Задачи по статистике

Если, предположим, продолжительность  периода сглаживания равна 3, то скользящие средние рассчитываются следующим образом:

Применение метода скользящей средней рассмотрим на данных предыдущего примера в таблице 7. Период скольжения равен 3 месяцам.

Рассчитаем  скользящие средние:

͞у_фев =

͞у_март =

͞у_апр =

͞у_май =

͞у_июнь =

͞у_июль =

͞у_авг =

͞у_сент= = 127 млн.т.

͞у_окт =

͞у_нояб =

Таблица 7 – Использование метода скользящей средней

Месяц	Отправление грузов железнодорожным транспортом, млн.т.	Скользящая  средняя, млн.т.
Январь	142
Февраль	143	147
Март	156	150
Апрель	152	153
Май	152	147
Июнь	138	140
Июль	131	132
Август	127	128
Сентябрь	125	127
Октябрь	128	124
Ноябрь	119	122
Декабрь	120	-
Всего	1633	-

 

Полученный результат  отчетливо демонстрирует последовательное снижение объемов отправлений грузов железнодорожным транспортом в течение года.

Рассмотренные выше методы дают возможность определить общую тенденцию развития явления, освобожденную от случайных и волнообразных колебаний, но не позволяют получить количественного описания тренда исследуемого ряда. Для получения обобщенной статистической модели тренда применяют метод аналитического выравнивания.

Метод аналитического выравнивания основан на вычислении значений выровненного ряда по соответствующим математическим формулам. Наиболее простой и часто встречающейся в практике является линейная зависимость, описываемая уравнением:

Y_р =a +bX,

 
где Y_р — теоретические (расчетные) уровни ряда за каждый период;  
а — среднеарифметический показатель уровня ряда; 
b — параметр прямой, коэффициент, показывающий различие между теоретическими уровнями ряда за смежные периоды, X — временные точки, натуральные числа, проставляемые от середины (центра) ряда в оба конца.

При наличии нечетного ряда уровень, занимающий срединное положение, принимается за 0. Например, при 9 уровнях ряда: -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4.

При четном числе уровней ряда две величины, занимающие срединное положение, обозначаются через -1 и +1, а все остальные — через 2 интервала. Например, при 6 уровнях ряда: -5, -3, -1, +1, +3, +5.

Cреднеарифметический показатель уровня ряда рассчитывается по формуле:

 

A =ΣY_факт. / n,

 

где n — число уровней динамического ряда.

 

Параметр прямой, коэффициент, показывающий различие между теоретическими уровнями ряда за смежные периоды определяется путем расчета по формуле:

 

b = Σ(ХY_факт)/ ΣХ²

Расчеты проводят в  следующей последовательности:

1. Представляют фактические уровни динамического ряда (Y_ф)/
2. Суммируют фактические уровни ряда и получают сумму Y_факт.
3. Находят условные (теоретические) временные точки ряда X, чтобы их сумма (ΣХ) была равна 0.
4. Возводят теоретические временные точки в квадрат и суммируют их, получая ЕX².
5. Рассчитывают произведение Х на Y и суммируют, получая ΣХY.
6. Рассчитывают параметры прямой: а = ΣY_факт / n, b = Σ(Х Y_факт) / ΣX²
7. Подставляя последовательно в уравнение Y_х = а + bX значения X, находят выровненные уровни Y_х.

Расчетные данные приведены  в таблице 8.

 

 

Таблица 8 – Метод аналитического выравнивания

Месяц	Yфакт	Х	Х2	ХУ	Yр
Январь	142	-11	121	-1562	152,83
Февраль	143	-9	81	-1287	149,79
Март	156	-7	49	-1092	146,74
Апрель	152	-5	25	-760	143,70
Май	152	-3	9	-456	140,65
Июнь	138	-1	1	-138	137,61
Июль	131	1	1	131	134,56
Август	127	3	9	381	131,52
Сентябрь	125	5	25	625	128,47
Октябрь	128	7	49	896	125,42
Ноябрь	119	9	81	1071	122,38
Декабрь	120	11	121	1320	119,33
	1633	0	572	-871	1633

Рассчитываем параметры  прямой:

а = ΣY_факт / n =1633/12=136,08

 

b = Σ(ХY_факт) / ΣX² =-871/572 = -1,52

Получившееся уравнение:

Y_p =136,08 -1,52Х

Подставляя последовательно  в уравнение значения X, находим выровненные уровни Y_р.

Y_ян =136,08+1,52*11=152,83

В выровненном ряду происходит равномерное снижение уровней ряда, объем отправлений грузов железнодорожным транспортом к концу года уменьшается.

Графическое изображение фактических и сглаженных уровней ряда:

 

Задание 3. Тема «Индексы».

На основании приведенных в таблице 9 данных вычислить:

- индивидуальные индексы  себестоимости и физического  объема продукции,

- сводные индексы себестоимости  и физического объема продукции,

- абсолютный размер экономии  по предприятию от снижения  себестоимости.

Сделать выводы по результатам расчетов.

Таблица 9 – Исходные данные по теме «Индексы»

Вид изделия	Количество выпущенной продукции, т.шт.		Себестоимость единицы изделия, руб.
	Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
А	2,5	3,0	0,7	0,6
Б	2,0	2,1	1,0	0,8
В	4,0	4,5	1,0	0,4

 

Решение:

Индивидуальный индекс физического объема продукции показывает во сколько раз возрос (уменьшился) выпуск какого – либо одного товара в отчетном периоде по сравнению с базисным. Индивидуальный индекс ФОП определяется по формуле

i_q=q₁/q₀,

где i_q – индивидуальный индекс физического объема продукции; q₁и q₀- количество продукции данного вида в натуральном выражении в текущем и базисном периодах соответственно.

Индивидуальный индекс себестоимости  единицы продукции показывает изменение себестоимости одного определенного вида продукции в текущем периоде по сравнению с базисным и рассчитывается по формуле:

i_z=z₁/z₀,

где i_q – индивидуальный индекс себестоимости единицы продукции, z₁и z₀- себестоимость единицы одного вида продукции в текущем и базисном периодах соответственно.

Рассчитаем  индивидуальные индексы объема продукции:

i_qА =3,0/2,5=1,2

i_qБ =2,1/2,0=1,05

i_qВ =4,5/4,0=1,125

Рассчитаем  индивидуальные индексы себестоимости  продукции:

i_zA =0,6/0,7=0,857

i_zБ=0,8/1=0,8

i_zВ=0,4/1=0,4

Результаты расчетов индивидуальных индексов физического объема и себестоимости  продукции приведены в таблице 10.

Таблица 10 – Индивидуальные индексы ФОП и себестоимости  продукции

Вид продукции	Количество выпущенной продукции, т.шт.		Индивидуальный индекс объема продукции	Себестоимость единицы изделия, руб.		Индивидуальный индекс себестоимости продукции
	Базисный период	Отчетный период		Базисный период	Отчетный период
А	2,5	3,0	1,2	0,7	0,6	0,857
Б	2,0	2,1	1,05	1,0	0,8	0,8
В	4,0	4,5	1,125	1,0	0,4	0,4

 

Сводный индекс физического  объёма продукции I_q рассчитывается по формуле

 

 
,

где q₁, q₀ – объём продукции каждого вида изделий соответствующего периода (индексируемый показатель); z_o - себестоимость каждого вида изделий базисного периода (вес индекса).

Рассчитаем сводный индекс физического объема продукции:

I_A =3*0,7+2,1*1+4,5*1/2,5*0,7+2*1+4*1=2,1+2,1+4,5/1,75+2+4=8,7/7,75=1,122

Следовательно, физический объем всей продукции в отчетном периоде увеличился на 12,2 %.

Сводный индекс себестоимости определяют по формуле 
 

, 

где z₁, z_o – себестоимость отдельных видов продукции в текущем и базисном периодах соответственно.

Рассчитаем сводный индекс себестоимости:

I_z=0,6*3+0,8*2,1+0,4*4,5/0,7*3+1*2,1+1*4,5=1,8+1,68+1,8/2,1+2,1+4,5= 5,28/8,7 = 0,607

Следовательно, себестоимость единицы всей продукции в отчетном периоде снизилась на 39,3 %.

Абсолютный размер экономии по предприятию от снижения себестоимости рассчитывается по формуле:

Э_факт = Ʃz₁q₁ – Ʃz_oq₁,

где Э_факт - абсолютный размер экономии по предприятию от снижения себестоимости.

Рассчитаем абсолютный размер экономии по предприятию от снижения себестоимости:

Э_факт = 5,28 – 8,7 = -3,42

Задание 4. Тема «Выборочные наблюдения».

Для определения среднего срока пользования краткосрочным  кредитом в банке была проведена бесповторная 5% выборка, в которую попало 100 счетов. В результате обследования установлено, что средний срок пользования краткосрочным кредитом – 30 дней при среднем квадратичном отклонении 9 дней. В 5 счетах срок пользования кредитом превышал 60 дней.

С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых будет находиться срок пользования кредитом в генеральной совокупности и доля счетов со сроком пользования свыше 60 дней.

Решение:

Средняя ошибка выборки для бесповторного отбора рассчитывается по формуле:

,

_{где μ  – средняя ошибка выборки для бесповторного  отбора; σ²  - дисперсия средней в выборочной совокупности; n - число единиц в выборочной совокупности; N – число единиц в генеральной совокупности.}

_{Предельная  вероятная ошибка выборки определяется по формуле:}

_σ

_{∆=t μ,}

 

_{где ∆ - предельная вероятная  ошибка выборки; t – коэффициент доверия.}

_{Коэффициент доверия связывает  размер ошибки и вероятность  ее возниконовения. Его величина находится по таблице значений функции Лапласа.}

Уровню вероятности 0,954 по таблице значений функции Лапласа соответствует коэффициент доверия 2.

Таким образом, предельная ошибка выборочной средней составит Δ=2*0,88=1,76 ≈2. Соответственно средний срок пользования краткосрочным кредитом в банке находится в пределах:

 

30-2≤ χ ≤30+2

 

То есть с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний срок пользования краткосрочным кредитом составляет от 28 до 32 дней.

Теперь определим по итогам выборки долю кредитов со сроком пользования более 60 дней.

Определим долю признака в  выборочной совокупности (ω):

 

Средняя ошибка для доли при бесповторной выборке определяется по формуле:

 

Предельная ошибка доли:

Δ=2*0,021≈ 0,042, то есть 4,2%.

Таким образом, доля кредитов со сроком пользования более 60 дней в генеральной совокупности находится в пределах: