Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"

Задача 1. Тема: «Нормальное  распределение»

Дневная добыча угля в некоторой  шахте распределена по нормальному  закону с математическим ожиданием 785т и стандартным отклонением 60т. Найдите вероятность того, что  в определенный день будут добыты, по крайней мере, 800т угля. Определите долю рабочих дней, в которые будет  добыто от750т до 850т угля. Найдите  вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 665т.

Решение:

Найдем вероятность  того, что в определенный день будут  добыты, по крайней мере, 800т угля.

Случайная величина X = 800, от сюда следует:

Р=Ф (800-785)/ 60=0,25= 0,0987(по таблице Лапласа) - вероятность, что в определенный день будут добыты, по крайней мере, 800т угля.

 

Определим долю рабочих  дней, в которые будет добыто от750т  до 850т угля:

Р=(750<x<850)= Ф (850-785)/60- Ф (750-785)/60=Ф (1,8) – Ф(- 0,58)= 0,46+0,21= 0,67 - долю рабочих дней

Найдем вероятность  того, что в данный день добыча угля окажется ниже 665т:

α= -∞, β= 665, а= 785, δ=60

Р(-∞ < x < 665)= Ф(665-785) /60- Ф(-∞-785) /60= Ф(-2)- Ф(-∞)= -Ф(2)-Ф(-∞)= Ф(+∞)- Ф(2)=

= 0,5 – 0, 4772= 0,0228 - вероятность, что в данный день добыча угля окажется ниже 665т

 

Задача 2. Тема: «Критические точки»

По заданной вероятности (и заданному числу степеней свободы k) найти критическую точку (квантиль x_y ):

А) стандартного нормального  распределения

Б) распределения «хи-квадрат»

В) распределение Стьюдента

Г) распределение Фишера

Нарисовать примерный  вид графика плотности распределения, указать критическую точку, заштриховать площадь, соответствующую вероятности  α=1-γ, записать пояснения к рисунку.

Решение:

А) найдем критическую точку (квантиль x_γ) стандартного нормального распределения

 при  γ =0,94

α= 1- 0, 94 = 0,06

Критическая точка x_γ является границей правее которой лежит 6% площади под кривой плотности стандартного нормального распределения.

Значит площадь под  этой кривой на интервале (0; x_у ) составляет:

Ф(x_γ  )= ½ - α= ½ - 0,06= 0,44%

Это значение достигается  при  х=1,56, т.е. критическая точка  x_γ  = 1,56

 

 

 

 

 

 

Б) найдем критическую точку (квантиль x_γ ) распределения «хи-квадрат» при γ = 0,95, k = 15

α= 1- γ= 1- 0,95= 0,05

по таблице критических  точек распределения «хи-квадрат» находим

х² _γ = х²(15,0.05)= 25,0

Значит вероятность этой случайной  величине К принять значение, большее 25 и меньшее 0,05

В) найдем критическую точку (квантиль x_γ ) распределение Стьюдента при γ = 0,975, k = 27

α= 1- 0,975 = 0,025

По таблице находим  одностороннюю критическую точку  t_{кр =} t(k, α)= t(27, 0.02)= 2,47

Это означает, что при  испытаниях вероятность наблюдать  значение этой случайной величины больше t_{кр =}  2,47, меньше α= 0,025

Т.е. площадь кривой плотности  распределения, лежащая правее критической  точки,

составляет 100 ⃰ 2% от всей площади

 

 

 

 

Г) найдем критическую точку (квантиль x_γ ) распределение Фишера при γ = 0,95, k₁ = 4, k₂ =7

α= 1- γ= 1- 0,95= 0,05

Критическая точка F_кр = F(4,7; 0,05)= 4,12, т.е. вероятность получить значение Х, большее 4,12, меньшее 0,05. В среднем в 99 случаях из 100 будем наблюдать значения меньшие 4,12

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Тема: «Интервальные оценки»

В целях изучения среднедушевого дохода семей города в 1995г была произведена 1%-ая повторная выборка из 30 тыс. семей. По результатам обследования среднедушевой доход семьи в месяц составил 200 тыс. руб.  со средним квадратичным отклонением, равным 150 тыс. руб. С вероятностью 0,95 найдите доверительный интервал, в котором находиться величина среднедушевого дохода всех семей города, считая среднедушевой доход случайной величиной, распределенной по нормальному закону.

Решение:

Находим значение U_кр  с помощью таблицы Лапласа

Ф(U_кр )= γ/2 = 0,95/2= 0,475

Отсюда следует, что U_кр = 1,96

Находим точность оценки:      

ε= U_кр * δ² /√n = 1,96* √150/√300= 1,96*0,7=1,38

Доверительный интервал будет  иметь вид:

(х - U_кр* δ² /√n; х + U_кр* δ² /√n)= (х- ε; х+ ε)= (200-1,38; 200+1,38)=198,62; 201,38 - доверительный интервал, в котором находиться величина среднедушевого дохода всех семей города, считая среднедушевой доход случайной величиной, распределенной по нормальному закону

 

Задача 4. Тема: «Проверка статистических гипотез»

Компания, производящая средства для потери веса, утверждает, что  прием таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в среднем 400 г веса. Случайным  образом отобраны 25 человек, использующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря в весе составила 430 г со с.к.о. 110г. Проверьте гипотезу о том, что средняя потеря в весе составляет 400г. Уровень значимости α = 0,05.

Решение:

Сформулируем основную и  альтернативную гипотезу:

Н₀ :а = 400 – неизвестное генеральное среднее равно заданному значению

Н₁ :а > 400 – время выполнения технологической операции больше установленной нормы

По условию задачи уровень  значимости α = 0,05, т.е. события, которые происходят с такой вероятностью, считаем практически невозможным.

Т.к. выборка большого объема ( n= 25<30) и среднеквадратичное отклонение известно, воспользуемся статистикой К:

К_набл. = х-а₀ √n=430-400/110*√25=1,36

Т.к. альтернативная гипотеза правосторонняя, то и критическая  область – правосторонняя и ее границу К_кр следует искать по таблице функций Лапласа из равенства:

Ф = (К_кр)= ½- α, т.к. α=0,05, имеем Ф(К_кр)= ½-0,05=0,45

Ф(К_кр)=1,65

Наблюдаемое значение К_набл.< К_кр, т.е. не попадает в критическую область, следовательно, на данном уровне значимости нулевая гипотеза подтверждается (средняя потеря в весе составляет 400г).

 

 

Задача 5. Тема: «Критерий согласия Пирсона»

По результатам наблюдений определены частоты n_ј попадания случайной величины X в заданные интервалы [ a_j ; a_j+1 ), ј = 1,2,…, k. Рассчитать по данному статистическому рядя оценки параметров

 

a= x и δ =s, пользуясь формулами:

        k                                        k

x = Σ n _ј z _ј ,    s² = 1/(n-1) Σ n _ј (z _ј – x)² , где n – объем выборки; k – число интервалов группировки

        ј=1                                      ј=1      

                      

z _ј = (a _ј + a _{ј+ 1} )/2 – середина ј-го интервала.

С помощью критерия согласия Пирсона  на уровне значимости α= 0,05 выяснить, можно  ли считать случайную величину X нормально распределенной с параметрами x и s, рассчитанными по выборке.

[ a ј ; a ј +1 )	[ 1,2 ; 1,5 )   [ 1,5 ; 1,8 )   [ 1,8 ; 2,1 )   [ 2,1 ; 2,4 )   [ 2,4 ; 2,7 )   [ 2,7 ; 3,0 )
n ј	2                    5                 9                   7                  4                  3

Решение:

[ aj ; aj+1 )	[ 1,2 ; 1,5 )	[ 1,5 ; 1,8 )	[ 1,8 ; 2,1 )	[ 2,1 ; 2,4 )	[ 2,4 ; 2,7 )	[ 2,7 ; 3,0 )
n ј	2	5	9	7	4	3
P ј	0.06	0.16	0.3	0.23	0.13	0.1
n ј * P ј	1.8	4.8	9	6.9	3.9	3
(n ј -n P ј)2/ n P ј	0.022	0.008	0	0.001	0.002	0
Z ј	1.35	1.6	1.95	2.25	2.55	2.85

 

