Контрольная работа по «Статистике»

Вариант №4

 

Задача 1. 52 наблюдения за жирностью молока дали такие результаты (%):

3,86  4,06  3,67  3,97  3,76  3,61  3,96  4,04  3,84  3,94  3,89  3,98  3,57  3,87  4,07  3,99  3,69  3,76  3,71  3,94  3,82  3,91  4,16  3,76  4,00  4,08  3,46  3,88  4,01  3,93  3,71  3,81  4,02  4,17  3,72  4,09  3,78  4,02  3,73  3,52  3,89  3,92  4,18  4,26  4,03  4,14  3,72  4,33  3,82  4,03  3,82  3,91.

Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами, построить гистограмму, найти среднее значение, дисперсию, коэффициент вариации и размах вариации.

 

Решение

При большом числе наблюдений (n ≥ 20) выборка перестает быть удобной формой записи – она становится слишком громоздкой и мало наглядной. Поэтому первичные данные (выборка) нуждаются в обработке, которая всегда начинается с их группировки.

Построение интервального вариационного ряда распределения включает следующие этапы:

1. Определение среди имеющихся  наблюдений (табл. 4.2) минимального хmin и максимального хmax значений признака. В данном примере это будут хmin = 17,9 и хmax = 53,6.

2. Определение размаха варьирования  признака R = хmax – х min = 35,7.

3. Определение длины интервала по формуле Стерджеса   , где n – объем выборки.

В данном примере h = 35,7/8=4,45=4,5 (ссм).

4. Определение граничных значений  интервалов (аi – bi). За нижнюю границу первого интервала рекомендуется брать величину, равную а1 = хmin – h/2.

Верхняя граница первого интервала b1 = a1 + h. Тогда, если bi – верхняя граница i-го интервала (причем аi+1= bi), то b 2 = a2 + h, b3 = a3 + h и т.д. Построение интервалов продолжается до тех пор, пока начало следующего по порядку интервала не будет равно или больше хmax.

В примере граничные значения составляют: 
     а1 = 17,9 – 0,5∙4,5 = 15,7;                                 b1 = 20,2;  

a2 = 20,2;  b2 = 24,7 и т.д.

Границы последовательных интервалов запишем в первой графе табл.

5.      Сгруппируем результаты наблюдений.

Ответ

 

Число интервалов обычно берут равным от 7 до 15 в зависимости от числа наблюдений и точности измерений с таким расчетом, чтобы интервалы были достаточно наполнены частотами. Однако приближенно число интервалов можно оценить исходя только из объема выборки с помощью таблицы. Если получают интервалы с нулевыми частотами, то нужно увеличить ширину интервалов (особенно в середине интервального ряда). 
 
Выбор числа интервалов группировки

Объем выборки, n	30 – 50	50 – 100	100 – 400	400 – 1000	1000 – 2000
Число интервалов	4 – 6	6 – 8	8 – 9	9 – 11	11 – 12

 

 

Для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения ( ) и характера рассеивания (S2 и S) вариационные ряды изображаются графически.

Для изображения как дискретных, так и интервальных рядов применяются полигоны и кумулята, для изображения только интервальных рядов – гистограмма. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей) Wi = ni / n, накопленных относительных частот WHi и найдем отношение Wi / h, заполнив табл.

       Таблица 
Статистический ряд распределения

Интервалы  ai – bi	xi	Wi	WHi	Wi / h
15,7 – 20,2	17,9	0,05	0,05	0,01
20,2 – 24,7	22,4	0,12	0,17	0,03
24,7 – 29,2	26,9	0,26	0,43	0,06
29,2 – 33,7	31,4	0,3	0,73	0,07
33,7 – 38,2	35,9	0,14	0,87	0,03
38,2 – 42,7	40,4	0,09	0,96	0,02
42,7 – 47,2	44,9	0,02	0,98	0,004
47,2 – 51,7	49,4	0,01	0,99	0,002
51,7 – 56,2	53,9	0,01	1	0,002

 
     Для построения гистограммы относительных частот (частостей) по оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wiданного i–го интервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi / h; в нашем примереh=4,5.

Следовательно, площадь под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

 

 

Для построения кумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака, а по оси ординат – относительные накопленные частоты WHi . Полученные точки соединяют отрезками прямых. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают верхние границы группировки.

С кумулянтой сопоставляется график интегральной функции распределения F(x).

В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался положительным ( A˜s = 0,6), что свидетельствует о правосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс также оказался положительным ( -E˜k= 0,82). Это говорит о том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной имеет более крутую вершину.

 

 

 

Задача 2. Получены следующие данные о распределении рабочих на предприятиях по времени, затраченному на выработку детали:

 

Время, мин.	4,0-4,5	4,5-5,0	5,0-5,5	5,5-6,0	6,0-6,5	6,5-7,0	7,0-7,5	7,5-8,0
Число рабочих	4	14	55	92	160	96	66	11

 

Постройте кумулятивный ряд, начертите кумулянту, найдите моду и медиану.

 

 

 

Решение

Мода - это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем -значение модальной величины признака по формуле:

 

(1)

где:

- значение моды

- нижняя граница модального интервала

- величина интервала

- частота модального интервала

- частота интервала, предшествующего  модальному

- частота интервала, следующего  за модальным

 

Ответ

 

Число рабочих	Время обработки одной детали
4	4,0-4,5
14	4,5-5,0
55	5,0-5,5
92	5,5-6,0
160	6,0-6,5
96	6,5-7,0
66	7,0-7,5
11	7,5-8,0

 

Как видно из представленной таблицы наибольшей частотой является 8, этой частоте соответствует модальное значение признака. Следовательно модой в данном примере будет 11, что свидетельствует о том, что наибольшее количество времени потрачено 11 рабочими. Порядковый номер медианы будет равен 2,5, следовательно медианна будет равна 2,75. 

Найдем медианный интервал по накопленной частоте. Нужная накопленная частота определяется путем суммирования частот f до тех пор, пока очередная накопленная частота впервые не превысит половину совокупности n +1/2 или n/2.

Для нечетного ряда (25+1)/2= 13→S= 18 →18-20- медианный интервал.

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Для данных, приведенных в таблице, определите абсолютные приросты, коэффициенты роста, коэффициенты прироста, среднее значение одного процента прироста:

 

Год	Число газет	Год	Число газет	Год	Число газет
1975	179	1980	198	1985	212
1976	180	1981	203	1986	216
1977	186	1982	206	1987	215
1978	171	1983	206	1988	219
1979	187	1984	207	1989	220

 

 

 

Решение

Ряд динамики, хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемых явлений. Всякий ряд динамики включает, следовательно, два обязательных элемента: время и конкретное значение показателя или уровень ряда.

При изучении явлений во времени исследователь часто сталкивается с необходимостью описать интенсивность изменения и рассчитать средние показатели динамики. Эта проблема решается путем построения соответствующих показателей. Для характеристики интенсивности изменения во времени такими показателями будут: 

Абсолютный прирост - характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени.

Темпы роста (коэффициент роста) – показатель интенсивности изменения уровня ряда. Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня (если этот коэффициент больше единицы), или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы). В качестве базисного уровня в зависимости от цели исследования может приниматься какой-то постоянный для всех уровень либо для каждого последующего предшествующий ему. В первом случае говорят о базисных темпах роста, во втором о цепных.

 

Ответ

Годы	Символы	Уровень ряда	Абсолютный прирост		Темп роста, %		Темп прироста, %		Значение 1 % прироста
			Цепной	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной	Базисный
1975	Y1	4924	-	-	-	-	-	-	-
1976	Y2	4839	-85	-85	98,2	98,2	-1,8	-1,8	47,2
1977	Y3	4853	14	-71	100,2	98,5	0,2	-1,5	70
1978	Y4	4630	-223	-294	95,4	94,0	-4,6	6	48,4
1979	Y5	4694	64	-230	101,3	95,3	0,3	4,7	213,3