Средние величины

· средняя квадратическая, если m = 2;

· средняя кубическая, если m = 3.

Если рассчитать все виды средних для одних  и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности: с увеличением показателя степени т увеличивается и соответствующая средняя величина:

X_гарм ≤ X_геом ≤ X_арифм ≤ X_квадр ≤ X_куб.

 

Пользуясь этим правилом, статистика может в зависимости  от настроения и желания ее "знатока" либо "утопить", либо "выручить" студента, получившего на сессии оценки 2 и 5. Каков его средний балл?

Если судить по средней  арифметической, то средний балл равен 3,5. Но если декан желает "утопить" несчастного и вычислит среднюю  гармоническую

то студент  остается и в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки. Однако студенческий комитет может возразить декану и представить среднюю кубическую величину:

 

 

Студент уже выглядит "хорошистом" и даже претендует на стипендию! И только в том случае, если лентяй провалил оба экзамена, статистика помочь не в состоянии: увы, все средние из двух двоек равны все той же двойке!

 

2.1. Средняя  арифметическая величина

Средней арифметической величиной называется такое среднее  значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Иначе можно сказать, что  средняя арифметическая величина - среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности.

Средняя арифметическая –  наиболее распространенный на практике вид средних. Различают 2 вида арифметических средних:

· Невзвешенную (простую);

· Взвешенную.

Средняя арифметическая невзвешенная рассчитывается для не сгруппированных  данных по формуле:

 

Для массовых статистических совокупностей рассчитывается взвешенная средняя арифметическая по формуле:

 

Если при группировке  значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней  арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств признака и совокупности. Например, по табл.2 можно минимальный возраст рабочих считать 17 лет. Тогда первый интервал будет от 17 до 20 лет, а максимальный возраст — 65 лет, тогда последний интервал — 50-65 лет.

 

Таблица 2. Распределение рабочих предприятия по возрасту

Группы рабочих  по возрасту, лет	Число рабочих fj	Середина интервала xj	xj fj
До 20	48	18,5	888
20-30	120	25	3000
30-40	75	35	2625
40-50	62	45	2790
Старше50	54	57,5	3105
Итого	359	34,56	12408

Средний возраст  рабочих, рассчитанный по формуле с  заменой точных значений признака в  группах серединами интервалов, составил:

 

=

что и записано в итоговую строку по графе 3 табл.2.

Средняя арифметическая величина обладает рядом свойств, позволяющих  ускорить расчет:

1.Произведение средней  на сумму частот всегда равно  сумме произведений вариант на  частоты, т. е. 

Это свойство определено требованиями правильного исчисления средней, согласно которым конкретные значения варьирующего признака уравниваются без изменения общего объема его и заменяются одним средним числом, которое как постоянный множитель выносится из-под знака суммы. Благодаря этому свойству средняя может быть использована для разного рода плановых и статистических расчетов как представитель или заменитель всех значений варьирующего признака. Так, если средний расход горючего на 1 гектар пахоты составляет 20 литров, а всего надо вспахать 2 млн. га, то всего потребуется 40 млн. литров горючего. Аналогично, если достаточно репрезентативное выборочное обследование показало, что среднегодовой надой молока на одну корову составляет 2500 литров, а всего в районе 15 тыс. коров, то общий надой составит 37,5 млн. литров.

2.Сумма отклонений  вариантов как от простой, так  и от взвешенной средней арифметической  равна нулю:

 и

Рассмотренное свойство может быть использовано для  проверки правильности исчисления средней. Если при исчислении средней арифметической и не равны нулю, это указывает, что средняя неправильно исчислена. А так как в анализе часто приходится пользоваться отклонениями от средней, их удобно использовать и для проверки правильности исчисления средней.

3.Сумма квадратов отклонений  вариантов как от простой, так  и от взвешенной средней меньше  суммы квадратов отклонений от  любой другой произвольной величины а, т. е.

 

2.2.Средняя гармоническая величина

 

Если по условиям задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма  величин, обратных индивидуальным значениям  признака, то средняя величина является гармонической средней.

Средняя гармоническая величина, как и средняя арифметическая может быть простой и взвешенной. Если веса у каждого значения признака равны, то можно использовать среднюю гармоническую простую:

 .

 

Однако в статистической практике чаще применяется средняя  гармоническая взвешенная:

, где m = xf  ,

 

она используется, как правило, при расчете общей средней  из средних групповых.

Средняя гармоническая имеет  более сложную конструкцию, чем  средняя арифметическая. Среднюю  гармоническую применяют для  расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

 

2.3.Средняя геометрическая  величина

 

Если при  замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину.

Ее формула такова:

 

, для простой.

, для взвешенной.

Основное применение геометрическая средняя находит при определении  средних темпов роста. Пусть, например, в результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза к предыдущему году, а за второй год еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Каков средний темп роста цены за год? Арифметическая средняя здесь непригодна,  ибо если за год цены возросли бы в раза, то за два года цена возросла бы в2,5 х 2,5 = 6,25 раза, а не в 6 раз. Геометрическая средняя дает правильный ответ: √6 - 2,45 раза.

