=0,232. Затем оценили влияние k_Д на время регулирования, изменив его значение на ±10%, т.е. взяв k_Д+=0,2552 и

     k_Д–=0.

4. При ранее найденных параметрах регулятора ввели интегральную составляющую, с таким значением, чтобы корни характеристического уравнения замкнутой системы были бы  действительными. Был выбран k_И=0,16. Время переходного процесса при данном коэффициенте равно

     t_р =6,5. Затем оценили влияние k_И на время регулирования системы,

     увеличив  этот коэффициент на 10 % , получив  при k_И+=0,176 время    

     регулиро  вание t_р =5,4 с .Была построена переходная характеристика.