Общая теория статистики

 

=

=

Вариация величины средней  выработки на 1 рабочего под влиянием всех факторов её формирующих составляет .

Межгрупповая дисперсия  отражает систематическую вариацию результативного признака (ср.выработка на 1 рабочего), т.е. те различия, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки (удельный вес технико-обоснованных норм). Она определяется по формуле:    =

 

Сгруппируем предприятия  по удельному весу технико-обоснованных норм:

Удельный вес технико-обоснованных норм, (X), %	Число предприятий,	Значение ср.выработки на 1 рабочего, (), тыс.руб.	Сумма, тыс. руб.	Средняя выработка на 1 рабочего, , тыс руб.
70,0-72,66	5	7,5 ; 7,2 ; 8,0 ; 7,2 ; 8,0	37,9	7,58	0,338
72,66-75,32	4	8,3 ; 7,3 ; 7,6 ; 7,6	30,8	7,7	0,0784
75,32-77,98	6	8,1 ; 8,4 ; 7,5 ; 7,6 ; 7,5; 7,6	46,7	7,78	0,0216
77,98-80,64	7	8,0 ; 7,9 ; 7,6 ; 7,8 ; 8,0 ; 8,1 ; 8,1	55,5	7,93	0,0567
80,64-83,3	3	8,3 ; 8,6 ; 7,2	24,1	8,03	0,1083
83,3-86,0	5	8,2 ; 8,0 ; 7,9 ; 7,6 : 8,6	40,3	8,06	0,242
Итого:	30		235,3		0,845

 

=

=

Вариация величины значения средней выработки на одного рабочего под влиянием удельного веса технико-обоснованных норм на этих предприятиях составляет 0,03

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, обусловленную влиянием неучтённых (второстепенных) факторов. Она определяется по формуле:

=

-текущее j-тое значение изучаемых признаков в i-ой группе

Средняя внутригрупповая  дисперсия характеризует случайную вариацию результативного признака, возникающего под влиянием других, неучтенных факторов и не зависит от факторного признака, положенного в основу группировки. Она определяется по формуле:

=

 

 

 

 

 

 

 

Вспомогательная таблица для расчёта средней  внутригрупповой дисперсии:

Удельный вес технико-обоснованных норм, (X), %	Число предприятий,	Значение ср.выработки на 1 рабочего, (), тыс.руб.	Средняя выработка на 1 рабочего, , тыс. руб.	Внутригрупповая дисперсия ()
70,0-72,66	5	7,5 ; 7,2 ; 8,0 ; 7,2 ; 8,0	7,58	0,081
72,66-75,32	4	8,3 ; 7,3 ; 7,6 ; 7,6	7,7	0,135
75,35-77,98	6	8,1 ; 8,4 ; 7,5 ; 7,6 ; 7,5; 7,6	7,78	0,118
77,98-80,64	7	8,0 ; 7,9 ; 7,6 ; 7,8 ; 8,0 ; 8,1 ; 8,1	7,93	0,028
80,64-83,3	3	8,3 ; 8,6 ; 7,2	8,03	0,230
83,3-86,0	5	8,2 ; 8,0 ; 7,9 ; 7,6 : 8,6	8,06	0,110
Итого	30

 

=

Правило сложения дисперсий:

=+

0,15=0,03+0,11

Рассчитаем коэффициент детерминации, т.е. долю межгрупповой дисперсии в общей. Этот показатель характеризует силу влияния группового факторного признака на общую вариацию.

=*100%=

-дельта,-сигма

Вывод: правило сложения дисперсий выполняется. Изменение удельного веса технико-обоснованных норм на . объясняет изменение значения процента выполнения нормы выработки на предприятиях, а другие . вариации объясняются неучтенными факторами.

Задание №4: Выявить  факты наличия связи между  Х и Y. Определить степень тесноты связи с помощью линейного коэффициента корреляции (). Составить уравнение регрессии.

Важнейшей целью статистики является изучение объективно существующих связей между явлениями. В ходе статистического  исследования этих данных необходимо выявить причинно-следственные зависимости  между показателями, т.е. насколько  изменение одних показателей  зависит от изменения других.

Существует 2 категории зависимостей (функциональная и корреляционная) и две группы признаков (факторные  и результативные). В отличие от функциональной связи, где существует полное соответствие между факторными и результативными признаками, в  корреляционной связи отсутствует  это полное соответствие.

Корреляционная  связь – связь, где воздействие отдельных факторов проявляется только как тенденция (в среднем) при массовом наблюдении фактических данных.

Наиболее простым вариантом  корреляционной зависимости является парная корреляция, т.е. влияние одного факторного признака на изменение результативного признака. Связи могут быть прямыми и обратными. Если связь прямая, то с увеличением факторного признака Х увеличивается и результативный признак Y, если обратная- с увеличением факторного признака Х результативный признак Y уменьшается.

Важнейшей задачей является определение формы связи с  последующим расчетом параметров уравнения  или, иначе, нахождение уравнения связи (уравнения регрессии).

Могут иметь место прямолинейные  и криволинейные формы связи. Другая важнейшая задача- измерение  тесноты зависимости- для всех форм связи может быть решена при помощи вычисления эмпирического корреляционного отношения :

 

= =

Для определения степени  тесноты парной линейной зависимости  служит линейный коэффициент корреляции r.

Зависимость средней выработки  на одного рабочего от удельного веса технико-обоснованных норм:

Удельный вес технико-обоснованных норм, (X), %	Серднее значение удельного веса технико-обоснованных норм,%	Средняя выработка на одного рабочего, тыс. руб
70,0-72,66	71,33	7,58
72,66-75,32	73,99	7,7
75,32-77,98	76,65	7,78
77,98-80,64	79,31	7,93
80,64-83.3	81,8	8,03
83,3-86,0	84,65	8,06

 

По данным групповой таблицы  мы видим, что с ростом среднего значения удельного веса технико-обоснованных норм, значение средней выработки  на 1 рабочего возрастает.

Корреляционное поле:

 

 

 

 

 

 

 

 

По расположению точек  в корреляционном поле можно предположить наличие прямой линейной корреляционной связи между изучаемыми факторами.

Измерим степень тесноты  связи между удельным весом технико-обоснованных норм и средней выработки на 1 рабочего с помощью линейного  коэффициента корреляции.

Формула для расчета линейного  коэффициента корреляции:

r=

X- удельный вес технико-обоснованных норм

Y- средняя выработка на 1 рабочего

n=30 -число единиц совокупности

Линейный коэффициент  корреляции принимает значения от -1 до +1, чем ближе он по модулю к 1, тем  теснее считается связь. Если коэффициент  корреляции >0, то связь -прямая, если <0, то связь –обратная, а если =0, то связь полностью отсутствует.

В зависимости от того, насколько  коэффициент корреляции приближается к ±1 различают очень слабую связь, слабую, умеренную, среднюю и сильную связи.

Вспомогательная таблица  для расчёта линейного коэффициента корреляции:

 

№ предприятия	Удельный вес технико-обоснованных норм, (X), %	Средняя выработка на 1 рабочего, тыс.руб., (Y)			X*Y
1	79,6	8,0	6336,16	64	636,8
3	80,5	7,9	6480,25	62,41	635,95
4	77,4	8,1	5990,76	65,61	626,94
5	82,2	8,3	6756,84	68,89	682,26
7	83,5	8,2	6972,25	67,24	684,7
9	85,0	8,0	7225	64	680
10	84,6	7,9	7157,16	62,4	668,34
11	84,5	7,6	7140,25	57,76	642,2
13	80,2	7,6	6432,04	57,76	609,52
15	79,9	7,8	6384,01	60,84	623,22
16	79,8	8,0	6368,04	64	638,4
17	79,9	8,1	6384,01	65,61	647,19
19	77,0	8,4	5929	70,56	646,8
21	75,0	8,3	5625	68,89	622,5
23	83,2	8,6	6922,24	73,96	715,52
25	86,0	8,6	7499,56	73,96	744,76
26	82,9	7,2	6872,41	51,84	596,88
27	70,0	7,5	4900	56,25	525
29	75,0	7,3	5625	53,29	547,5
31	76,0	7,5	5776	56,25	570
33	76,8	7,6	5898,24	57,76	583,68
35	73.4	7,6	5387,56	57,76	557,84
37	70,9	7,2	5026,81	51,84	510,48
39	70,7	8,0	4998,49	64	565,6
41	76,0	7,5	5776	56,25	570
43	76,8	7,6	5898,24	57,76	583,68
45	73,4	7,6	6955,56	57,76	557,84
47	70,9	7,2	5026,81	51,84	510,48
49	70,7	8,0	4998,49	64	565,6
50	79,0	8,1	6241	65,61	639,9
Итого	2341,4	235,3	184983,2	1850,1	18389,58

 

r= = =

Т.к. r >0, то связь между факторным и результативным признаком прямая, т.е. с ростом удельного веса технико-обоснованных норм увеличивается средняя выработка на 1 рабочего, т.е. коэффициент > 0,5, то это средняя связь.

= = = =

Такое значение корреляционного  отношения говорит о том, что  изменение результативного признака незначительно объясняется вариацией  факторного признака, а во многом зависит  еще и от неучтённых факторов.

Составим уравнение  регрессии.

Если точки в корреляционном поле расположены так, что позволяют  предполагать какую-то закономерность в изменении величины Y в зависимости от изменения X, и при этом коэффициент корреляции показывает наличие средней корреляции случайных величин, часто возникает необходимость найти зависимость между значениями этих величин виде аналитического выражения: y=f(x)

Уравнение такого вида называется уравнением регрессии Y на X, а линия, описываемая такой зависимостью, называется регрессионной кривой или линией тренда.

Нахождение уравнений  регрессии и оценка их статистической значимости и достоверности являются основными задачами регрессионного анализа.

Регрессионная кривая (уравнение) описывает тенденцию изменения  величины Y в соответствии с изменением X.

Линия регрессии может  иметь различный вид, который  выбирают на основе расположения точек  в корреляционном поле и значению коэффициента линейной корреляции.

Корреляционное поле:

Такое расположение точек  позволяет предположить наличие  линейной корреляции между случайными величинами. Следовательно, линию регрессии  наиболее целесообразно представить  виде прямой.

О возможности применения линейной модели для описания зависимости  средней выработки на одного рабочего от удельного веса технико-обоснованных норм можно говорить, если выполняется  следующее неравенство:

< 0,1

=

Следовательно, гипотеза о  линейной модели связи принимается.

Уравнение прямолинейной  корреляционной модели имеет вид:

Y=+*X

Для определения параметров и уравнения прямолинейной корреляционной связи надо решить систему уравнений:

=*n+*

=*+*

 

Регрессивная модель средней  выработки на одного рабочего с удельным весом технико-обоснованных норм.

Модель связи: Y=

В качестве меры достоверности  уравнения корреляционной связи  используется процентное отношение  средней квадратической ошибки уравнения ( к среднему уровню результативного признака: * 100% , где