Статистические методы изучения инвестиций

Для определения моды графическим методом строим по данным табл. 4 (графы 2 и 3) гистограмму распределения фирм по изучаемому признаку.

 

Мо

 

Рис. 1. Определение моды графическим методом

 

Согласно графику Мо = 0,66 млн. руб.

Наиболее часто в выборочной совокупности предприятий встречается размер инвестиций в основные фонды равный 0,66 млн. руб.

Расчет конкретного значения моды для интервального ряда распределения производится по формуле:

 

 

где хМo – нижняя граница модального интервала,

h – величина модального интервала,

fMo – частота модального интервала,

fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл. 4 модальным интервалом построенного ряда является интервал 0,56 – 0,76 млн. руб., т. к. он имеет наибольшую частоту (fj=13). Расчет моды:

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенный размер инвестиций в основные фонды характеризуется средней величиной 0,66 млн. руб.

Для определения медианы графическим методом строим по данным табл. 5 (графы 2 и 5) кумуляту распределения фирм по изучаемому признаку.

 

Ме

Рис. 2. Определение медианы графическим методом

 

Согласно графику Ме = 0,64 млн. руб.

Расчет конкретного значения медианы для интервального ряда распределения производится по формуле

 

,

 

где хМе – нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

fМе – частота медианного интервала,

SMе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Определяем медианный интервал, используя графу 5 табл. 5. Медианным интервалом является интервал 0,56–0,76 млн. руб., т. к. именно в этом интервале накопленная частота Sj=20 впервые превышает полу сумму всех частот ( ).

Расчет медианы:

Вывод: В рассматриваемой совокупности предприятий половина имеют размер инвестиций в основные фонды не более 0,64 млн. руб., а другая половина – не менее 0,64 млн. руб.

3. Расчет характеристик  ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , у, у2, Vу на основе табл. 5 строим вспомогательную таблицу 6 ( – середина интервала)

 

Таблица 6. Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Группы предприятий по размерам инвестиций в основные фонды, млн. руб.,	Середина интервала, xj	Число предприятий, fj
0,16–0,36	0,26	3	0,78	-0,36	0,1296	0,3888
0,36–0,56	0,46	4	1,84	-0,16	0,0256	0,1024
0,56–0,76	0,66	13	8,58	0,04	0,0016	0,0208
0,76–0,96	0,86	5	4,3	0,24	0,0576	0,288
ИТОГО		25	15,5			0,800

 

Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную:

 

 

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение:

 

Рассчитаем дисперсию:

у2 = 0,17902 = 0,0320

Рассчитаем коэффициент вариации:

 

Вывод. Анализ полученных значений показателей и у говорит о том, что средняя величина размера инвестиций в основные фонды составляет 0,62

млн. руб., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 0,18 млн. руб. (или 28,87%), наиболее характерный размер инвестиций в основные фонды находится в пределах от 0,44 до 0,80 млн. руб. (диапазон ).

Значение Vу = 28,87% не превышает 33%, следовательно, вариация размеров инвестиций в основные фонды в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =0,62 млн. руб., Мо=0,66 млн. руб., Ме=0,64 млн. руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение размера инвестиций в основные фонды (0,62 млн. руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

4. Вычисление средней  арифметической по исходным данным  о размерах инвестиций в основные  фонды

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

,

 

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по исходным данным (0,61 млн. руб.) и по интервальному ряду распределения (0,62 млн. руб.), заключается в том, что в первом случае средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 25-ти предприятий, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным.

Задание 2

По исходным данным (табл. 1) с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Инвестиции в основные фонды и Нераспределенная прибыль, образовав четыре группы с равными интервалами по каждому из признаков, используя методы:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

2. Измерить тесноту корреляционной  связи, используя коэффициент детерминации  и эмпирическое корреляционное  отношение.

Сделать выводы по результатам выполнения задания 2.

Выполнение задания 2

Целью выполнения данного задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, а также установление направления связи и оценка ее тесноты.

По условию Задания 2 факторным является признак Инвестиции в основные фонды, результативным – признак Нераспределенная прибыль.

1. Установление  наличия и характера корреляционной  связи между признаками Инвестиции  в основные фонды и Нераспределенная прибыль методами аналитической группировки.

1. Применение метода аналитической  группировки

Аналитическая группировка строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х- Инвестиции в основные фонды

Y – Нераспределенная прибыль

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 3), основываясь на итоговых строках «Всего».

Вывод. Анализ данных табл. 7 показывает, что с увеличением размеров инвестиций в основные фонды от группы к группе систематически возрастает и нераспределенная прибыль по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками

2. Измерение тесноты  корреляционной связи с использованием  коэффициента детерминации зІ  и эмпирического корреляционного  отношения з

Коэффициент детерминации зІ характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии :

 

где уІ0 – общая дисперсия признака Y,

– межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Общая дисперсия уІ0 характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле

 

, (10)

 

где yi – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного признака;

n – число единиц совокупности.

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактораХ (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле

 

, (13)

 

где – групповые средние,

– общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета показателей уІ0 и необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

 

 

Значения числителя и знаменателя формулы имеются в табл. 7 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю :

= =4,208 млн руб.

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 8.

 

Таблица 8. Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер предприятия	Нераспределенная прибыль, млн. руб.
1	2,7	-1,508	2,2741
2	4,8	0,592	0,3505
3	6,0	1,792	3,2113
4	4,7	0,492	0,2421
5	4,4	0,192	0,0369
6	4,3	0,092	0,0085
7	5,0	0,792	0,6273
8	3,4	-0,808	0,6529
9	2,3	-1,908	3,6405
10	4,5	0,292	0,0853
11	4,7	0,492	0,2421
12	5,4	1,192	1,4209
13	5,8	1,592	2,5345
14	3,9	-0,308	0,0949
15	4,2	-0,008	0,0001
16	5,6	1,392	1,9377
17	4,5	0,292	0,0853
18	3,8	-0,408	0,1665
19	2,0	-2,208	4,8753
20	4,8	0,592	0,3505
21	5,2	0,992	0,9841
22	2,2	-2,008	4,0321
23	3,6	-0,608	0,3697
24	4,1	-0,108	0,0117
25	3,3	-0,908	0,8245
Итого	105,2		29,0593

 

Рассчитаем общую дисперсию:

 

=

 

Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 9 При этом используются групповые средние значения из табл. 7 (графа 5).

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

 

 

Определяем коэффициент детерминации:

 

или 83,7%

 

Вывод. 83,7% вариации нераспределенной прибыли предприятиями обусловлено вариацией инвестиции в основные фонды, а 16,3% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение з оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

 

 

Рассчитаем показатель :

 

 

Вывод: согласно шкале Чэддока связь между размерами инвестиций в основные фонды и размерами нераспределенной прибыли предприятий является весьма тесной.

3. Оценка значимости (неслучайности) полученных характеристик  связи признаков  и

Показатели и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка выборочных показателей на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле , где n – число единиц выборочной совокупности, m – количество групп,

– межгрупповая дисперсия,

– дисперсия j-ой группы (j=1,2,…, m),

– средняя арифметическая групповых дисперсий.

Величина рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

, где  – общая дисперсия.

Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия Fрасч сравнивается с табличным Fтабл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m: k1=m-1, k2=n-m. Величина Fтабл для значений , k1, k2 определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия для различных комбинаций значений , k1, k2. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Если Fрасч>Fтабл, коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков, сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

Если Fрасч<Fтабл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для значений =0,05; k1=3,4,5; k2=21–32 представлен ниже:

 

	k2
k1	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
3	3,07	3,05	3,03	3,01	2,99	2,98	2,96	2,95	2,93	2,92	2,91	2,90
4	2,84	2,82	2,80	2,78	2,76	2,74	2,73	2,71	2,70	2,69	2,68	2,67
5	2,68	2,66	2,64	2,62	2,60	2,59	2,57	2,56	2,54	2,53	2,52	2,51

 

Расчет дисперсионного F-критерия Фишера для оценки =83,7%, полученной при =1,1624, =0,9732:

 

Fрасч

 

Табличное значение F-критерия при = 0,05:

n	m	k1=m-1	k2=n-m	Fтабл( ,3, 21)
25	4	3	21	3,07

 

ВЫВОД: поскольку Fрасч>Fтабл, то величина коэффициента детерминации =83,7% признается значимой (неслучайной) с уровнем надежности 95% и, следовательно, найденные характеристики связи между признаками Инвестиции в основные фонды и Нераспределенная прибыль правомерны не только для выборки, но и для всей генеральной совокупности фирм.

Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,954 необходимо определить:

ошибку выборки среднего размера инвестиций и границы, в которых будет находиться средний размер инвестиций в генеральной совокупности.

ошибку выборки доли предприятий с инвестициями в основные фонды 0,76 млн. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3

Целью выполнения данного Задания является определение для генеральной совокупности предприятий региона границ, в которых будут находиться средний размер инвестиций, и доля предприятий с инвестициями в основной фонд не менее 0,76 млн. руб.