Статистика таможенных правонарушений

В нашей задаче всего 9 периодов,  в 7 случаях по мере увеличения значений x увеличиваются и значения y, а  в 1 случае этого не происходит, поэтому уже можно говорить о прямой связи между х и у.

2. Линейный коэффициент корреляции – самый популярный измеритель тесноты линейной связи между двумя количественными признаками x и y. Он основан на предположении, что при полной независимости признаков x и у отклонения значений факторного признака от средней ( ) носят случайный характер и должны случайно сочетаться с различными отклонениями ( ). При наличии значительного перевеса совпадений или несовпадений таких отклонений делается предположение о наличии связи между x и y.

В линейном коэффициенте корреляции учитываются не только знаки отклонений от средних величин, но и значения самих отклонений, выраженные для сопоставимости в единицах среднего квадратического отклонения t:

  и  .

Линейный коэффициент корреляции r представляет собой среднюю величину из произведений нормированных отклонений для x и у:

.

Коэффициентом ковариации – это мера совместной вариации факторного x и результативного y признаков:

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от –1 до +1, причем знак определяется в ходе решения. Если , то r=0, что означает отсутствие линейной зависимости между х и у, а при r=1 – функциональная зависимость между х и у. Следовательно, всякое промежуточное значение r от 0 до 1 характеризует степень приближения корреляционной связи между х и у к функциональной. Существует эмпирическое правило (шкала Чэддока) для оценки тесноты связи, представленное в таблице 6.

 

 

 

 

Таблица 6. Шкала Чэддока

|r|	Теснота связи
менее 0,1	отсутствует линейная связь
0,1 ÷ 0,3	слабая
0,3 ÷ 0,5	умеренная
0,5 ÷ 0,7	заметная
более 0,7	сильная (тесная)

 

Таким образом, коэффициент корреляции при линейной зависимости служит как мерой тесноты связи, так и показателем, характеризующим степень приближения корреляционной зависимости между х и у к линейной. Поэтому близость значения r к 0 в одних случаях может означать отсутствие связи между х и у, а в других свидетельствовать о том, что зависимость не линейная.В нашей задаче для расчета r построим вспомогательную таблицу7.

Таблица 7. Вспомогательные расчеты линейного коэффициента корреляции

год	x	y			tx	ty	txty		xy
2004	2067	193	2353496,90	16270,4	-1,06	-0,83	0,88	195684,4	398931
2005	2090	187	2283456,79	17837,1	-1,04	-0,87	0,91	201817,3	390830
2006	3115	300	236304,01	422,5	-0,33	-0,13	0,04	9992,3	934500
2007	4504	457	815208,35	18617,1	0,62	0,89	0,55	123194,2	2058328
2008	4988	547	1923460,79	51277,1	0,95	1,48	1,41	314053,3	2728436
2009	5757	573	4647856,90	63728,2	1,48	1,65	2,45	544242,2	3298761
2010	4116	252	265110,57	4699,9	0,35	-0,45	-0,16	-35298,5	1037232
2011	4539	155	879635,57	27408,6	0,65	-1,08	-0,70	-155272,7	703545
2012	1234	221	5603215,01	9911,3	-1,63	-0,65	1,06	235659,1	272714
Итого	32410	2885	19007744,89	210172,2			6,46	1434071,4	11823277,00

 

 

В нашей задаче:

x =32410 /9 = 3601,11 

y = 2885/9 = 320,56

= = 1453,26

= = 152,82

Линейный коэффициент корреляции по формуле: r = 6,46/9  =  0,712

Найденное значение свидетельствует о том, что связь между величиной возбуждённых дел и величиной лиц, понёсших наказание, очень близка к функциональной (сильная по шкале Чэддока).

Проведём проверку коэффициента корреляции на значимость (существенность). Интерпретируя значение коэффициента корреляции, следует иметь в виду, что он рассчитан для ограниченного числа наблюдений и подвержен случайным колебаниям, как и сами значения x и y, на основе которых он рассчитан. Другими словами, как любой выборочный показатель, он содержит случайную ошибку и не всегда однозначно отражает действительно реальную связь между изучаемыми показателями. Для того, чтобы оценить существенность (значимость) самого r и, соответственно, реальность измеряемой связи между х и у, необходимо рассчитать среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции σr. Оценка существенности (значимости) r основана на сопоставлении значения r с его средней квадратической ошибкой: .

Если число наблюдений небольшое (n<30), то σr рассчитывается по формуле:

,

а значимость r проверяется на основе t-критерия Стьюдента, для чего определяется расчетное значение критерия по формуле и сопоставляется ctТАБЛ .

.

В нашей задаче число наблюдений небольшое, значит, оценивать существенность (значимость) линейного коэффициента корреляции будем по формулам:

=  0,23;

= 0,712/0,23 = 3,09

Из значений по таблице Стьюдента видно, что при числе степеней свободы ν = 9 – 2 = 7 и вероятности β = 95% (уровень значимости α =1 – β = 0,05) tтабл=2,36, значит, tРАСЧ >tТАБЛ, что дает возможность считать линейный коэффициент корреляции r = 0,712 значимым.

Далее проведём подбор уравнения регрессии, которое представляет собой математическое описание изменения взаимно коррелируемых величин по эмпирическим (фактическим) данным. Уравнение регрессии должно определить, каким будет среднее значение результативного признака у при том или ином значении факторного признака х, если остальные факторы, влияющие на у и не связанные с х, не учитывать, т.е. абстрагироваться от них. Другими словами, уравнение регрессии можно рассматривать как вероятностную гипотетическую функциональную связь величины результативного признака  у со значениями факторного признака х.

Найти в каждом конкретном случае тип функции, с помощью которой можно наиболее адекватно отразить ту или иную зависимость между признаками х и у, - одна из основных задач регрессионного анализа. Выбор теоретической линии регрессии часто обусловлен формой эмпирической линии регрессии; теоретическая линия как бы сглаживает изломы эмпирической линии регрессии. Кроме того, необходимо учитывать природу изучаемых показателей и специфику их взаимосвязей. Исходные данные и расчеты для нашего примера представим в таблице 8

Таблица 8. Вспомогательные расчеты для нахождения уравнения регрессии

период	x	y	x2	xy
2004	2067	193	4272489	398931	204,8119	139,52
2005	2090	187	4368100	390830	206,5472	382,09
2006	3115	300	9703225	934500	283,8801	259,85
2007	4504	457	20286016	2058328	388,6755	4668,23
2008	4988	547	24880144	2728436	425,1917	14837,25
2009	5757	573	33143049	3298761	483,2102	8062,20
2010	4116	252	16941456	1037232	359,4022	11535,24
2011	4539	155	20602521	703545	391,3162	55845,33
2012	1234	221	1522756	272714	141,9649	6246,55
Итого	32410	2885		1313697,444	320,5556

 

По формулам находим уравнение регрессии.

а1 = 1313697,44 – 3601,11* 320,56 / 1453,26^2 = 0,07

отсюда а0 = 320,56 – 0,07* 3601,11 = 48,86

Отсюда получаем уравнение регрессии: = 48,86 +0,07 х.

Для иллюстрации различий между эмпирическими и теоретическими линиями регрессии построим график (рисунок 1).

Рис.1. График эмпирической и теоретической линий регрессии

Из рисунка 1 видно, что небольшие различия между эмпирической и теоретической линиями регрессии существуют, поэтому необходимо оценить существенность коэффициента регрессии и уравнения связи, для чего определяют среднюю ошибку параметров уравнения регрессии и сравнивают их с этой ошибкой.

Расчет ошибок параметров уравнения регрессии основан на использовании остаточной дисперсии, характеризующей расхождение (отклонение) между эмпирическими и теоретическими значениями результативного признака. Для линейного уравнения регрессии ( ) средние ошибки параметров a1 и a2  определяются по формулам соответственно:

, , .

Значимость параметров проверяется путем сопоставления его значения со средней ошибкой. Обозначим это соотношение как t:

,

Если выборка малая (n<30), то значимость параметра ai проверяется путем сравнения стабличным значения t-критерия Стьюдента при числе степеней свободы ν=n-2 и заданном уровне значимости α. Если рассчитанное значение больше табличного, то параметр считается значимым.

В нашем примере по формуле: = 106,44

Находим среднюю ошибку параметра a0 :

= 40,16

Теперь находим среднюю ошибку параметра a1: = 0,02

Теперь для параметра a0: = 1,21

И по той же формуле для параметра a1: = 2,72

Так как выборка малая, то задавшись стандартной значимостью α=0,05 находим табличное значение tα=2,36, которое ниже значения для а1, но выше, чем значение 1,21, что свидетельствует о значимости одного из параметров уравнения регрессии.

Наряду с проверкой значимости отдельных параметров осуществляется проверка значимости уравнения регрессии в целом или, что то же самое, проверка адекватности модели с помощью критерия Фишера. В нашем примере получим:

Сравнивая расчетное значение критерия Фишера Fр = 7,42 с  табличным  Fт = 5,59, при числе степеней свободы ν1 = k – 1 = 2 –1 = 1 и ν2 = n – k = 9 – 2 = 7 и стандартном уровне значимости α = 0,05, можно сделать вывод, что уравнение регрессии значимо.

Итак, в целом можно сделать вывод, что величина ответчиков по возбуждённым уголовным  делам за период с 2004 года имела сильную зависимость от общего количества заведённых уголовных дел. Корреляционную связь выявили, как тесную. Иными словами можно сказать, что чем больше таможенные органы будут уделять внимание проверкам, ревизиям и прочим методам контроля, перечисленным в теоретической главе, тем больше будет выявлено правонарушений и соответственно, заведено и разрешено дел.