Построение модели множественной линейной регрессии, оценка параметров модели

 

Российский  государственный аграрный университет  –

МСХА имени  К.А. Тимирязева

(ФГБОУ ВПО  РГАУ – МСХА имени К.А. Тимирязева)

 

 

 

УТВЕРЖДАЮ   Заведующий кафедрой статистики и эконометрики К.э.н., доцент __________________Уколова А.В. «____»____________ _________г.

 

 

 

 

 

ОТЧЕТ

О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ  РАБОТЕ

 

 

ПОСТРОЕНИЕ  МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ, ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Научный руководитель

К.э.н., доцент  ___________________________ А.В. Уколова

подпись, дата

 

 

 

 

 

 

МОСКВА - 2012 г.

 

 

СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ

 

Исполнители темы: 

 

Студентка 402 группы УФФ_________________________Шишкина  Е.А.

подпись, дата

 

Студентка 402 группы УФФ________________________Нем  В.О.

подпись, дата

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

 

Объектом  исследования являются крупные и средние организации Воронежской области.

Цель  работы – построение модели множественной линейной регрессии влияния уровня интенсификации на эффективность производства продукции сельского хозяйства.

Работа  выполнялась в программе STATISTICA.

В процессе работы использовались следующие методы: дисперсионный анализ, корреляционно-регрессионный анализ (метод наименьших квадратов), графический метод.

В результате исследования была построена модель множественной линейной регрессии, параметры оценены на достоверность, оценена коллинеарность факторов, проведена  гребневая регрессия, модель оценена  на гетероскедастичность остатков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ:

 

ОПРЕДЕЛЕНИЯ 5

ВВЕДЕНИЕ 9

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 13

1.Оценка распределения хозяйств по изучаемым признакам 13

2. Построние  множественной регрессии 22

3.Оценка влияние коллинеарности факторов на основе коэффициентов корреляции  между независимыми переменными 24

4.Оценка параметров уравнения  множественной регрессии методом Ридж – регрессии (гребневой) 26

5.Исследование  модели регрессии на гетероскедатичность остатков. 32

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 36

СПИСОК  ИПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 37

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В настоящем  отчете о научно исследовательской  работе применяют следующие термины  с соответствующими определениями  и пояснениями:

Корреляционно-регрессионный анализ — классический метод стохастического моделирования хозяйственной деятельности. Он изучает взаимосвязи показателей хозяйственной деятельности, когда зависимость между ними не является строго функциональной и искажена влиянием посторонних, случайных факторов.

Данный  метод содержит две свои составляющие части — корреляционный анализ и регрессионный анализ.

Корреляционный анализ — это количественный метод определения тесноты и направления взаимосвязи между выборочными переменными величинами. 

Регрессионный анализ — это количественный метод определения вида математической функции в причинно-следственной зависимости между переменными величинами.

Корреля́ция  — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми).

При этом, изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.

Некоторые виды коэффициентов корреляции могут  быть положительными или отрицательными. В первом случае предполагается, что  мы можем определить только наличие  или отсутствие связи, а во втором — также и ее направление. Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой. При этом коэффициент корреляции будет отрицательным. 

Положительная корреляция — это такая связь, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной.

Регрессия представляет собой модель, где среднее значение зависимой (объясняющей) переменной рассматривается как функция одной независимой (объясняющей) переменной , т.е. это модель вида

.

Множественная регрессия представляет собой модель, где среднее значение зависимой (объясняющей) переменной рассматривается как функция нескольких  независимых (объясняющих) переменных , т.е. это модель вида

.

Толерантность - позволяет исключить из модели неинформативные переменные. Толерантность переменной определяется как 1 минус квадрат коэффициента множественной корреляции этой переменной со всеми остальными независимыми переменными, входящими в уравнение регрессии.

Дисперсионный анализ – это статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов.

Ридж-регрессия  или гребневая регрессия - это один из методов понижения размерности. Часто его применяют для борьбы с переизбыточностью данных, когда независимые переменные коррелируют друг с другом,т.е. имеет место мультиколлинеарность.

Мультиколлинеарность - тесная корреляционная взаимосвязь между отбираемыми для анализа факторами, совместно воздействующими на общий результат, которая затрудняет оценивание регрессионных параметров. Наличие мультиколлинеарности факторов может  означать, что некоторые факторы  будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Метод наименьших квадратов— один из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии.

Необходимо отметить, что собственно методом наименьших квадратов можно  назвать метод решения задачи в любой области, если решение  заключается или удовлетворяет  некоторому критерию минимизации суммы  квадратов некоторых функций  от искомых переменных. Поэтому метод  наименьших квадратов может применяться  также для приближённого представления (аппроксимации) заданной функции другими (более простыми) функциями, при нахождении совокупности величин, удовлетворяющих  уравнениям или ограничениям, количество которых превышает количество этих величин и т. д.

Тест Уайта  — универсальная процедура тестирования гетероскедастичности случайных ошибок линейной регрессионной модели, не налагающая особых ограничений на структуру гетероскедастичности, предложенная Уайтом в 1980 г. Тест является асимптотическим.

    Гетероскедастичность остатков  – это свойство остатков, которое  заключается в том, что их  дисперсии или разбросы для  каждого фиксированного Х являются  неоднородными или неодинаковыми.

Для обнаружения  гетероскедастичности остатков используется визуальный анализ графика зависимости  Y от Х, линии тренда и остатков.    При малом объёме выборки для оценки гетероскедастичности используют тест Гольдфельда-Квандта, разработанный в 1965г. М.Г. Гольдфельд и Р.Э. Квандт.

Наличие гетероскедастичности случайных  ошибок приводит к неэффективности оценок, полученных с помощью метода наименьших квадратов.

Гомоскедастичность  остатков – для каждого значения фактора остатки имеют одинаковую дисперсию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Общее назначение множественной регрессии  состоит  в анализе связи между несколькими  независимыми переменными и зависимой  переменной.

Множественная линейная регрессия является обобщением парной линейной регрессии на несколько  объясняющих переменных. При выполнении предпосылок Гаусса-Маркова оценки параметров уравнения множественной  линейной регрессии, полученные методом  наименьших квадратов, обладают свойствами несмещенности, эффективности и  состоятельности. Статистическая значимость коэффициентов и качество подбора  уравнения проверяются с помощью  распределений Стьюдента и Фишера. Коэффициент при объясняющей  переменной показывает, на сколько  единиц изменится зависимая переменная, если объясняющая вырастет на одну единицу при фиксированном значении остальных объясняющих переменных. В случае множественной регрессии  дополнительно предполагается отсутствие мультиколлинеарности объясняющих  переменных.

 

В данной работе рассматривается модель множественной  линейной регрессии, где на результативный показатель (выручку) оказывают влияние  показатели, отражающие уровень интенсификации производства (численность работников и амортизация в расчете на 100 га сельскохозяйственных угодий).

Исходными данными для анализа служат данные по крупным и средним организациям Воронежской области по 7 варианту за 2008 год о выручке от реализации продукции растениеводства и  животноводства, амортизации в растениеводстве  и животноводстве, среднегодовой  численности работников, занятых  в сельском хозяйстве и площади  с.-х. угодий (табл. 1).

 

Таблица 1. Исходные данные

№	Среднегодовая численность работников с.-.х. организации, чел.	Выручка от реализации продукии растениеводства, тыс. руб.	Выручка т реализации продукци животноводства ,тыс. руб.	Площадь с.-х. угодий	Амортизация в растениеводстве,тыс .руб.	Амортизация в животноводстве,тыс .руб.
1	15	5779	0	1835	643	0
2	19	7163	46	2734	456	0
3	19	4948	0	295	365	0
4	19	2303	0	661	123	0
5	21	1114	0	3061	54	0
6	22	6877	0	2821	14	0
7	23	1863	0	1040	17	0
8	24	0	2003	2523	0	77
9	25	1657	3586	1173	5	46
10	25	6010	0	2309	207	0
11	21	6907	0	1199	123	0
12	26	7920	0	2199	1821	0
13	24	10078	0	1800	718	0
14	11	7718	0	2028	154	0
15	29	8919	0	3143	26	0
16	30	0	9243	843	0	624
17	33	0	2741	261	56	23
18	34	5302	0	4016	0	0
19	34	6008	539	810	476	47
20	36	1508110	0	43873	77327	0
21	38	14796	0	1097	1346	0
22	40	2415	1213	859	247	6
23	40	10583	345	2093	415	21
24	41	0	4191	5528	0	630
25	42	8571	0	245	0	0
26	40	5953	311	2201	636	19
27	42	6597	0	1362	125	0
28	41	5695	0	3298	1518	0
29	47	12855	719	2412	1493	118
30	34	26273	0	3742	1223	0
31	52	11116	4948	1935	607	769
32	52	30614	1	5564	980	10
33	43	16250	2368	2901	915	50
34	55	56696	0	3729	5007	0
35	51	17405	0	3967	691	0
36	58	3232	0	15597	3663	0
37	59	27607	0	3331	8382	0
38	46	14060	2100	1421	539	27
39	58	1420	6170	828	0	0
40	61	21959	0	9886	14311	0
41	35	77159	0	3521	3254	0
42	59	32243	0	3015	300	0
43	58	52954	0	3939	4009	0
44	64	3070	8146	1013	285	397
45	67	18030	0	5524	6988	0
46	67	33000	0	5950	358	0
47	62	20433	856	6571	830	21
48	68	18946	0	13397	10590	0
49	65	35223	0	4700	890	0
50	67	11106	0	708	108	0
51	58	8101	11167	1625	1614	598
52	60	32754	0	3155	554	0
53	61	12595	12470	2993	226	46
54	68	4805	2282	5540	0	7
55	71	33270	0	16555	10865	0
56	57	34059	3404	2867	2077	352
57	74	3690	15544	2449	309	67
58	76	45564	3509	7526	4304	27
59	75	7361	0	379	104	0
60	78	92395	0	8403	5200	0
61	57	35564	6664	5443	747	0
62	76	11236	1860	2923	278	17
63	76	41736	36545	5681	3940	2055
64	77	9391	7666	4422	148	389
65	80	12568	9179	3256	221	963
66	83	9031	0	564	106	0
67	80	21491	0	9379	683	0
68	59	24557	0	5053	1958	0
69	75	17903	357	3872	159	39
70	78	67866	304	5787	7677	47
71	81	38302	4990	5578	2224	483
72	70	16148	8085	4248	237	99
73	80	20399	9465	3475	556	143
74	82	21122	1757	4087	276	67
75	84	17500	4494	7964	1652	256
76	89	34965	0	15601	11172	0
77	78	34418	14133	6500	1828	210
78	88	21932	7520	3525	224	91
79	81	65051	5557	5673	4186	104
80	84	56400	12447	4872	1895	1195
81	88	17386	7985	2308	169	384
82	83	23815	4522	5969	1613	442
83	91	34846	0	6202	3540	0
84	92	78120	0	28355	20506	532
85	81	50191	0	5247	6112	0
86	91	34472	0	4619	2026	0
87	91	17759	5543	6977	1050	90
88	95	27022	18885	3443	4157	166
89	80	5466	0	10296	13846	0
90	87	25618	5007	8125	1313	188
91	94	26416	0	2747	0	0
92	94	23355	7814	4605	1146	304
93	84	15768	15295	4689	3149	158
94	93	72754	0	8407	5534	0
95	95	3893	13835	3926	128	527
96	93	28862	11926	3953	270	16
97	96	6025	9746	4258	557	360

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Оценка распределения хозяйств по изучаемым признакам

 

Условие: имеются данные по крупным и средним организациям Воронежской области по 7 варианту за 2008 год о выручке от реализации продукции животноводства и растениеводства, амортизации животноводства и растениеводства, среднегодовой численности работников занятых в с/х и площади с/х угодий (табл.1).

Требуется: Построить модель множественной линейной регрессии, учитывающей влияние уровня интенсивности производства на его эффективность.

 

Решение:

1. В качестве показателя отражающего достигнутый уровень производства и реализации продукции возьмем выручку в расчете на 100 га с/х угодий (зависимая переменная у).
2. В качестве показателя отражающего уровень интенсификации производства берем численность работников в расчете на 100 га (х1) и амортизации в расчете на 100 га (х2).

Тогда модель множественной регрессии имеет  вид:

3)Рассчитаем показатели на 100 га с.-х.

 

Таблица 2. Расчет показателей на 100 га с.-х. угодий

№	Выручка от реализации продукции с.-х. на 100 га с.-х. угодий ,тыс.руб	Среднегодовая численность работников на 100 га с.-х. угодий, чел	Амортизация по отраслям с.-х. на 100 га с.-х. угодий, тыс. руб
1	314,9318801	0,817438692	35,04087193
2	263,6795903	0,694952451	16,67885881
3	1677,288136	6,440677966	123,7288136
4	348,4114977	2,874432678	18,60816944
5	36,39333551	0,68605031	1,764129369
6	243,7788018	0,779865296	0,496277916
7	179,1346154	2,211538462	1,634615385
8	79,38961554	0,951248514	3,051922315
9	446,973572	2,131287298	4,347826087
10	260,285838	1,082719792	8,964919879
11	576,0633862	1,75145955	10,25854879
12	360,1637108	1,182355616	82,81036835
13	559,8888889	1,333333333	39,88888889
14	380,5719921	0,542406312	7,593688363
15	283,7734648	0,922685332	0,827235126
16	1096,441281	3,558718861	74,02135231
17	1050,191571	12,64367816	30,26819923
18	132,0219124	0,846613546	0
19	808,2716049	4,197530864	64,56790123
20	3437,444442	0,082055022	176,2519089
21	1348,769371	3,463992707	122,698268
22	422,3515716	4,656577416	29,45285215
23	522,1213569	1,911132346	20,83134257
24	75,81403763	0,741678726	11,39652677
25	3498,367347	17,14285714	0
26	284,59791	1,817355747	29,75920036
27	484,3612335	3,083700441	9,177679883
28	172,6804124	1,243177683	46,02789569
29	562,7694859	1,948590381	66,79104478
30	702,1111705	0,908605024	32,68305719
31	830,1808786	2,687338501	71,11111111
32	550,2336449	0,934579439	17,79295471
33	641,778697	1,482247501	33,26439159
34	1520,407616	1,474926254	134,2719228
35	438,7446433	1,285606252	17,41870431
36	20,72193371	0,371866385	23,48528563
37	828,7901531	1,771239868	251,6361453
38	1137,227305	3,237156932	39,83110486
39	916,6666667	7,004830918	0
40	222,122193	0,61703419	144,760267
41	2191,39449	0,994035785	92,41692701
42	1069,419569	1,956882255	9,950248756
43	1344,351358	1,472454938	101,7771008
44	1107,206318	6,31786772	67,32477789
45	326,3939175	1,212889211	126,5025344
46	554,6218487	1,12605042	6,016806723
47	323,9841729	0,943539796	12,95084462
48	141,4197208	0,507576323	79,04754796
49	749,4255319	1,382978723	18,93617021
50	1568,644068	9,463276836	15,25423729
51	1185,723077	3,569230769	136,1230769
52	1038,161648	1,901743265	17,55942948
53	837,4540595	2,038088874	9,087871701
54	127,9241877	1,227436823	0,126353791
55	200,9664754	0,428873452	65,62971912
56	1306,696896	1,988140914	84,72270666
57	785,3817885	3,021641486	15,35320539
58	652,0462397	1,00983258	57,54716981
59	1942,216359	19,78891821	27,44063325
60	1099,547781	0,928239914	61,88266095
61	775,8221569	1,047216608	13,72404924
62	448,032843	2,600068423	10,09237085
63	1377,944024	1,337792642	105,5271959
64	385,7304387	1,741293532	12,14382632
65	667,9054054	2,457002457	36,36363636
66	1601,241135	14,71631206	18,79432624
67	229,1395671	0,8529694	7,28222625
68	485,9885217	1,167623194	38,74925787
69	471,5909091	1,936983471	5,113636364
70	1177,985139	1,347848626	133,4715742
71	776,1204733	1,452133381	48,52993905
72	570,4566855	1,647834275	7,90960452
73	859,3956835	2,302158273	20,11510791
74	559,7993638	2,006361634	8,39246391
75	276,1677549	1,054746359	23,95781015
76	224,1202487	0,570476252	71,61079418
77	746,9384615	1,2	31,35384615
78	835,5177305	2,496453901	8,936170213
79	1244,63247	1,42781597	75,62136436
80	1413,115764	1,724137931	63,42364532
81	1099,263432	3,812824957	23,96013865
82	474,7361367	1,390517675	34,42787737
83	561,8510158	1,467268623	57,07836182
84	275,5069653	0,324457768	74,19502733
85	956,5656566	1,54373928	116,4856108
86	746,3087248	1,970123403	43,86230786
87	333,9830873	1,30428551	16,33940089
88	1333,343015	2,759221609	125,5591054
89	53,08857809	0,777000777	134,4794095
90	376,9230769	1,070769231	18,47384615
91	961,63087	3,421914816	0
92	676,8512486	2,041259501	31,48751357
93	662,4653444	1,791426743	70,52676477
94	865,3978827	1,106221006	65,8260973
95	451,5537443	2,419765665	16,68364748
96	1031,823931	2,352643562	7,235011384
97	370,3851574	2,254579615	21,53593236