Корреляционный анализ

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

 

 

 

 

 

 

Кафедра инженерного бизнеса и управления предприятиями

 

 

 

 

 

Курсовая  работа

по дисциплине: «Теория вероятностей и математическая статистика»

на тему: «Корреляционный анализ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: ________________________

Проверил: ________________________

 

 

 

 

Москва, 2013 

Содержание.

Введение……………………………………………………………………………………………………………………………………..	3
Построение корреляционной таблицы……………………………………………………………………………………..	5
Вычисление параметров уравнения  связи…………………………………………………………………………………	7
Вычисление корреляционного отношения……………………………………………………………………………….	8
Построение кривой связи……………………………………………………………………………………………………………	10
Оценка надежности корреляционного  отношения…………………………………………………………………..	10
Заключение………………………………………………………………………………………………………………………………….	11
Список литературы………………………………………………………………………………………………………………………	12

 

 

Введение.

Исследователя нередко интересует, как связаны между собой две  или большее количество переменных в одной или нескольких изучаемых  выборках. Например, могут ли учащиеся с высоким уровнем тревожности  демонстрировать стабильные академические достижения, или связана ли продолжительность работы учителя в школе с размером его заработной платы, или с чем больше связан уровень умственного развития учащихся — с их успеваемостью по математике или по литературе и т.п.?

Такого рода зависимость между  переменными величинами называется корреляционной, или корреляцией.

Корреляционная связь — это согласованное изменение двух признаков, отражающее тот факт, что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью другого.

Известно, например, что в среднем  между ростом людей и их весом  наблюдается положительная связь, и такая, что чем больше рост, тем  больше вес человека. Однако из этого  правила имеются исключения, когда  относительно низкие люди имеют избыточный вес, и, наоборот, астеники, при высоком  росте имеют малый вес. Причиной подобных исключений является то, что  каждый биологический, физиологический  или психологический признак  определяется воздействием многих факторов: средовых, генетических, социальных, экологических  и т.д.

Корреляционные связи — это  вероятностные изменения, которые  можно изучать только на представительных выборках методами математической статистики.

Корреляционная зависимость  – это изменения, которые вносят значения одного признака в вероятность появления разных значений другого признака.

Задача корреляционного анализа  сводится к установлению направления (положительное или отрицательное) и формы (линейная, нелинейная) связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты, и, наконец, к проверке уровня значимости полученных коэффициентов корреляции.

Корреляционные связи различаются по форме, направлению и степени (силе).

По форме корреляционная связь может быть прямолинейной или криволинейной. Прямолинейной может быть, например, связь между количеством тренировок на тренажере и количеством правильно решаемых задач в контрольной сессии. Криволинейной может быть, например, связь между уровнем мотивации и эффективностью выполнения задачи (см. рис.). При повышении мотивации эффективность выполнения задачи сначала возрастает, затем достигается оптимальный уровень мотивации, которому соответствует максимальная эффективность выполнения задачи; дальнейшему повышению мотивации сопутствует уже снижение эффективности.

По направлению корреляционная связь может быть положительной ("прямой") и отрицательной ("обратной"). При положительной прямолинейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют более высокие значения другого, а более низким значениям одного признака – низкие значения другого. При отрицательной корреляции соотношения обратные. При положительной корреляции коэффициент корреляции имеет положительный знак, например τ=+0,207, при отрицательной корреляции – отрицательный знак, например τ=-0,207.

Степень, сила или теснота корреляционной связи определяется по величине коэффициента корреляции.

Сила связи не зависит от ее направленности и определяется по абсолютному значению коэффициента корреляции.

Максимальное возможное абсолютное значение коэффициента корреляции τ=1,00; минимальное τ=0,00.

Общая классификация корреляционных связей:

сильная, или тесная	при коэффициенте корреляции	τ > 0,7
средняя		0,5<τ<0,69
умеренная		0,3<τ<0,49
слабая		0,2<τ<0,29
очень слабая		τ<0,19

 

Построение  корреляционной таблицы

X	Y	X	Y	X	Y
2	55	69	75	90	115
5	60	72	85	85	119
7	61	75	85	83	113
9	67	78	85	80	115
10	65	82	89	78	113
12	68	84	87	75	115
15	70	86	87	70	118
18	68	89	94	68	120
25	80	91	85	65	115
28	75	93	90	62	118
30	70	97	90	60	120
31	80	98	94	55	117
33	77	100	90	52	110
37	85	103	92	50	120
41	85	105	95	48	125
43	79	108	97	45	120
45	80	110	98	40	123
48	83	120	100	38	130
50	83	112	108	35	125
52	89	110	110	30	125
54	75	105	110	27	128
57	79	100	115	25	129
60	85	98	110	20	135
64	90	95	112	15	133
67	83	93	112	8	140

 

 

Для результативного признака необходимо определить величину интервала группировки. Это можно сделать с помощью  формулы Стержэсса:

,

где – максимальное значение х; – минимальное значение х; – количество проб.

Тогда,

                      

В корреляционной таблице факторный  признак X располагаем в строках, а результативный признак Y – в столбцах таблицы. Числа, расположенные на пересечении строк и столбцов таблицы, означают частоту повторения данного значения X и Y:

 

		-3	-2	-1	0	1	2	3
	ξ(X) η(Y)	2-19 (10)	20-36 (27)	37-53 (44)	54-70 (61)	71-87 (78)	88-104 (95)	105-121 (112)	Итого m(Y)	m*η	m*η^2
-3	140-151 (145)	1							1	-3	9
-2	128-139 (133)	1	3	1					5	-10	20
-1	116-127 (121)		2	4	5	1			12	-12	12
0	104-115 (109)			1	1	4	5	3	14	0	0
1	92-103 (97)						3	4	7	7	7
2	80-91 (85)		2	6	3	6	4		21	42	84
3	68-79 (73)	3	3	1	3				10	30	90
4	55-67 (61)	5							5	20	80
	Итого m(X)	10	10	13	12	11	12	7	75	74	302
	m*ξ	-30	-20	-13	0	11	24	21	Σ=	-7
	m*ξ^2	90	40	13	0	11	48	63	Σ=	265
	m*ξ^3	-270	-80	-13	0	11	96	189	Σ=	-67
	m*ξ^4	810	160	13	0	11	192	567	Σ=	1753
	Σmη	24	5	9	10	25	11	4	Σ=	74
	Σmη^2	120	49	41	44	11	19	4	Σ=	302
	ξΣmη	-72	-10	-9	0	11	22	12	Σ=	-46
	ξ^2Σmη	216	20	9	0	1067	44	36	Σ=	336
	Σm(xi)y(i)	802	1030	1309	1188	97	1176	715	Σ=	7287
	Σ(xi)y(i)/Σm(xi)	80,2	103	100,7	99	11	98	102,1

 

Вычисление  параметров уравнения связи.

1) С помощью корреляционной решетки:

Уравнение регрессии в форме  параболы второго порядка имеет  следующий вид (в координатах  η и ξ):

                                                                         (1)

Параметры уравнения (1) определяют по методу наименьших квадратов, решая  систему уравнений:

                                                         (2)

Подставив в систему (2) значения из таблицы, получим:

 

Следовательно, уравнение параболы имеет следующий вид (в координатах  η и ξ):

                                                                         (3)

Выразим η и ξ через x и y:

                                                                     (4)

Подставив (4) в (3), имеем уравнение параболической регрессии:

 

или

 

 

 

2) С помощью матриц по формуле Крамера:

Определитель для системы (2) имеет  вид:

 

 

 

 

 

Т.к. определитель не равен нулю, находим  дополнительные определители:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда,

 

 

 

 

 

 

Следовательно, уравнение параболы имеет вид:

,

а уравнение параболической регрессии:

 

 

Вычисление  корреляционного отношения.

При статическом изучении взаимосвязей между признаками общественных явлений  важное значение имеет оценка тесноты  связи, то есть оценка близости корреляционной связи к функциональной.

Теснота связи при криволинейной  зависимости определяется корреляционным отношением.

Для каждого содержания x выразим содержание y:

y(10)=80,2; y(27)=103; y(44)=100,7; y(61)=99;

y(78)=97; y(95)=98; y(112)=102,1

 

Вычислим значение дисперсии по группам по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Средневзвешенное значение дисперсии (внутригрупповая дисперсия) показывает рассеивание содержания y за счет прочих факторов, кроме x:

 

 

 

Влияние содержания xна содержание y отражает межгрупповая дисперсия:

 

где – вычисляется по формуле: