Корреляционные связи

КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ СВЯЗИ. КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

В биологических исследованиях нередко возникает необходимость изучить отдельные признаки в их взаимосвязи, проследить, в каких соотношениях находятся изменения одного признака с изменениями другого.

Взаимосвязи двух признаков хорошо известны в физике и математике. В пределах этих наук взаимосвязи определены совершенно точно:  площадь треугольника определяется его высотой, длина окружности или площадь круга - величиной его радиуса, угол преломления светового луча определяется плотностью среды и т.д.

В этих случаях при изменении одного признака на определенную величину другой признак также изменяется на совершенно определенную величину. Каждому значению одного признака соответствует конкретное значение другого признака

Такие зависимости называются функциональными.

В природе на биологические объекты воздействуют очень много факторов, из которых отдельные невозможно учесть. При этом каждый фактор оказывает своеобразное воздействие на биологический объект. В этой связи у биологических объектов связь между двумя признаками никогда не может быть совершенно четкой, точно определенной, она смазывается в той или иной степени, модифицируется, ее не всегда просто обнаружить. При этом каждому определенному значению одного признака может соответствовать не одно значение второго признака, а целое распределение этих значений. В отличие от явлений, наблюдаемых в физике и математике, это связи совершенно другого рода. Их называют корреляционными связями или корреляцией.

Примерами выраженных корреляционных связей могут быть: масса тела птицы и масса яйца - более тяжелая птица, как правило, несет яйца большей массы; уровень яичной продуктивности птицы и расход корма на 1 кг яичной массы - чем выше продуктивность, тем ниже расход корма на производимую продукцию; грудной угол соответствует лучшему развитию мясных качеств птицы; плотность яйца положительно коррелирует с толщиной скорлупы. Положительная корреляционная связь может отмечаться между содержанием жира и белка в молоке коров. Уровень жирномолочности отрицательно коррелирует с величиной удоя у коров.

Поскольку при корреляционных связях существует распределение значений признаков, зависимость одного признака от другого не бывает точной, корреляция может иметь различную степень выраженности - от полной независимости до очень сильной связи. Помимо того, корреляции могут быть различными по своему направлению - прямыми (положительными) и обратными (отрицательными). При прямой связи направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака-фактора. При обратной связи направление изменения результативного признака противоположно направлению изменения признака-фактора. Между массой птицы и массой яйца, как правило, наблюдается прямая, или положительная, корреляция. Между уровнем продуктивности и расходом корма на единицу прироста имеется обратная, или отрицательная, корреляция.

По форме связи делят на линейные (прямолинейные) и нелинейные (криволинейные) связи.

Линейная связь отображается прямой линией; криволинейная - кривой (параболой, гиперболой и т. п.). При линейной связи с возрастанием значения факторного признака происходит равномерное возрастание (убывание) значения результативного признака. При криволинейной связи с возрастанием значения факторного признака возрастание (убывание) результативного признака происходит неравномерно (гиперболическая форма связи) или же направление его изменения меняется на обратное (параболическая форма связи).

Для измерения степени выраженности корреляции применяются различные показатели. Однако наиболее широко используется коэффициент корреляции.

При полных связях, когда изменения обоих изучаемых признаков строго соответствуют друг другу и корреляционная связь превращается в функциональную, коэффициент корреляции достигает своего максимального значения, равного 1 (полная связь). При прямых или положительных (полных) связях r = +1; при обратных или отрицательных полных связях r = -1.

Область допустимых значений линейного коэффициента корреляции от -1 до +1. При отсутствии связей коэффициент корреляции равен 0. Предельные значения коэффициента корреляции (r= +1; r= -1; r= 0) на практике встречаются очень редко. Обычно значения r находятся между нулем и положительной или отрицательной единицей. При этом считается, что корреляция сильная при значении r= 0,75, средняя - при r= 0,50, слабая - при r= 0,25.

Для расчета коэффициента корреляции разработаны разнообразные рабочие алгоритмы в зависимости от условий расчета - для малых и больших выборок, при малозначных или многозначных вариантах.

Исходя из этого может применяться та или иная схема расчетов (или алгоритмы решения). Однако все они дают одинаковый результат, и применение того или иного пути решения определяется удобством вычислений.

Основная формула для расчета коэффициента корреляции имеет

следующий вид:

r =

,

где С - сумма квадратов центральных отклонений или дисперсия, причем C1 - для ряда первого признака; C2 - для ряда второго признака, Сd - для ряда разностей значений первого и второго признаков.

Составление корреляционной решетки при вычислении                                       коэффициента корреляции для больших групп

Указанные в предыдущих разделах методы расчета коэффициента корреляции при отсутствии вычислительной техники трудно использовать, если возникает необходимость обрабатывать достаточно большой объем цифрового материала. В подобных ситуациях применяются способы расчета, первым и обязательным этапом для которых является составление корреляционной решетки.

