Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Мая 2013 в 14:52, контрольная работа
Задача 1. Задана выборка:...
1) Составить интервальный ряд распределения. 2) Найти выборочные среднее, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты вариации, ассиметрии и эксцесса. 3) Построить гистограмму частот. 4) Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график. 5) Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона при уровне значимости 0.05. 6) Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания генеральной совокупности с надежностью 0.95.
Точные значения для произвольных , а не только тех, что найдутся в таблице, можно вычислить в Excel, введя в ячейку формулу: =НОРМСТРАСП(x)-0,5
Вычисления сведем в таблицу 3.
Согласно правилу «трех сигм», почти все значения попадут в интервал , который в нашем случае равен: .
Поэтому границы расширяем до .
|
|
||||||
|
1 |
64,1 |
72,5 |
-3,005 |
-2,136 |
0,0150 |
1,50 |
2 |
2 |
72,5 |
79,5 |
-2,136 |
-1,412 |
0,0626 |
6,26 |
6 |
3 |
79,5 |
86,5 |
-1,412 |
-0,688 |
0,1668 |
16,68 |
17 |
4 |
86,5 |
93,5 |
-0,688 |
0,036 |
0,2687 |
26,87 |
27 |
5 |
93,5 |
100,5 |
0,036 |
0,760 |
0,2620 |
26,20 |
26 |
6 |
100,5 |
107,5 |
0,760 |
1,484 |
0,1547 |
15,47 |
15 |
7 |
107,5 |
114,5 |
1,484 |
2,208 |
0,0553 |
5,53 |
6 |
8 |
114,5 |
122,2 |
2,208 |
3,005 |
0,0123 |
1,23 |
1 |
Таблица 3. Вычисление теоретического нормального распределения
Получили, что вероятность попасть, например, в третий интервал равна . Следовательно, из выборки объемом 100 чисел в третий интервал должны попасть чисел. Т.к. количество должно быть целым, то округлив до ближайшего целого, получаем – теоретическая частота для 3-ого интервала. Аналогично получены и остальные теоретические частоты , которые, как видим, практически не отличаются от эмпирических . Убедимся, что и их суммарное количество тоже совпадает:
– доп. корректировок не требуется
Перед применением критерия Пирсона необходимо объединить интервалы, в которых частоты меньше 5. Таким образом, первый интервал объединяем со вторым, а восьмой – с седьмым. Для полученных шести интервалов вычисляем :
|
1+2 |
8 |
8 |
0 |
0 |
3 |
15 |
17 |
4 |
0,2353 |
4 |
28 |
27 |
1 |
0,0370 |
5 |
28 |
26 |
4 |
0,1538 |
6 |
14 |
15 |
1 |
0,0667 |
7+8 |
7 |
7 |
0 |
0 |
100 |
100 |
0,4928 |
Итак, наблюдаемое значение критерия согласия:
А критическое (предельное) значение находим по таблице квантилей распределения для заданного уровня значимости и количества степеней свободы . В нашем случае уровень значимости , (количество интервалов), (количество неизвестных параметров закона распределения: и , вместо которых использовались и ), т.е. количество степеней свободы – 3. Следовательно, критическое значение критерия согласия:
Т.к. наблюдаемое значение существенно меньше критического , то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не отвергается и не противоречит эмпирическим данным при заданном уровне значимости.
6) Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного мат. ожидания .
При неизвестном интервал находим по формуле:
,
где
находим по таблице.
Для заданных (объем выборки) и (надежность оценки) находим в таблице
Тогда
Следовательно, доверительный интервал для неизвестного :