Геометрическая средняя  величина дает наиболее правильный по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равно удален как от максимального, так и от минимального значения признака. Например, если максимальный размер выигрыша в лотерее составляет миллион рублей, а минимальный - сто рублей, то какую величину выигрыша можно считать средней между миллионом и сотней? Арифметическая средняя явно непригодна, она составляет 500 050 руб., а это, как и миллион, крупный, а никак не средний выигрыш; он качественно однороден с максимальным и резко отличен от минимального. Не дают верного ответа ни квадратическая средняя (707 107 руб.), ни кубическая (793 699 руб.), ни гармоническая средняя (199,98 руб.), слишком близкая к минимальному значению. Только геометрическая средняя дает верный с точки зрения экономики и логики ответ: Десять тысяч — не миллион, и не сотня! Это, действительно, нечто среднее между ними.

Наиболее  часто формулу  средней геометрической используют для определения средних валютных курсов, эффективности валютных курсов,реальной эффективности валютных курсов (международная финансовая статистика).

 

2.4. Средняя квадратическая  величина

Если при  замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить  неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной.

Ее формула  такова:

, для простой.

 для взвешенной.

Например, имеются три  участка земельной площади со сторонами квадрата: х1 = 100 м; х2 = 200 м; х3 = 300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100 + 200 + 300):3 = 200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3*(200 м)² =120 000 м². В то же время площадь исходных трех участков равна: (100 м)² + (200 м)² + (300 м)² = 140 000 м². Правильный ответ дает квадратическая средняя:

 

 

Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.

 

 

 

 

3. Основные  методологические требования расчета  средних величин

 

В связи с  тем, что различные виды средних  приводят к разным результатам, возникает проблема правильного выбора формы средней. Если форма выбрана неправильно, то средняя будет завышена либо занижена. Так как любая средняя рассчитана на отображение лишь одного какого-либо конкретного свойства совокупности, то, следовательно, ответ может быть только однозначным. Кроме того, каждая средняя имеет свой особый смысл и область применения.

Рассматривая  вопрос о выборе формы средней, которая  наилучшим образам отвечает требованиям, К. Джини пишет: «Для выбора такой  средней можно наметить лишь общие  нормы, решающую же роль здесь играет интуиция и искусство исследователя». Как, однако, ни важны эти качества исследователя, как и общие соображения об особенностях различных средних и их назначении, решающим в выборе формы средней является социально-экономическое содержание явления, сущность которого должна найти свое количественное выражение в средней. Средняя должна, на основе обобщения количественной стороны массовых общественный явлений в неразрывной связи с их качественной стороной, дать ответ на конкретные вопросы, выдвигаемые жизнью. Поэтому для правильного решения вопроса о выборе формы средней необходимо прежде всего учесть сущность объекта, законы его развития, его специфику, определить задачу, которая должна решаться при помощи средней, и исходя из всего этого установить определяющий показатель, который должен найти отражение в средней. Таков первый этап в решении вопроса о форме средней.

Второй этап в выборе формы средней заключается  в определении характера связи  между определяющим свойством и  осредняемым признаком. Если, например, связь прямо пропорциональна, то для расчета средней надо воспользоваться формулой средней арифметической, а при обратной пропорциональности — формулой средней гармонической. В случаях, когда связь выражается в форме геометрической прогрессии, средняя должна исчисляться по формуле средней геометрической и т. п.

Третий этап практически сводится к исчислению числовых значений средней по избранной формуле на основе фактических данных.

Из всех трех этапов наиболее сложным является первый. Недоучет некоторых обстоятельств  на этом этапе или формальный подход, оторванный от качественного анализа, приводит нередко к тому, что разные авторы предлагают для решения одной и той же задачи разные виды средних.

Так как средние, включая и распределительные  средние, привлекаются для получения  типичных характеристик совокупности, то выбор формы средней для решения той или иной задачи зависит и от того, о какой типичности идет речь. Для характеристики однородности совокупности, устойчивости или изменчивости явлений и процессов следует привлекать среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. В тех случаях, когда для решения той или иной задачи важно знать размер признака, который чаще всего встречается в совокупности, надо пользоваться модой, а для того, чтобы установить границу между высшей и низшей группами величин, а также для решения некоторых оптимальных задач, — медианой. Так как различные виды средней по-разному характеризуют совокупность, то для всестороннего ее изучения надо сочетать различные виды средних величин.

Таковы научные  основы выбора формы средней.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий  типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице  совокупности.

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.

К степенным  средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые  виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя  квадратическая, средняя гармоническая, средняя кубическая.

В качестве структурных  средних рассматриваются мода и  медиана.

Степенные средние  в зависимости от представления  исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя  считается по не сгруппированным  данным. Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным.