Контрольная работа по "Теории веротяности и математической статистике"

Контрольная работа по теории веротяности и математической статистике для ВЗФЭИ по методическим указаниям 2010 года. Выполнено авторским коллективом ООО «Взфэи-архив.рф» © 2011. Avzfei.ru. Авторские права на данную работу зарегистрированы  Российским авторским обществом КОПИРУС совместно с Федеральным государственным учреждением Российская государственная библиотека - РГБ.

© ООО «ВЗФЭИ-АРХИВ.РФ», 2011

Электронная версия данного текстовой работы предназначена исключительно для ознакомления. Незаконное распространение, публикация (в том числе и на интернет-ресурсах), передача третьим лицам текста данной работы, либо фрагментов текста данной работы без прямой цитаты и согласования с правообладателем преследуется по закону, а лица виновные в данных правонарушениях несут ответственность, предусмотренную главой 4 Гражданского Кодекса РФ.

Если Вы обнаружили данную работу на каком-либо сайте, кроме avzfei.ru, взфэи.su, взфэи-архив.рф – немедленно сообщите об этом на адрес электронной почты: vzfeiextra@ya.ru – Вознаграждение сообщившему гарантируется!

Контрольная  работа № 3

Вариант  10

 

 

 

 

 

 

Задача № 1   

 

На первом станке обработано  20 деталей,  из них семь с дефектами,  на втором  –  30,  из них четыре с дефектами,  на третьем  –  50 деталей,  из них 10 с дефектами. Все детали сложены вместе. Наудачу взятая деталь оказалось без дефектов.  Какова вероятность того,  что она обработана на третьем станке?

 

Решение.

 

Если событие  А  может произойти только совместно с одним из событий ,   образующих полную группу несовместных событий (гипотез),  то вероятность   появления события определяется по формуле полной вероятности ,    где     –   вероятность гипотезы  , 

 

  –   условная вероятность события    при гипотезе  . 

 

Пусть    – событие,  состоящее в том,  что взятая деталь не имеет дефектов. 

 

Вероятность того,  что  взятая деталь не имеет дефектов,  зависит от того,  на каком  станке обработана эта деталь.   При этом возможны следующие гипотезы:  

 

  –  деталь обработана на первом станке;

 

  –  деталь обработана на втором станке;

 

  –  деталь обработана  на третьем станке.

 

Найдём вероятности гипотез:       ;      

;             .

 

Найдем условные вероятности  события  :

 

  –  вероятность того,  что деталь,  обработанная на первом станке,  не имеет дефектов.    .

 

  –  вероятность того,  что деталь,  обработанная на втором станке,  не имеет дефектов.     .

 

  –  вероятность того,  что деталь,  обработанная на  третьем станке,  не имеет дефектов.     .

 

Найдем вероятность того,  что  взятая деталь не имеет дефектов,  то есть вероятность события ,   по формуле полной вероятности:

 

.

 

Наконец,  найдем вероятность того,  что наудачу взятая деталь,  оказавшаяся без дефектов,  обработана на третьем станке,  то есть найдем вероятность события   при условии наступления события ,   по формуле Байеса:

 

.

 

Ответ:     .    

 

 

 

 

 

Задача № 2   

 

Сколько семян следует взять,  чтобы с вероятностью не менее чем 0,9545 быть уверенным,  что частость взошедших семян будет отличаться  от вероятности   не более,  чем на  2 % (по абсолютной величине)?

 

Решение.

 

Воспользуемся тем,  что  для  относительной  частоты (частости)    события   в     независимых испытаниях,  в каждом из которых оно может произойти с вероятностью  ,  неравенство Чебышева  принимает вид   ,   где

 

  –  вероятность непоявления  события     в каждом из испытаний,  .

 

В нашем случае   ;   ;   ; 

.

 

Неравенство    имеет место для таких значений   ,  при которых выполнено неравенство   ,  то есть  неравенство .

 

 

 

.

 

Итак,  начиная  с  независимых испытаний, имеет место неравенство .

 

Таким образом,  следует взять не менее 4945 семян,  чтобы с вероятностью не менее чем 0,9545 быть уверенным,  что частость взошедших семян будет отличаться  от вероятности   не более,  чем на  2 % (по абсолютной величине).

Ответ:      .

 

 

 

 

Задача № 3   

 

Завод «Пино»  (г. Новороссийск) отправил в Москву 2000 бутылок вина «Каберне».  Вероятность того,  что в пути может разбиться бутылка,  равна  0,002.  Какова вероятность того,  что в пути будет разбито не более пяти бутылок?

 

Решение.

 

Здесь мы имеем дело с независимыми испытаниями,  каждое из которых  заключается в перевозке бутылки вина «Каберне» с завода «Пино»  в Москву.  Число испытаний в нашем случае  .

 

Пусть    – событие,  которое заключается в том,  что  в пути бутылка вина разбилась.

 

Вероятность того,  что в пути будет разбито не более пяти бутылок равна   .

 

Вычислить искомую вероятность  по формуле Бернулли    затруднительно  из-за громоздкости вычислений.  Искомую вероятность можно вычислить,  используя асимптотическую (приближённую) формулу Пуассона.

 

Итак,  воспользуемся  теоремой  Пуассона:

 

если вероятность    наступления события   в каждом испытании постоянна и мала  ,   число испытаний   – велико    и число   – незначительно ,  то  вероятность   того,  что событие   появится    раз в   независимых испытаниях вычисляется по приближённой формуле ,  где –  функция Пуассона.

 

В нашем случае  вероятность  появления  события       постоянна  и  мала,    число независимых испытаний    велико,  число .

 

Значит вероятность появления  события    не более  5  раз  в  2000  испытаниях:

 

.

 

По таблице значений функции  Пуассона находим: 

 

;       ;       ;

 

;       ;       .

 

 

Следовательно,  вероятность того,  что в пути будет разбито не более пяти бутылок равна

 

 

.

 

 

 

Ответ:     .

 

Задача № 4

 

Одна из случайных величин   задана законом распределения

	0	1	3
	0,2	0,3	0,5

 

                 : ,                                                        

 

 

а другая    имеет биномиальное распределение с параметрами ,  .  Составить закон распределения их разности.  Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

 

Решение.

 

Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения  с  параметрами     и ,  если она принимает значения     с вероятностями ,   где ,  ,   ;

  –  число сочетаний   из    элементов по  .

 

Биномиальный  закон распределения  с  параметрами     и   представляет собой закон распределения числа    наступлений события   в   независимых испытаниях,  в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью  .

 

Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

 

	0	1	2	…		…
				…		…

 

 

 

 

Математическое ожидание случайной величины ,  распределённой по биномиальному закону,  ,  а её дисперсия .

 

В нашем случае  биномиальный закон  распределения  имеет параметры     и ,  то есть  случайная величина принимает значения     с вероятностями ,   где ,  ,  .

 

;

 

;

 

.

 

Таким образом, заданный закон биномиального  распределения случайной величины   имеет вид:

 

	0	1	2
	0,36	0,48	0,16

 

 

 

 

Найдём закон распределения  случайной величины  .

 

Разностью случайных величин    и   называется  случайная величина,  которая принимает все возможные значения  вида  ,  где ,   ,   с вероятностями   того,  что случайная величина   примет значение ,   а     – значение :  .   Если случайные величины   и   независимы,  то  по теореме умножения вероятностей независимых событий .

 

Для удобства нахождения всех значений разности    и их вероятностей  составим вспомогательную таблицу,  в каждой клетке которой поместим в левом верхнем углу значения разности  ,  а в правом нижнем углу  – вероятности этих значений,   полученные  в  результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин    и   (в нашем случае  случайные величины    и   независимы).

 

		0	1	2
		0,36	0,48	0,16
0	0,2	0   0,072	0,096	0,032
1	0,3	1   0,108	0   0,144	0,048
3	0,5	3   0,18	2   0,24	1   0,08

 

Так как  среди  9 значений    имеются повторяющиеся,  то соответствующие вероятности их складываем по теореме сложения вероятностей:

 

;            ;           

 

.

 

Таким образом,   закон распределения  случайной величины     имеет вид:      

 

 

			0	1	2	3
	0,032	0,144	0,216	0,188	0,24	0,18

 

Убеждаемся  в том,  что  сумма  вероятностей всех возможных исходов  равна  1.

Действительно,   .

 

Вычислим  математическое ожидание  и  дисперсию случайной величины  .

 

 

			…
			…

Математическое ожидание дискретной случайной величины  ,  закон распределения которой имеет вид      ,   вычисляется по формуле .

 

 

 

В нашем случае  .

 

Дисперсия  характеризует степень  изменчивости значений случайной величины относительно её математического ожидания.  Дисперсию  дискретной случайной величины   определим по формуле: