Статистики интегрального типа

при некотором х₀ . Таким образом, проверке подлежит гипотеза симметрии относительно 0, которую можно переписать в виде

H(x) + H(-x) - 1 = 0 .

Для построенной по выборке Z_j = X_j - Y_{j ,} j = 1,2,…,n, эмпирической функции распределения H_n(x) последнее соотношение выполнено лишь приближенно:

Как измерять отличие от 0? По тем же соображениям, что и  в предыдущем пункте, целесообразно  использовать статистику типа омега-квадрат. Соответствующий критерий был предложен  в работе [35]. Он имеет вид

  (27)

Представим эту статистику в интегральном виде. Рассмотрим выборочный процесс

.

При справедливости нулевой  гипотезы

.

Положим

.

Тогда, как легко видеть, статистика, заданная формулой (27), представляется в виде

.

Таким образом, асимптотическое  поведение этой статистики может  быть изучено с помощью описанной  выше предельной теории статистик интегрального  типа. Исторически ход мысли был  обратным - сначала была построена  и изучена статистика (27), а потом  путем обобщения разработанных  при анализе конкретной статистики методов исследования была построена  общая теория, включающая в себя ряд необходимых и достаточных  условий.

Критерий проверки гипотезы симметрии распределения относительно 0 с помощью статистики (27) является состоятельным, т.е. если функция распределения  элементов выборки не удовлетворяет  рассматриваемой гипотезе, то вероятность  отклонения гипотезы стремится к 1 при  росте объема выборки.

В работе [35] найдено предельное распределение этой статистики:

В табл.1 приведены критические  значения статистики типа омега-квадрат  для проверки симметрии распределения (и тем самым для проверки однородности связанных выборок), соответствующие  наиболее распространенным значениям  уровней значимости (расчеты проведены  Г.В. Мартыновым; см.также [31]).

 

Таблица 1. Критические значения статистики

для проверки симметрии распределения

Значение функции распределения	Уровень значимости	Критическое значение х статистики
0,90	0,10	1,20
0,95	0,05	1,66
0,99	0,01	2,80

 

Как следует из табл.1, правило  принятия решений при проверке симметрии  распределения (или однородности связанных  выборок) в наиболее общей постановке и при уровне значимости 5% формулируется  так. Вычислить статистику . Если <1,66, то принять гипотезу однородности. В противном случае - отвергнуть.

Пример. Пусть величины Z_{j ,} j=1,2,…,20, таковы:

20, 18, (-2), 34, 25, (-17), 24, 42, 16, 26,

13, (-23), 35, 21, 19, 8, 27, 11, (-5), 7.

Соответствующий вариационный ряд  имеет вид:

(-23)<(-17)<(-5)<(-2)<7<8<11<13<16<18<

<19<20<21<24<25<26<27<34<35<42.

Для расчета значения статистики построим табл.2 из 7 столбцов и 20 строк, не считая заголовков столбцов (сказуемого таблицы). В первом столбце указаны номера (ранги) членов вариационного ряда, во втором - сами эти члены, в третьем - значения эмпирической функции распределения при значениях аргумента, совпадающих с членами вариационного ряда. В следующем столбце приведены члены вариационного ряда с обратным знаком, а затем указываются соответствующие значения эмпирической функции распределения. Например, поскольку минимальное наблюдаемое значение равно (-23), то H_n(x) = 0 при x < -23, а потому для членов вариационного ряда с 14-го по 20-й в пятом столбце стоит 0. В качестве другого примера рассмотрим минимальный член вариационного ряда, т.е. (-23). Меняя знак, получаем 23. Это число стоит между 13-м и 14-м членами вариационного ряда, 21<23<24. На этом интервале эмпирическая функция распределения совпадает со своим значением в левом конце, поэтому следует записать в пятом столбце значение 0,65. Остальные ячейки пятого столбца заполняются аналогично. На основе третьего и пятого столбцов элементарно заполняется шестой столбец, а затем и седьмой. Остается найти сумму значений, стоящих в седьмом столбце. Подобная таблица удобна как для ручного счета, так и при использовании электронных таблиц типа Excel.

 

Таблица 2. Расчет значения статистики

для проверки симметрии распределения

j	Z(j)	Hn(Z(j))	- Z(j)	Hn(-Z(j))	Hn(Z(j))+ Hn(-Z(j))-1	(Hn(Z(j))+ Hn(-Z(j))-1)2
1	-23	0,05	23	0,65	-0,30	0,09
2	-17	0,10	17	0,45	-0,45	0,2025
3	-5	0,15	5	0,20	-0,65	0,4225
4	-2	0,20	2	0,20	-0,60	0,36
5	7	0,25	-7	0,10	-0,65	0,4225
6	8	0,30	-8	0,10	-0,60	0,36
7	11	0.35	-11	0,10	-0,55	0,3025
8	13	0,40	-13	0,10	-0,50	0,25
9	16	0,45	-16	0,10	-0,45	0,2025
10	18	0,50	-18	0,05	-0,45	0,2025
11	19	0,55	-19	0,05	-0,40	0,16
12	20	0,60	-20	0,05	-0,35	0,1225
13	21	0,65	-21	0,05	-0,30	0,09
14	24	0,70	-24	0	-0,30	0,09
15	25	0,75	-25	0	-0,25	0,0625
16	26	0,80	-26	0	-0,20	0,04
17	27	0,85	-27	0	-0,15	0,0225
18	34	0,90	-34	0	-0,10	0,01
19	35	0,95	-35	0	-0,05	0,0025
20	42	1,00	-42	0	0	0

 

Результаты расчетов (суммирование значений по седьмому столбцу табл.2) показывают, что значение статистики =3,055. В соответствии с табл.1 это означает, что на любом используемом в прикладных эконометрических исследованиях уровнях значимости отклоняется гипотеза симметрии распределения относительно 0 (а потому и гипотеза однородности в связанных выборках).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В прикладной статистике широко используются статистики типа омега-квадрат  и типа Колмогорова-Смирнова [6]. Они  применяются для проверки согласия с фиксированным распределением или семейством распределений, для  проверки однородности двух выборок, симметрии  распределения относительно 0, при  оценивании условной плотности и  регрессии в пространствах произвольной природы и т.д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука,1979. – 296 с.

2. Смоляк С.А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания: Статистическая обработка неоднородных  совокупностей. - М;: Статистика, 1980. - 208 с.

3. . ГОСТ 11.010-81. Прикладная статистика. Правила определения оценок параметров и доверительных границ для биномиального и отрицательного биномиального распределений. – М.: Изд-во стандартов, 1982. – 32 с.

4. Ибрагимов И.А., Хасьминский  Р.З. Асимптотическая теория оценивания. – М.: Наука, 1979. – 528 с

5. Боровков А.А. Математическая статистика / Учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1984. – 472 с.

6. Петрович М.Л., Давидович М.И. Статистическое оценивание и проверка гипотез на ЭВМ. – М.: Финансы и статистика, 1989. – 191 с.

7. Орлов А.И. Непараметрические оценки плотности в топологических пространствах. – В сб.: Прикладная статистика. Ученые записки по статистике, т.45. - М.: Наука, 1983. - С. 12-40.

8. Орлов А.И. Асимптотическое поведение статистик интегрального типа. – Журнал «Доклады АН СССР». 1974. Т.219. No. 4. С. 808-811.

9. Холлендер М., Вульф Д. Непараметрические методы статистики. – М.: Финансы и статистика, 1983. - 518 с.

10. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. - М.: Наука, 1976. – 736 с.