Предмет, метод и задачи статистики как науки. Корреляционно-регрессионный анализ в статистике

С помощью корреляционно-регрессионного анализа определяют необходимость включения тех или иных факторов в уравнение множественной регрессии, а также оценивают полученное уравнение регрессии на соответствие выявленным связям, используя коэффициент детерминации.

Поэтому в данном контексте можно говорить о корреляционном анализе в широком смысле, когда  всесторонне характеризуется взаимосвязь. В то же время выделяют корреляционный анализ в узком смысле, когда исследуется сила связи и регрессионный анализ, в ходе которого оценивается ее форма и воздействие одних факторов на другие.

Задачи, собственно корреляционного анализа, сводятся к измерению тесноты связи  между варьирующими признаками, определению  неизвестных причинных связей и  оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак. Задачи регрессионного анализа лежат  в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для  оценки неизвестных значений зависимой  переменной.

Методы оценки тесноты  связи подразделяются на корреляционные(параметрические) и непараметрические.  Параметрические методы основаны на использовании, как правило, оценок нормального распределения и применяются в случаях, когда изучаемая совокупность состоит из величин, которые подчиняются закону нормального распределения. На практике это положение чаще всего принимается априори. Собственно, параметрические  методы принято называть корреляционными.

Непараметрические методы не накладывают ограничений на закон распределения изучаемых величин. Их преимуществом является и простота вычислений:

Коэффициент корреляции знаков Фехнера

Подсчитывается  количество совпадений и несовпадений знаков отклонений значений показателей от их среднего значения. C — число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних совпадают

H — число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних не совпадают

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Каждому показателю X и Y присваивается ранг. На основе полученных рангов рассчитываются их разности (d) и вычисляется коэффициент ранговой корреляции Спирмена 

Приемы корреляционного  анализа используются для измерения  влияния факторов в стохастическом анализе, когда взаимосвязь между  показателями неполная, вероятностная. Различают парную и множественную  корреляцию.                                                   Парная корреляция — это связь между двумя показателями, один из которых является факторным, а другой — результативным.  Множественная корреляция возникает при взаимодействии нескольких факторов с результативным показателем.

Необходимые условия  применения корреляционного анализа:

1. Наличие достаточно большого количества наблюдений о величине исследуемых факторных и результативных показателей (в динамике или по совокупности однородных объектов).
2. Исследуемые факторы должны иметь количественное измерение и отражение в тех или иных источниках информации.

Применение корреляционного  анализа позволяет решить следующие  задачи:

• определить изменение результативного показателя под воздействием одного или нескольких факторов (в абсолютном измерении), т.е. определить, на сколько единиц изменяется величина результативного показателя при изменении факторного на единицу;
• установить относительную степень зависимости результативного показателя от каждого фактора.

Первая задача решается путем подбора и обоснования  соответствующего типа уравнения связи  и нахождения его параметров. Уравнение связи обосновывается с помощью графиков, аналитических группировок и т.д.

Зависимость результативного  показателя от определяющих его факторов можно выразить уравнениемпарной и множественной регрессии. При прямолинейной форме она имеет следующий вид:

1. уравнение парной  регрессии:

2. уравнение множественной  регрессии:

a — свободный  член уравнения

x₁,x₂…x_n — факторы, определяющие уровень изучаемого результативного показателя; 

b₁,b₂…b_n — коэффициенты регрессии при факторных показателях, характеризующие уровень влияния каждого фактора на результативный показатель в абсолютном выражении. 

Расчет уравнения  связи сводится к определению параметров а, b, с. В соответствии с требованиями метода наименьших квадратов для определения параметров   необходимо решить следующие системы уравнений.

1. В случае прямолинейной зависимости:

2. В случае криволинейной зависимости между изучаемыми явлениями, когда при увеличении одного показателя, значения другого возрастают до определенного уровня, а потом начинают снижаться (например, зависимость производительности труда рабочих от их возраста), то для записи такой зависимости лучше всего подходит парабола второго порядка:

3. В случае криволинейной зависимости, когда при увеличении одной переменной значения другой увеличиваются до определенного уровня, а потом прирост снижается, например зависимость урожайности от количества внесенного удобрения, продуктивности животных от уровня их кормления, себестоимости единицы продукции от объема ее производства и т.д. Такую зависимость лучше описывает  гипербола:

При более сложном  характере зависимости между  изучаемыми явлениями используются более сложные полиномы (третьего, четвертого порядка и т.д.), степенные, показательные и другие функции.

Таким образом, используя  тот или иной тип математического  уравнения, можно определитьстепень зависимости между изучаемыми явлениями, узнать, на сколько единиц, в абсолютном измерении, изменяется величина результативного показателя с изменением факторного на единицу. Однако регрессионный анализ не дает ответа на вопрос: на сколько тесна эта связь, решающее или второстепенное воздействие оказывает данный фактор на величину результативного показателя. Математической мерой корреляции двух случайных величин (факторов) служит корреляционное отношение, либо коэффициент корреляции. В случае, если изменение одной случайной величины не ведёт к закономерному изменению другой случайной величины, но приводит к изменению другой статистической характеристики данной случайной величины, то подобная связь не считается корреляционной, хотя и является статистической Для измерения тесноты связи между факторными и результативными показателями исчисляется коэффициент корреляции. При прямолинейной форме связи между изучаемыми показателями он рассчитывается по следующим формулам:

Этот коэффициент  может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе его величина к 1, тем  более тесная связь между изучаемыми явлениями, и наоборот. Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, получим коэффициент детерминации.

Линейный коэффициент  корреляции связан с коэффициентом регрессии в виде следующей зависимости:

где: a_i—коэффициент регрессии, σ_x—среднеквадратическое отклонение соответствующего факторного признака, σ_y—среднеквадратическое отклонение результативного признака. 

 

Что касается измерения  тесноты связи при криволинейной форме зависимости, то здесь используется не линейный коэффициент

корреляции, а корреляционное отношение, формула которого имеет следующий вид:

Эта формула является универсальной. Ее можно применять  для исчислениякоэффициента корреляции при любой форме зависимости. Однако, для его нахождения требуется предварительное решение уравнения регрессии и расчет по нему теоретических (выравненных) значений результативного показателя для каждого наблюдения исследуемой выборки. Силу связи между признаками можно оценить по шкале Чеддока: 
0.1 < η < 0.3 — слабая 
0.3 < η < 0.5 — умеренная 
0.5 < η < 0.7 — заметная 
0.7 < η < 0.9 — высокая 
0.9 < η < 1,0 — весьма высокая

При определении тесноты  связи для многофакторной модели, при условии линейной связи между факторами (переменными), используется коэффициент множественной корреляции:

Для расчета которого необходимо определить частные коэффициенты корреляции:

Решение задач многофакторного корреляционного анализа производится по типовым программам. Cведения вводятся в соответствующую программу  и  рассчитывается уравнение множественной регрессии.

 

 

                              Использованная  Литература.

1.                 В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский «Теория 
вероятностей и математическая сатистика»/ М., 1991. 

2.                 «Теория Статистики» под редакцией Р.А. Шмойловой/ «ФиС», 1998.  

3.                 «Многомерный статистический анализ на ЭBM с использованием  
пакета Microsoft Excel»/ М., 1997. 

4.                 А.А. Френкель, Е.В. Адамова «Корреляционно регрессионный  
анализ в экономических приложениях»/ М., 1987. 

5.                 И.Д.Одинцов «Теория статистики»/ М., 1998. 

6.                 А.Н. Кленин, К.К. Шевченко «Математическая статистика для  

экономистов-статистиков»/ М., 1990.