Для расчета коэффициента корреляции между средней живой массой кур (признак 1) в семьях линии белый леггорн и средней массой сносимых ими яиц (признак 2) в качестве примера используется материал, представленный ниже.

Таблица 21

Исходные данные живой массы кур и масса сносимых ими яиц, г.

1	живая масса	1607	1613	1757	1625	1580	1670	1607	1706
2	масса яйца	57	53	55	59	57	55	57	59
1	живая масса	1754	1571	1664	1690	1653	1830	1794	1749
2	масса яйца	58	58	56	56	58	57	56	56
1	живая масса	1636	1719	1694	1656	1659	1617	1648	1651
2	масса яйца	56	56	59	57	55	55	54	56
1	живая масса	1612	1844	1725	1632	1654	1696	1788	1655
2	масса яйца	57	59	57	55	57	54	59	57
1	живая масса	1505	1569	1733	1662	1638	1658	1706	1599
2	масса яйца	53	54	58	56	54	54	55	55

Порядок составления корреляционной решетки следующий.

В первую очередь необходимо определить число классов и величину классовых промежутков для каждого ряда признаков.

1. Число классов ("ч") ориентировочно может быть 6-8 при небольшом объеме выборки и 10-12 при значительном числе дат. Для точного его определения возможно применить формулу:

число классов ч = 1 + 3,3´lg n .

В нашем случае:

ч = l+3,3´lg40 = 1+3,3´1,60 = 1+5,28 = 6,28 Округлив полученный результат, принимаем величину "ч" равной 7.

2. Определяем классовый промежуток (к) и границы классов для первого признака. Максимальное значение равно 1844, минимальное -1505, соответственно размах 1844-1505=339. Отсюда классовый промежуток:

к = = 48,3 » 50 .

Исходя из этого, целесообразно границы классов обозначить как 1501-1550; 1551-1600; 1601-1650 и т.д.

3.  Для второго признака максимальное  значение равно 59, минимальное - 53, размах равен 7, классовый промежуток - 1.

4.  На основании полученных  данных составляется корреляционная решетка. При этом необходимо выдержать определенный порядок обозначения классов: классы первого признака обозначаются по верхней горизонтальной грани решетки слева направо в возрастающем порядке, классы второго признака - по левой грани в порядке возрастания дат снизу вверх (табл. 22).

Таблица 22

1 2	1501-1550	1551-1600	1601-1650	1651-1700	1701-1750	1751-1800	1801-1850
59			1	1	1	1	1
58		1		1	1	1
57		1	3	3	1		1
56			1	4	2	1
55		1	2	2	1	1
54		1	2	2
53	1		1

5.  При заполнении корреляционной решетки каждая пара значений разносится по классам. Ячейки корреляционной решетки заполняются частотами при помощи точек и черточек, так же как и при составлении вариационных рядов. Попадание каждого случая в определенную ячейку производится в зависимости от значений первого и второго признаков.

6.  Для дальнейшего расчета  решетку можно перечертить, но  это важно в случае, если группа  очень многочисленна. Если группа сравнительно небольшая, в тех же клеточках вместо условных частот (точек и черточек) можно поставить соответствующие цифры.

Предварительный анализ цифрового материала можно сделать без дальнейших расчетов, на основании изучения вида корреляционной решетки. Это дает возможность установить направление корреляционных связей и сделать первое представление о степени выраженности этих связей. Если основная масса частот располагается вдоль диагональной линии, направленной из левого нижнего угла решетки в правый верхний, т.е. снизу вверх из зоны меньших значений в зону больших значений обоих признаков, то это свидетельствует о наличии прямой или положительной корреляционной связи.

При распределении частот вдоль диагонали, направленной из правого нижнего угла решетки в левый верхний, т.е. из зоны, соответствующей меньшему значению одного и большему значению другого в зону противоположных значений, корреляционная зависимость характеризуется как обратная или отрицательная.

Предварительный вывод о направлении корреляционной связи очень важен, так как это предопределяет выбор схемы расчета и формулы коэффициента корреляции. Предварительный вывод о степени выраженности (или о силе) корреляционой связи может быть сделан по степени концентрации частот вокруг диагональной линии.

При функциональной зависимости частоты располагаются непосредственно на диагонали (полная связь). По мере уменьшения силы связи частоты удаляются от диагонали, их концентрация около диагонали уменьшается пока наконец при отсутствии корреляционной связи они не распространяются равномерно по всей решетке.

Схема степеней прямолинейной корреляции

полная прямая корреляция

				18
		12
4