Непараметрические критерии

«Непараметрические критерии»  Карсакбаева Л.

План

1. Введение
2. Понятие о непараметрическом критерии
3. Преимущества и недостатки непараметрических критериев
4. Основные виды непараметрических критериев
5. Пример на основе  Q-критерия Розенбаума
6. Заключение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение    

    Как известно, статистический критерий - это строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с известным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими. В зависимости от метода расчета, статистический критерий подразделяется на параметрический и непараметрический критерии. В данной работе будет рассмотрен непараметрический критерий.

 

Понятие о непараметрическом критерии

     Непараметрическими критериями называют те приемы обработки экспериментальных данных, которые не рассматривают анализируемое статистическое распределение как функцию, их применение не предполагает  предварительного вычисления параметров распределения. Эти критерии сопоставляют не сами по себе полученные величины, а порядок их расположения, их соотношение по типу больше – меньше.

      В большинстве  психолого-педагогических исследованиях для оценки  существенных различий  используют параметрический  t - критерий  Стьюдента, который основан на предположении, что сравниваемые выборки принадлежат нормальным распределениям совокупностей.   Между тем, в психологических исследованиях  распределения могут значительно отличаться от нормального. В этих случаях  и даже тогда, когда просто неизвестно, являются ли распределения нормальными, применение t – критерия является необоснованным и может привести к ошибочным заключениям. Именно поэтому все большее распространение получают непараметрические  критерии  различий, не зависящие от формы распределений. Их название  связано с тем, что эти критерии не требуют вычисления параметров известных распределений.

 

Преимущества  и недостатки непараметрического критерия

     Существует определенное соотношение выгод и потерь, связанных с использованием непараметрического критерия вместо параметрического. Главным мотивом применения непараметрических методов служит нежелание делать допущения, необходимые для использования параметрических процедур. Дополнительным соображением в пользу выбора непараметрического критерия для части исследователей служит присущая некоторым (хотя далеко не всем!) таким критериям легкость применения и простота вычислений.

 

     Назовем основные преимущества непараметрических критериев:

- при распределениях, близких к нормальным, они дают хороший результат;

- при распределениях, далеких от нормальных, позволяют обнаружить существенные различия, когда  t-критерий их не выявляет;

- не все психологические  признаки распределяются нормально;

- применимость к порядковым, а не строго к количественным  показателям;

- рассмотрение качественных  признаков, которые выражаются  порядковыми номерами  или индексами;

- небольшая трудоемкость  исследования и относительная  простота математического аппарата.  

     Однако с использованием непараметрических критериев связаны определенные неудобства и потери. Прежде всего, проверяемая с помощью непараметрического критерия нулевая гипотеза обычно не является в точности той же самой нулевой гипотезой, которая проверяется при использовании «соответствующего» параметрического критерия. Нулевая гипотеза при применении t-критерия для независимых выборок формулируется следующим образом: средние двух генеральных совокупностей равны. Нулевая гипотеза при использовании медианного критерия или критерия Манна-Уитни, которые можно было бы применить к тем же данным для определения того, «будут ли две группы оценок значимо различаться между собой», звучит иначе: две генеральные совокупности тождественны. А это предполагает, что выявление значимого различия могло оказаться следствием какого-то неизвестного нам сочетания различий в центральной тенденции, вариабельности и симметрии. Кроме того, непараметрические критерии могут быть нечувствительными к некоторым видам различий между совокупностями.

      Другое слабое место непараметрических критериев заключается в их относительно низкой статистической мощности по сравнению со стандартными параметрическими критериями. Мощность статистического критерия определяется как вероятность отклонения нулевой гипотезы в тех случаях, когда она является ложной. Непараметрические критерии обычно требуют больших объемов выборки, чтобы сравняться по статистической мощности с параметрическими критериями. Когда анализируемые данные более или менее соответствуют допущениям параметрических критериев, следует, по всей вероятности, использовать именно эти критерии.

 

Основные  виды непараметрических критериев

    Q-критерий Розенбаума. Критерий используется для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. В каждой из выборок должно быть не менее 11 испытуемых (значений). Критерий применим в тех случаях, когда данные представлены, по крайней мере, в порядковой шкале. Признак должен варьировать в некотором диапазоне значений – в противном случае применение критерия невозможно. Например, если имеется только 3 значения признака – Х1, Х2, Х3 – установить различия очень трудно. Метод Розенбаума требует, соответственно, достаточно тонко измеренных признаков.

      U-критерий Манна-Уитни. Метод определяет, достаточно ли мала зона пересекающихся значений между двумя рядами. Чем меньше эта область, тем более вероятно, что различия достоверны. Эмпирическое (фактически полученное) значение  критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Чем меньше U эмп., тем более вероятно, что различия достоверны.

     Т-критерий Вилкоксона. Критерий предназначен для сопоставления показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых. Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность, то есть, способен определить, является ли сдвиг показателей в одном направлении более интенсивным, чем в другом.

  c² –критерий Пирсона. Критерий применяется в двух целях: 1)      для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим; 2)      для сопоставления двух или более эмпирических распределений одного и того же признака.

   Критерий Колмогорова – Смирнова. Критерий предназначен для сопоставления двух распределений: а) эмпирического с теоретическим; б) одного эмпирического распределения с другим эмпирическим распределением.

Критерий позволяет найти  точку, в которой сумма накопленных  расхождений между двумя распределениями  является наибольшей и оценить достоверность  этого расхождения.

 

Пример  на основе Q-критерия Розенбаума

    В каждой выборке должно быть не менее 11 наблюдений, т.е. n 1 ≥ 11, n 2 ≥ 11, n 1 ≈ n 2.

При этом:      

если n 1 ≤ 50, n 2 ≤ 50, то (n 1 – n2) ≤ 10;      

если 51 ≤ n 1 ≤ 100, то (n l – n 2) ≤ 20;       

если n 1 ≥ 100, n 2  ≥ 100, то n 1 : n 2 ≤ 1,5, где n 1 ≥ n 2. 

 

Алгоритм использования. 

1.       проверить выполнение ограничений критерия:        

(n 1 ≥ 11, n 2 ≥ 11,  n 1 ≈ n 2)

2.       упорядочить значения признака в каждой выборке по убыванию. Определить в каждой выборке максимальное и минимальное значения исследуемого параметра. Считать первой ту выборку, в которой максимальное значение параметра больше, а второй - ту, в которой максимальное значение меньше.

3.       сформулировать гипотезы:

Н 0: уровень признака в  выборке 1  не превышает уровня признака в выборке 2;

Н 1: уровень признака в  выборке  1 превышает уровень признака в выборке 2;

4.       подсчитать количество значений (S 1) в выборке 1, которые больше максимального значения в выборке 2, и количество значений (S 2) в выборке 2, которые меньше минимального значения в выборке 1;

5.       найти эмпирическое значение Q-критерия Розенбаума по формуле:         

Q эмп.  = S 1 + S 2;

6.         по таблице для данных   n 1 и n 2 определить критические значения критерия с уровнями значимости p ≤  0,05 и p ≤  0,01. Сравнить Q эмп. и Q кр. 

    Если Q кр. ≥ Q кр.  на некотором уровне значимости, то Н 0 отклоняется на том уровне значимости, на котором вычислено критическое значение, а принимается

Н 1. Если Q эмп. < Q кр. (p ≤ 0,05), то принимается Н 0.

   Чем больше значения Q эмп., тем более достоверны различия.

    Пример. У двух групп испытуемых (группа А и группа В) измерен по одной и той же методике уровень вербального интеллекта. Можно ли утверждать, что в первой группе оценки выше, чем во второй?

Оценки таковы:

группа А: 121; 104; 115; 116; 115; 109; 115; 109; 108; 112; 112;109.

группа В: 121; 113; 123; 124; 121; 121; 120; 121; 111; 116; 118; 125; 125; 125; 126.

 

Решение.

1) Проверим выполнимость ограничений:        

n A = 12; n B = 15; (n A – n B) = (12 -15) == 3 < 10.       

Ограничения выполнены.

2) Упорядочим значения признака по убыванию в каждой выборке и найдем максимальное и минимальное значения признака:     

группа А: 121; 116; 115; 115; 115; 112; 112; 109; 109; 109; 108; 104;     

группа В: 126; 125; 125; 125; 124; 123; 121; 121; 121;121; 120; 118; 116; 113; 111;        

 x max (А) = 121; x min (A) = 104; x max (В) = 126; x min (B) = 111;        

Назовем выборкой 1 группу В, выборкой 2 - группу А;

3) Сформулируем гипотезы:

Н 0: уровень вербального  интеллекта в выборке 1 не выше уровня вербального интеллекта в выборке 2;

H 1: уровень вербального  интеллекта в выборке 1 выше  уровня вербального интеллекта в выборке 2;

4) Подсчитаем S 1 - количество значений в выборке 1, которые больше max значения в выборке 2, S 1 = 6, так как шесть значений в выборке 1 больше x max  (2) = 121, а именно: 126, 125, 125, 125, 124, 123.

Так же для S 1 - количество значений в выборке 2, которые меньше минимального значения в выборке 1. S 2 = 5, так как в выборке 2 пять значений (109, 109, 109, 108 и 104), меньших  х min (1) = 111;

5)   Найдем эмпирическое значение Q-критерия Розенбаума       

Q эмп. = S 1 + S 2 =  6 + 5 = 11;

6)    По таблице найдем для n 1 = 15 и n 2  = 12  Q кр. (p  ≤ 0,05) = 7 и Q кр. (p ≤  0,01) = 9.

Так как Q эмп.  > Q кр. (p ≤ 0,01) (и больше Q кр. (p ≤ 0,05)), то Н 0 отвергается, Н l принимается с уровнем значимости        p ≤ 0,01, т.е. различия статистически значимы.

Ответ. Уровень вербального интеллекта испытуемых группы В выше уровня вербального интеллекта испытуемых группы А, причем различия статистически значимы, достоверность получаемых различий более 99 %.

 

 

 

 

 

Таблица критических значений

 

n	11	12	12	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
r=0,05
11	6
12	6	6
13	6	6	6
14	7	7	6	6
15	7	7	6	6	6
16	8	7	7	7	6	6
17	7	7	7	7	7	7	7
18	7	7	7	7	7	7	7	7
19	7	7	7	7	7	7	7	7	7
20	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7
21	8	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7
22	8	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7
23	8	8	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7
24	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	7	7	7	7
25	8	8	8	8	8	8	8	8	8	7	7	7	7	7	7
26	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	7	7	7	7	7	7
r=0,01
11	9
12	9	9
13	9	9	9
14	9	9	9	9
15	9	9	9	9	9
16	9	9	9	9	9	9
17	10	9	9	9	9	9	9
18	10	10	9	9	9	9	9	9
19	10	10	10	9	9	9	9	9	9
20	10	10	10	10	9	9	9	9	9	9
21	11	10	10	10	9	9	9	9	9	9	9
22	11	11	10	10	10	9	9	9	9	9	9	9
23	11	11	10	10	10	10	9	9	9	9	9	9	9
24	12	11	11	10	10	10	10	9	9	9	9	9	9	9
25	12	11	11	10	10	10	10	10	9	9	9	9	9	9	9
26	12	12	11	11	10	10	10	10	10	9	9	9	9	9	9	9