Применение методов математического моделирования при изучении влияния гексаазоцикланов на ПЭТФ

 

2.5 Построение  линий уровня

Выразим x1 через x2:

 

Результаты расчетов сведены в таблицу 5.

Таблица 5 – Значения x2 и Y для построения линий уровня

	12	24	36	48	60
-1	-1,52	-0,56	0,4	1,36	2,32
-0,5	-1,49558	-0,64602	0,20354	1,053097	1,902655
0	-1,47619	-0,71429	0,047619	0,809524	1,571429
0,5	-1,46043	-0,76978	-0,07914	0,611511	1,302158
1	-1,44737	-0,81579	-0,18421	0,447368	1,078947

Линии равного уровня для Y=12, Y=24, Y=36, Y=48, Y=60 изображены на рисунке 1.

Рисунок 1 – Линии равного уровня

 

3 Центральное  композиционное планирование

3.1 Матрица планирования эксперимента для центрального ортогонального композиционного плана.

Уравнение регрессии в данном случае выглядит следующим образом:

 

Составим матрицу планирования в виде таблицы 7.

Таблица 6 – Матрица планирования для ЦКОП

№	x1	x2	Y	(x1')2	(x2') 2	x1·y	x2·y	x1·x2·y	(x1')2·y	(x2')2·y
1	-1	-1	13	0,33	0,33	-13	-13	13	4,29	4,29
2	1	-1	26	0,33	0,33	26	-26	-26	8,58	8,58
3	-1	1	49	0,33	0,33	-49	49	-49	16,17	16,17
4	1	1	53	0,33	0,33	53	53	53	17,49	17,49
5	0	0	65	-0,67	-0,67	0	0	0	-43,55	-43,55
6	1	0	53	0,33	-0,67	53	0	0	17,49	-35,51
7	-1	0	34	0,33	-0,67	-34	0	0	11,22	-22,78
8	0	1	80	-0,67	0,33	0	80	0	-53,6	26,4
9	0	-1	27	-0,67	0,33	0	-27	0	-18,09	8,91
Сумма	6	6	400	-0,03	-0,03	36	116	-9	-40	-20

 

Найдем коэффициенты уравнения регрессии по формулам (11)-(16):

                                                  (11)

                                                   (12)

                                                (13)

                                                (14)

                                               (15)

                               (16)

Таким образом:

Получено следующее уравнение регрессии центрального композиционного ортогонального планирования для 2-х факторов:

.

3.2 Определение значимости коэффициентов уравнения регрессии

Матрица диагональная, коэффициенты регрессии не коррелируются, поэтому их значимость проверим по критерию Стьюдента аналогично полному факторному эксперименту.

Дисперсия воспроизводимости рассчитывается так же, как и в ПФЭ:

.

Теперь найдем значение :

Зададимся уровнем значимости α=0,05 и получаем для двухфакторной модели табличное значение tр=4,3.

Оценим значимость коэффициентов:

> tр => коэффициент значим;

> tр => коэффициент значим;

> tр => коэффициент значим;

< tр => коэффициент незначим

> tр => коэффициент значим;

> tр => коэффициент значим.

После исключения незначимых коэффициентов уравнение регрессии примет вид:

3.3 Оценка адекватности модели

Адекватность полученного уравнения регрессии проводится с помощью критерия Фишера, который рассчитывается по формуле (9) и (10).

Подставим значения x1 и x2  в уравнение регрессии со значимыми коэффициентами и получим значения дисперсии адекватности. Полученные значения сведем в таблицу 7.

Таблица 7 – Расчетные и экспериментальные значения функции

№	x0	x1	x2	х12	х22
1	1	-1	-1	0,33	0,33	13	6,964
2	1	1	-1	0,33	0,33	26	23,464
3	1	-1	1	0,33	0,33	49	50,124
4	1	1	1	0,33	0,33	53	57,624
5	1	0	0	-0,67	-0,67	65	64,544
6	1	1	0	0,33	-0,67	53	50,544
7	1	-1	0	0,33	-0,67	34	38,544
8	1	0	1	-0,67	0,33	80	73,874
9	1	0	-1	-0,67	0,33	27	35,214

 

Подставим полученные значения для нахождения дисперсии адекватности:              Тогда расчетное значение критерия Фишера:

По справочным данным найдем табличное значение критерия Фишера: Fтабл =3,6

Можно сделать вывод о том, что при заданном уровне значимости α=0,05 Fрасч<Fтабл => модель адекватна.

3.4 Работа с моделью

Определим 4 значения функции отклика для произвольных точек в пределах области планирования, используя полученную модель. Произведя аналогичные ПФЭ расчеты для пяти точек, сведем результаты в таблицу 8.

Таблица 8 – Значения функции отклика для произвольных точек

№	z1	z2	x1	x2
1	60	0,2	-0,8	-0,75	25,465
2	80	0,35	-0,4	-0,375	49,946
3	110	0,6	0,2	0,25	69,036
4	130	0,75	0,6	0,625	68,273

 

3.5 Построение  линий уровня

Для построения линий уровня зададимся значениями Y. Выразить x1 через x2 проблематично, поэтому приведем графическое отображение без аналитических форм на рисунке 2.

Рисунок 2 – Линии уровня для ЦКОП

Рисунок 5 – Поверхность уровня для ЦКОП (эллиптический параболоид)

3.6 Определение оптимума

Координаты центра S определяются решением системы уравнений (17):

                                                       (17)

Сначала необходимо перейти от уравнения регрессии второго порядка k=2, полученного по экспериментальным данным (18) к каноническому.

.             (18)

В результате получаем:

       400·x1-2,25·x2+6=0;

   -2,25·x1-20·x2+19,33=0.

Решая данную систему, получаем координаты центра x1 и x2:

x1=-0,00953;

x2=0,96757.

Подставив их в уравнение регрессии (18) получим значение выходной величины в точке S:

.

Выводы: В результате исследования поверхности отклика была определена координата центра плана (-0,00953; 0,96757). Подставив x1 и x2 в уравнение регрессии, было получено значение Y=73,844 в центре поверхности.  
Заключение

В результате проделанной работы была достигнута цель и получены две математические модели исследуемой системы, различающиеся своей сложностью и, как следствие того, точностью. Обе модели прошли проверку на адекватность по статистическим критериям Фишера, и, следовательно, могут быть применены в качестве средства описания процесса влияния добавки ГЦ-2 и повышенной температуры на физико-механические свойства ПЭТФ.

Для удобства прогнозирования можно воспользоваться полученными математическими уравнениями регрессии для обеих моделей, способными дать довольно точные значения выходного параметра в отдельных точках системы. Это особенно удобно для оценки конкретных соотношений факторов, воздействующих на систему.

Для наглядности сути процесса в работе представлены линии уровня и поверхности уровня, позволяющие дать не столько количественное отображение процесса, сколько качественное, что также немаловажно для исследователя. В ходе оценки линий равного уровня при проведении ортогонального композиционного планирования был определен вид поверхности отклика – эллиптический параболоид.

Таким образом, полученные математические модели полностью оправдывают свое право на существование, являясь зачастую единственным путем преодоления возникающих трудностей в решении технологических задач, при этом обладая качественно приемлемым уровнем точности описания процессов. Это обстоятельство заставляет стремиться современную науку к совершенствованию существующих методик и созданию новых, еще более точных и простых в исполнении.

 

 

Список использованной литературы

1. Ахназарова С.Л. Методы  оптимизации в химической технологии/ С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров// М.: Высшая  школа, 1985 – 327 с.

2. М.Ю. Васильчик, Г.Б. Корабельникова – Функции комплексного переменного - Методические разработки.

3. Бурыкин О.В., Ниязи Ф.Ф., Силинг С.А., Изв. ВУЗов Химия и химическая технология, 2002, том 45, выпуск 5, с. 73-74.