Средние величины и показатели вариации

Тема 1. Средние величины и показатели вариации

Задание 0

ОБЩЕЕ (без вариантов)

Кредиторская задолженность  предприятий района за отчетный период характеризуется данными тыс. руб:40, 60, 80, 50, 74, 90, 120, 45, 70, 92,100, 52, 67, 83, 70, 74, 63, 75, 85, 110.

1. Постройте ряд распределения  предприятий по размеру кредиторской  задолженности, образовав 4 группы  с равными интервалами.

2. По данным ряда распределения  определите

а) структуру предприятий  по размеру кредиторской задолженности;

б) средний размер кредиторской задолженности;

Решение.

Для группировок с равными  интервалами величина интервала  составляет

i = ₌₂₀

где x_max и x _min - наибольшее и наименьшее значение признака соответственно;

n - число групп.

Группы предприятий по размеру кредиторской задолженности, тыс. руб.	Число предприятий, ед.	Число предприятий в % к итогу
40-60	5	25
60-80	8	40
80-100	5	25
100-120	2	10

 

В первой колонке таблицы  представлены варианты интервального вариационного ряда, во второй - помещены частоты вариационного ряда, а в третьей - показаны частости.

Таким образом, наибольшую долю в структуре предприятий по размеру кредиторской задолженности составляют предприятия с задолженностью от 60 до 80 тыс. руб. (40%), наименьшую (10%) – предприятия с задолженностью от 100 до 120 тыс. руб. 

Для определения среднего размера кредиторской задолженности воспользуемся формулой  средней арифметической взвешенной.

где   - значение осредняемого признака,

- частота  

Группы предприятий по размеру кредиторской задолженности, тыс. руб.	Середина интервала,	Число предприятий, ед.,
40-60	50	5	250
60-80	70	8	560
80-100	90	5	450
100-120	110	2	220
Итого	х	20	1480

 

 тыс. руб.

В а р и а н т 1

Задание 1

Имеются следующие  данные о посевной площади и урожайности  пшеницы по фермерскому хозяйству:

Бригада	2010 г.		2011 г.
	Урожайность,  ц с 1 га	Посевная площадь, га	Урожайность,  ц с 1 га	Валовый сбор, ц
I II III	20,0 22,0 24,0	240 260 300	22,0 23,0 25,0	5500 6900 8000

Определить: 1) среднюю  урожайность пшеницы по фермерскому  хозяйству; 2) абсолютное и относительное изменение урожайности пшеницы в 2011 г. по сравнению с 2010 г.

Среднюю урожайность  пшеницы по фермерскому хозяйству  за 2010 г. можно определить по формуле средней арифметической взвешенной:

ц/га;

за 2011 год в  связи отсутствием данных по посевной площади урожайность можно определить по формуле средней гармонической взвешенной:

 ц/га

Задание 2

Основываясь на нижеприведенных данных, определите: среднюю величину анализируемого признака; размах вариации; среднее линейное отклонение; среднее квадратическое отклонение; дисперсию; коэффициент вариации; моду и медиану.

По данным о  затратах времени на изготовление одной  детали рабочих ремонтного цеха депо выбрать форму средней и определите средние затраты времени на одну деталь,  показатели вариации, моду и медиану.

Затраты времени  на изготовление 1 детали, мин (хi)	До 5	5–7	7–9	9–11	11–13	13–15
Количество деталей, шт. (fi)	20	10	35	15	27	2

 

Для определения  средних затрат времени на изготовление 1 детали используем формулу средней арифметической взвешенной:

мин

где   - значение осредняемого признака,

- частота,

n- число единиц  совокупности.

Мода – наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности.

Вычисление моды в интервальном ряду производится по следующей формуле:             ,

где х_Мо - начало (нижняя граница) модального интервала (15);

i - величина интервала (2);

f_Мо - частота модального интервала (30);

f _Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному (20);

f _М0+1 - частота интервала, следующего за модальным (25).

Воспользуемся данными  исходной таблицы и рассчитаем моду:

 

Медиана (М_е)- варианта, находящаяся в средине ряда распределения. Для ее определения достаточно расположить в порядке возрастания или убывания все варианты. Срединная варианта и будет являться медианой. Расчет медианы для интервального ряда производится по формуле

,

где х_Ме - начало (нижняя граница) медианного интервала (7);

i- величина интервала (2);

- сумма накопленных частот ряда (109);

s_Ме-1 - накопленная частота вариант, предшествующих медианному (30);

f_Ме - частота медианного интервала (35).

Затраты времени  на изготовление 1 детали, мин (хi)	Количество деталей	Накопленные частоты
1	2	3
До 5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15	20 10 35 15 27 2	20 30 65 80 107 109

Воспользуемся данными  табл. и рассчитаем медиану. В табл.  Ме лежит в частоте, равной 55, а она находится в сумме накопленных частот, равной 65, поэтому интервал 7-9 является медианным. Определяем медиану

Для характеристики размеров колеблемости признаков в статистике применяется следующие показатели: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации и др.

Размах вариации представляет собой разность между  наибольшим (х_max) и наименьшим (x_min) значениями вариант, т.е.

R = х_max-х_min

Среднее линейное отклонение определяется из отношения суммы, взятой по абсолютной величине (без учёта знака) отклонения всех вариант от средней арифметической, к объёму всей совокупности. Оно бывает невзвешенное и взвешенное и определяется соответственно по формулам:

,

.

Дисперсия - это средняя из квадратов отклонений значений признака от его средней арифметической величины. Она определяется по формуле простой дисперсии:

или взвешенной

Среднее квадратичное отклонение - это корень квадратный из дисперсии - определяется по формулам средней арифметической простой:

 

 

Таблица - Определение средней и показателей вариации.

Затраты времени  на изготовление 1 детали, мин (хi)		Количество деталей	Накопленные частоты	Середина интервала (центр. варианта) хi
1		2	3	4	5	6	7	8	9	10
До 5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15		20 10 35 15 27 2	20 30 65 80 107 109	4 6 8 10 12 14	80 60 280 150 324 28	-4,5 -2,5 -0,5 1,5 3,5 5,5	4,5 2,5 0,5 1,5 3,5 5,5	90,0 25,0 17,5 22,5 94,5 11,0	20,50 6,25 0,25 2,25 12,25 30,25	410,00 625,00 8,75 33,75 330,75 60,50
–			–			–	–		–
						–	–

 

или средней арифметической взвешенной

Мерой сравнения  степеней колеблемости для двух, трех и более вариационных рядов служит показатель, который носит название коэффициента вариации и определятся по формуле:

Полученная величина свидетельствует о наличии высокой  колеблемости единиц совокупности и о том, что совокупность разнородная.

Тема. «Относительные величины»

Задание 3.

Предприятие планировало  увеличить выпуск продукции в 2011 году по сравнению с 2010 годом на 15%. Фактически объем продукции составил 112%. Определить относительный показатель выполнения плана.

Относительная величина выполнения планового задания (ОВ_{вып.пл,зад.}) рассчитывается как отношение фактически достигнутого в данном периоде уровня к запланированному уровню

ОПВП =

Тема "Ряды динамики"

 

Задание 4.

1. По данным  табл. 4.1. вычислите:

1.1. основные аналитические  показатели ряда динамики (по  цепной и базисной схемам):

- абсолютный  прирост;

- темпы роста;

- темпы прироста;

-  абсолютное  значение 1 % прироста;

1.2. средние показатели  ряда динамики:

-  средний  уровень ряда динамики;

-  среднегодовой   темп роста;

-  среднегодовой  темп прироста.

2. По данным  табл. 4.2. вычислите индекс сезонности и изобразите графически сезонную волну.

Решение.

Результат расчета аналитических  показателей ряда динамики представим в таблице

                                                                                               Таблица 4.1.

Показатели	Годы
	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Внешнеторговый  оборот РФ, млрд. долл.	95,4	79,4	71,1	90,0	109,7	115,9
Абсолютный прирост  базисный	-	16,0	24,3	-5,4	14,3	20,5
Абсолютный прирост  цепной	-	16,0	8,3	18,9	19,7	6,2
Темп роста  базисный	100,0	83,2	74,5	94,3	115,0	121,5
Темп роста  цепной	100,0	83,2	89,5	126,6	121,9	105,7
Темп прироста, базисный	-	-16,8	25,5	5,7	15,0	21,5
Темп прироста цепной.	-	-16,8	10,5	26,6	21,9	5,7
Значение 1% прироста	-	1,0	0,8	0,7	0,9	1,1