Объем выборки n=30, число интервалов группировки k= 6

Найдем относительную  частоту по формуле: P _ј = n _ј / n

Ожидаемая  частота= n *P _ј

Найдем слагаемые статистики  Пирсона:

(n _ј -n P _ј)²/ n P _ј

Найдем середину ј-го интервала:

Z _ј = (a_j + a_j+1 )/2    К_набл. =0,033

Найдем среднее арифметическое:

        k                                       

x = Σ n _ј z _ј = 30+ 12,55= 42,55      

      ј=1                                     

                          k

 s² = 1/(n-1) Σ n _ј (z _ј – x)² = 1/5*30(12,55- 42,55)² = 5400

                         ј=1

  s²= 5400, s= 73,48   

 

К_кр. = х² (k-r-1;α)= х²(6-2-1; 0,05)= х²(3;0,05)= 7,8

α = 0,05, k = 6, r = 2

наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую  область: К_набл.‹ К_кр. , поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу.

Вывод: на уровне значимости 0,05 справедливо предложение о  том, что случайная величина Х  имеет нормальное распределение.

 

Задача 6. Тема: «Ранговая корреляция»

Найти выборочный коэффициент  ранговой корреляции Спирмена и проверить значимость полученного результата при α = 0,05.

Ранг X	9	3	1	4	2	8	5	6	7
Ранг Y	6	7	3	2	1	8	5	4	9
Z	3	-4	-2	2	1	0	0	2	-2

 

Решение:

Z=x-y, разность рангов

Величина S равна:

       9

S= Σ Z² = 3² +(-4)² +(-2)² +2² +1² +2² +(-2)² =40

    i=1

Найдем коэффициент корреляции Спирмена, при n=9

r_s =1-(6S/n³ –n)= 1-(6*40/9³ -9)= 0,66

Наблюдаемое значение статистики К равно

К_набл. = r_s √n-2/ √1-r ²_s= 0.66*√9-2/√1-(0.66)² =1.98

При α=0,05, критическая область  является правосторонней.

Значение К_кр.= t(n-2; α)= t(9-2; 0,05)= t(7;0,05)= 1,89

Наблюдаемое значение К_набл. =1,98 попадает в критическую область (1,89; +∞), поэтому связь между переменными х и у значима.

 

Задача 7. Тема: «Линейная корреляция и регрессия»

Для приведенных исходных данных постройте диаграмму рассеяния  и определите по ней характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент  корреляции Пирсона, проверьте его  значимость при α = 0,05.запишите уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

Туристическая компания предлагает места в гостиницах приморского  курорта. Менеджера компании интересует, насколько возрастает привлекательность  гостиницы в зависимости от ее расстояния до пляжа. С этой целью  для 14 гостиниц города была выяснена среднегодовая  наполняемость номеров (Y,%) и расстояние X, в километрах до пляжа.

Исходные данные

X	0,1	0,1	0,2	0,3	0,4	0,4	0,5	0,6	0,7	0,7	0,8	0,8
Y	92	95	96	90	89	86	90	83	85	80	78	76

 

Решение:

Построим диаграмму рассеяния  при линейной зависимости, чем ближе  к морю, тем больше посетителей.

Для расчетов коэффициентов  регрессии, найдем средние значения, где n= 12

            n 

х= 1/n Σx _ј =0,46

           i=1

              n 

y= 1/n Σy _ј =86.66

            i=1

Несмещенные оценки дисперсии:

                      n

S_x ² = 1/(n-1) Σ(x_i-х)²= 0.06               S_x= 0.25

                      i=1

                      n

S_y ² = 1/(n-1) Σ(y_i-y)²=42.06              S_y=6.48

                      i=1

 

Найдем значение выборочного коэффициента:

                 12

r_ху = (1/12 Σx_iy_i –x* y)/ S_x S_y= -1,41/1,66= -0,84 

                    i=1

можно предполагать достаточно сильную линейную отрицательную  зависимость между наполняемостью номеров и расстоянием до пляжа. Т.к. выборка малого объема, проверим значимость коэффициента корреляции.

Основная гипотеза Н₀ состоит в том, что коэффициент корреляции r_ху не значим Н₀ : r_ху=0, т.е. между переменными Х и Y нет линейной связи.