Проектирование деревянной арки

от собственного веса покрытия по табл. 2

q_р = 2,087×6 = 12,52 кН/м;

от снега

P_1р = 0,28×6 = 1,68 кН/м;

P_2р = 1,54×6 = 9,24 кН/м.

Статический расчет арки

Схемы нагрузок показаны на рис. 3.

Собственный вес арки Опорные реакции VA 225,36 VB 225,36 MC 2028,24 H 112,68
№ сеч.	x					y	sinjx			cosjx			M0x				Q0x					Mx			Qx				Nx
1	0					0,000	1,000			0,000			0				225,36					0,000			-112,680				-225,36
2	2					8,246	0,889			0,458			425,68				200,32					-503,503			-8,389				-229,684
3	4					11,314	0,778			0,629			801,28				175,28					-473,549			22,530				-207,153
4	6					13,416	0,667			0,745			1126,8				150,24					-384,961			36,862				-184,147
5	8					14,967	0,556			0,831			1402,24				125,2					-284,200			41,501				-163,247
6	10					16,125	0,444			0,896			1627,6				100,16					-189,310			39,644				-145,455
7	12					16,971	0,333			0,943			1802,88				75,12					-109,363			33,264				-131,276
8	14					17,550	0,222			0,975			1928,08				50,08					-49,446			23,788				-120,991
9	16					17,889	0,111			0,994			2003,2				25,04					-12,481			12,365				-114,765
10	18					18,000	0,000			1,000			2028,24				0					0,000			0,000				-112,68
11	20					17,889	-0,111			0,994			2003,2				-25,04					-12,481			-12,365				-114,765
12	22					17,550	-0,222			0,975			1928,08				-50,08					-49,446			-23,788				-120,991
13	24					16,971	-0,333			0,943			1802,88				-75,12					-109,363			-33,264				-131,276
14	26					16,125	-0,444			0,896			1627,6				-100,16					-189,310			-39,644				-145,455
15	28					14,967	-0,556			0,831			1402,24				-125,2					-284,200			-41,501				-163,247
16	30					13,416	-0,667			0,745			1126,8				-150,24					-384,961			-36,862				-184,147
17	32					11,314	-0,778			0,629			801,28				-175,28					-473,549			-22,530				-207,153
18	34					8,246	-0,889			0,458			425,68				-200,32					-503,503			8,389				-229,684
19	36					0,000	-1,000			0,000			0				-225,36					0,000			112,680				-225,36
Снеговая на пролёт Опорные реакции VA 30,24 VB 30,24 MC 272,16 H 15,12
№ сеч.		x			y				sinjx			cosjx			M0x			Q0x			Mx		Qx					Nx
1		0			0,000				1,000			0,000			0			30,24			0,000		-15,120					-30,24
2		2			8,246				0,889			0,458			57,12			26,88			-67,563		-1,126					-30,8202
3		4			11,314				0,778			0,629			107,52			23,52			-63,543		3,023					-27,7968
4		6			13,416				0,667			0,745			151,2			20,16			-51,656		4,946					-24,7098
5		8			14,967				0,556			0,831			188,16			16,8			-38,135		5,569					-21,9053
6		10			16,125				0,444			0,896			218,4			13,44			-25,403		5,320					-19,5179
7		12			16,971				0,333			0,943			241,92			10,08			-14,675		4,464					-17,6153
8		14			17,550				0,222			0,975			258,72			6,72			-6,635		3,192					-16,2353
9		16			17,889				0,111			0,994			268,8			3,36			-1,675		1,659					-15,3997
10		18			18,000				0,000			1,000			272,16			0			0,000		0,000					-15,12
11		20			17,889				-0,111			0,994			268,8			-3,36			-1,675		-1,659					-15,3997
12		22			17,550				-0,222			0,975			258,72			-6,72			-6,635		-3,192					-16,2353
13		24			16,971				-0,333			0,943			241,92			-10,08			-14,675		-4,464					-17,6153
14		26			16,125				-0,444			0,896			218,4			-13,44			-25,403		-5,320					-19,5179
15		28			14,967				-0,556			0,831			188,16			-16,8			-38,135		-5,569					-21,9053
16		30			13,416				-0,667			0,745			151,2			-20,16			-51,656		-4,946					-24,7098
17		32			11,314				-0,778			0,629			107,52			-23,52			-63,543		-3,023					-27,7968
18		34			8,246				-0,889			0,458			57,12			-26,88			-67,563		1,126					-30,8202
19		36			0,000				-1,000			0,000			0			-30,24			0,000		15,120					-30,24
Снеговая на пол пролёта Опорные реакции VA 22,68 VB 7,56 MC 136,08 H 7,56
№ сеч.			x	y				sinjx			cosjx					M0x			Q0x	Mx				Qx			Nx
1			0	0,000				1,000			0,000					0			22,68	0,000				-7,560			-22,68
2			2	8,246				0,889			0,458					44,52			19,32	-17,821				2,131			-20,6367
3			4	11,314				0,778			0,629					87,36			15,96	1,828				4,151			-17,1651
4			6	13,416				0,667			0,745					128,52			12,6	27,092				4,351			-14,0349
5			8	14,967				0,556			0,831					168			9,24	54,852				3,483			-11,4193
6			10	16,125				0,444			0,896					205,8			5,88	83,899				1,907			-9,38563
7			12	16,971				0,333			0,943					241,92			2,52	113,623				-0,144			-7,96764
8			14	17,550				0,222			0,975					276,36			-0,84	143,683				-2,499			-7,1843
9			16	17,889				0,111			0,994					309,12			-4,2	173,883				-5,014			-7,04652
10			18	18,000				0,000			1,000					136,08			-7,56	0,000				-7,560			-7,56
11			20	17,889				-0,111			0,994					120,96			-7,56	-14,277				-6,673			-8,35319
12			22	17,550				-0,222			0,975					105,84			-7,56	-26,837				-5,691			-9,05097
13			24	16,971				-0,333			0,943					90,72			-7,56	-37,577				-4,608			-9,64764
14			26	16,125				-0,444			0,896					75,6			-7,56	-46,301				-3,412			-10,1323
15			28	14,967				-0,556			0,831					60,48			-7,56	-52,668				-2,086			-10,486
16			30	13,416				-0,667			0,745					45,36			-7,56	-56,068				-0,595			-10,6749
17			32	11,314				-0,778			0,629					30,24			-7,56	-55,292				1,128			-10,6318
18			34	8,246				-0,889			0,458					15,12			-7,56	-47,221				3,257			-10,1834
19			36	0,000				-1,000			0,000					0			-7,56	0,000				7,560			-7,56
Снеговая по треугольнику Опорные реакции VA 69,3 VB 13,86 MC 249,48 H 13,86
№ сеч.		x		y				sinjx		cosjx				M0x			Q0x			Mx			Qx			Nx
1		0		0,000				1,000		0,000				0,00E+00			69,3			0,000			-13,860			-69,3
2		2		8,246				0,889		0,458				120,80			51,84667			6,512			11,432			-52,4355
3		4		11,314				0,778		0,629				208,76			36,44667			51,948			12,128			-37,059
4		6		13,416				0,667		0,745				267,96			23,1			82,009			7,978			-25,7306
5		8		14,967				0,556		0,831				302,52			11,80667			95,087			2,117			-18,0836
6		10		16,125				0,444		0,896				316,56			2,566667			93,070			-3,861			-13,5566
7		12		16,971				0,333		0,943				314,16			-4,62			78,948			-8,976			-11,5273
8		14		17,550				0,222		0,975				299,44			-9,75333			56,202			-12,589			-11,346
9		16		17,889				0,111		0,994				276,52			-12,8333			28,580			-14,294			-12,3483
10		18		18,000				0,000		1,000				249,48			-13,86			0,000			-13,860			-13,86
11		20		17,889				-0,111		0,994				221,76			-13,86			-26,175			-12,234			-15,3142
12		22		17,550				-0,222		0,975				194,04			-13,86			-49,202			-10,433			-16,5934
13		24		16,971				-0,333		0,943				166,32			-13,86			-68,892			-8,447			-17,6873
14		26		16,125				-0,444		0,896				138,60			-13,86			-84,886			-6,256			-18,5759
15		28		14,967				-0,556		0,831				110,88			-13,86			-96,557			-3,824			-19,2243
16		30		13,416				-0,667		0,745				83,16			-13,86			-102,791			-1,091			-19,5706
17		32		11,314				-0,778		0,629				55,44			-13,86			-101,368			2,068			-19,4916
18		34		8,246				-0,889		0,458				27,72			-13,86			-86,572			5,970			-18,6696
19		36		0,000				-1,000		0,000				0,00			-13,86			0,000			13,860			-13,86

 

 

 

 

 

 

Эпюры изгибающих моментов в арке от расчетных нагрузок и от их сочетания

 

 

Эпюры нормальных (N) и поперечных (Q) сил в арке от сочетания расчетных нагрузок

 

1 - постоянной (а) и снеговой (б); 2 - постоянной (а) и снеговой (в); 3 - постоянной (а) и снеговой (г)

 

Подбор сечения  арки

Предварительное определение  размеров поперечного сечения арок производим по СНиП II-25-80, п. 4.17, формула (28):

N/F_расч + M_д/W_расч ≤ R_с.

Приняв h/b = β, получим

h³ - βNh/R_с - 6βM/(ξR_с) = 0. (47)

Уравнение (47) приводим к виду

h³ + 3ph + 2q = 0, (48)

где p = -βN/(3R_с);

q = -3βM/(ξR_с);

β = 5 ¸ 6;

ξ = 0,5 ¸ 0,8;

R_с - расчетное сопротивление древесины сжатию с учетом коэффициентов условий работы по пп. 3.1 и 3.2 и коэффициентов надежности по назначению конструкций согласно стандарту СТ СЭВ 384-76.

Поскольку q >> p, дискриминант уравнения (48) Д = q² + p² > 0 и оно имеет одно действительное и два мнимых решения. Согласно формуле Кардано, действительное решение h = U + V,

где ;

Подбор сечения  арки

Учитывая уникальный характер здания по степени ответственности, для изготовления арок принимаем  пиломатериал из древесины сосны 1-го сорта толщиной 4,2 см. Коэффициент надежности по назначению γ_n = 1.

Оптимальная высота поперечного  сечения арки находится в пределах (1/40 - 1/50)l = = (1/40 - 1/50)3600 = 90 - 72 см.

Согласно пп. 3.1 и 3.2, при h > 120 см, δ_сл = 4,2 см и r_k/a = 1800/4,2 = 428 < 500 коэффициенты условий работы будут m_б = 0,8, m_сл = 0,95, m_гн = 1; соответственно расчетное сопротивление сжатию и изгибу

R_с = R_и = 0,8×0,95×1,0×16/1,0 = 12,16 МПа.

Для определения поперечных размеров сечения арки пользуемся уравнением (47). Принимаем β = h/b = 5,5; ξ = 0,65 и определяем высоту и ширину сечения арки h = 1260 мм и b = 1260/5,73 ≈ 220 мм.

Принимаем поперечное сечение  арки b ´ h = 220 ´ 1260 мм из 30 слоев толщиной 42 мм.

Расчет арки на прочность  выполняем в соответствии с указаниями СНиП II-25-80, п. 4.17, формула (28).

Определяем гибкость согласно СНиП II-25-80, пп. 4.4 и 6.25, формула (9):

λ = l₀/r = 0,58S/

= 0,58S/ = 0,58S/(0,29h) = 0,58×56,52/(0,29×1,26) = 89,7.

Согласно п. 6.27, при  определении коэффициента ξ вместо N в формулу (30), п. 4.17, СНиП II-25-80 надо поставить N₁₈ = 126,54 кН - сжимающее усилие в ключевом сечении для расчетного сочетания нагрузок:

ξ = 1 - λ²N₉/(AR_сF_бр) = 1 – 89,7²×126,54×10³/(3000×13,68×220×1260) = 0,91;

момент

M_д = M/ξ = 590/0,91 = 648 кН×м;

расчетный момент сопротивления

W_расч = 6h²/6 = 220×1260²/6 = 58,12×10⁶ мм³.

Подставив эти значения в формулу (28) СНиП II-25-80, получим:

N/F_расч + M_д/W_расч = 248350/277200 + 648×10⁶/58,212×10⁶ = 0,896+11,13=12,03 < 12,16 МПа,

т.е. прочность сечения  достаточна.

Проверим сечение на устойчивость плоской формы деформирования по формуле (33) п. 4.18 СНиП II-25-80.

Покрытие из плит шириной 150 см раскрепляет верхнюю кромку арки по всей длине, откуда

l_р = 2×150 см < 140×b²/(hm_б) = 140×22²/(126×0,8) = 672 принимае 700 см,

т.е. имеет место сплошное раскрепление при положительном  моменте сжатой кромки, а при отрицательном - растянутой, следовательно, показатель степени n = 1 в формуле (33), СНиП II-25-80.

Предварительно определяем:

а) коэффициент φ_М по формуле (23), п. 4.14, СНиП II-25-80 с введением в знаменатель коэффициента m_б согласно п. 4.25 настоящего Пособия:

φ_М = 140b²K_ф/(l_рhm_б) = 140×22²×1,13/(2826×126×0,8) = 0,27.

Согласно СНиП II-25-80, п. 4.14, к коэффициенту φ_М вводим коэффициенты K_жм и K_нм. С учетом подкрепления внешней кромки при m > 4 K_жм = 1

K_нм = 0,142l_р/h + 1,76h/l_р + 1,4α_р = 0,142×2826/126 + 1,76×126/2826 + 1,4×1,57 = 5,46;

φ_мK_нм = 0,27×5,46 = 1,47;

б) коэффициент φ по СНиП II-25-80, п. 4.3, формула (8) для гибкости из плоскости

φ = A/λ²_y = 3000[(0,5S/(0,29b)²] = 3000×0,29²×22²/(0,5×5652²) = 0,015.

Согласно СНиП II-25-80, п. 4.18, к коэффициенту φ вводим коэффициент K_нN, который при m > 4 равен:

K_нN = 0,75 + 0,06(l_р/h)² + 0,6α_рl_р/h = 0,75 + 0,06(2826/126)² + 0,6×1,57×2826/126 = 0,015;

φK_нN = 0,015×52,1 = 0,7815.

Подставив найденные  значения в формулу (33) СНиП II-25-80, получим

N/(F_брφR_с) + M_д/(W_брφ_мR_и) = 248,35×10³/(277,2×10³×0,7815×12,03) + 648×10⁶/(58,212×10⁶×1,47×13,68) = 0,084+0,55=0,634 < 1.

Таким образом, условие  устойчивости выполнено и раскрепления внутренней кромки в промежутке между пятой и коньковым шарниром не требуется.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

 

1. Методические указания «Конструирование и расчет несущих деревянных конструкций. Арки», Канн Э.А., Михай Г.Ф., Чиботарь Ф.И., КПИ им.С.Лазо, Кишинев1988г.
2. Учебник «Конструкции из дерева и пластмасс», Ю.В. Слицкоухов, Стройиздат, Москва, 1986 г
3. СНиП II-25-80 «Деревянные конструкции».
4. СНиП II-23-81* «Стальные конструкции».
5. СНиП 2.01.07-85 «Нагрузки и воздействия».