Контрольная работа по "Статистике"

Задача 1. Задана выборка:

102	90	94	95	95	96	96	105	76	93
102	95	88	103	87	95	88	92	79	93
101	113	92	108	75	86	71	96	84	81
97	83	97	77	94	98	105	112	91	106
87	100	82	85	99	87	88	97	99	105
91	87	99	92	93	85	102	109	96	83
83	93	81	92	111	89	95	78	83	102
101	82	95	92	99	105	69	118	97	84
83	99	103	86	93	87	94	92	87	107
88	97	87	78	100	88	95	95	108	93

 

1) Составить интервальный ряд распределения.

2) Найти выборочные среднее, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты вариации, ассиметрии и эксцесса.

3) Построить гистограмму частот.

4) Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

5) Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона при уровне значимости 0.05.

6) Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания генеральной совокупности с надежностью 0.95.

 

Прежде всего, для упрощения анализа выборки отсортируем ее и вычислим ее основные характеристики. Для этого удобно использовать Excel или подобную программу.

 

69	82	85	88	92	93	95	97	101	105
71	82	86	88	92	94	95	98	102	106
75	83	86	88	92	94	96	99	102	107
76	83	87	88	92	94	96	99	102	108
77	83	87	88	92	95	96	99	102	108
78	83	87	89	93	95	96	99	103	109
78	83	87	90	93	95	97	99	103	111
79	84	87	91	93	95	97	100	105	112
81	84	87	91	93	95	97	100	105	113
81	85	87	92	93	95	97	101	105	118

Таблица 1. Отсортированная выборка

 

Объем выборки, : 100 Минимальное значение, : 69 Максимальное значение, : 118 Размах, : 49 Среднее арифметическое, : 93.06 Мода (по выборке), : 95 Медиана (по выборке), : 93

Мода выборки – это наиболее часто встречающееся значение. Значение 95 – единственное, которое встречается 8 раз (выделено синим цветом).   Медиана выборки  – значение, находящееся в середине отсортированной выборки, т.е. либо 50-е, либо 51-е по счету. В нашем случае они оба равны 93 (выделены красным).

 

1) Разобьем диапазон значений выборки на интервалы и составим ряд распределения.

 

Рекомендуемое количество интервалов для интервального ряда, согласно формуле Стерджеса:

 

Т.е. выборку из 100 значений оптимально разбивать на 7-8 интервалов. Разобьем на 8 интервалов:

 

Тогда минимально возможная длина  интервала (шаг) составит:

 

И в этом случае начало первого интервала  совпадет с первым (минимальным) значением выборки , а конец последнего интервала – с последним значением . При выборе интервалов рекомендуется отступать от первого и последнего значений выборки (если удобно, то на вправо и влево). Кроме того, для удобства можно выбрать целочисленный шаг. Поэтому возьмем в качестве шага целое значение:

 

В таком  случае, 8 интервалов шириной  единиц полностью и с запасом покрывают размах выборки . Запас составит единиц, т.е. как раз по слева и справа, как и рекомендовано. Таким образом, отступив от минимального значения на 3.5 единиц вправо, получим начало первого интервала:

 

Его конец и начало следующего интервала:

 

Конец второго и начало третьего интервала:

 

И т.д.

 

Середины получившихся интервалов:

  

 

Пользуясь отсортированной выборкой легко подсчитать частоты для  каждого интервала – количество значений, попадающих в интервал. Например, в первый интервал попадают лишь два значения: 69 и 71. Во второй интервал попадает уже 6 значений: 75, 76, 77, 78, 78, 79. И т.д.

 

Сведем полученные данные в таблицу:

 

1	65,5	72,5	69	2	2	0,02	0,02	0,0029
2	72,5	79,5	76	6	8	0,06	0,08	0,0086
3	79,5	86,5	83	15	23	0,15	0,23	0,0214
4	86,5	93,5	90	28	51	0,28	0,51	0,04
5	93,5	100,5	97	28	79	0,28	0,79	0,04
6	100,5	107,5	104	14	93	0,14	0,93	0,02
7	107,5	114,5	111	6	99	0,06	0,99	0,0086
8	114,5	121,5	118	1	100	0,01	1,00	0,0014

Таблица 2. Разбиение выборки на интервалы

 

где

 – номер интервала;

 – границы интервала;

 – середина интервала;

 – частота (количество  значений, попавших в интервал);

 – накопительная сумма  частот (сумма частот в  -ом и всех предыдущих интервалах);

 – относительные частоты;

 – эмпирическая функция распределения;

 – высота столбцов гистограммы относительных частот.

 

2) Вычислим характеристики полученного интервального ряда распределения.

 

Мода интервального  ряда вычисляется на основе частот интервала с максимальной частотой (модальный интервал) и соседствующих с ним. Когда модальных интервалов два (как в нашем случае и , и ), то мода равна границе между этими интервалами. Убедимся в этом:

– значение моды, если в качестве модального взять четвертый интервал:

 

– такое же значение моды, если в качестве модального взять пятый интервал:

 

Медиана вычисляется  на основе медианного интервала –  такого, в котором накопительная  сумма частот впервые превысила . Таким является 4-ый интервал – в нем , тогда как в предыдущем интервале . Тогда медиану вычисляем по формуле:

 

Выборочное  среднее:

 

Итак,

.

 

Вспомним, что эти же характеристики, вычисленные на основе исходной выборки, составили в свою очередь  , , , т.е. близки к полученным выше значениям.

 

Остальные необходимые характеристики вычисляются на основе центральных моментов :

 – центральные моменты  -го порядка

Тогда

    – дисперсия

   – среднее квадратическое отклонение

    – коэффициент вариации

    – коэффициент ассиметрии

   – эксцесс

 

Для удобства сведем вычисление выражений в таблицу:

1	2	69	-24,15	1166,445	-28169,647	680296,969
2	6	76	-17,15	1764,735	-30265,205	519048,270
3	15	83	-10,15	1545,338	-15685,176	159204,533
4	28	90	-3,15	277,830	-875,165	2756,768
5	28	97	3,85	415,030	1597,865	6151,782
6	14	104	10,85	1648,115	17882,048	194020,218
7	6	111	17,85	1911,735	34124,470	609121,785
8	1	118	24,85	617,523	15345,434	381334,038
Сумма:				9346,75	-6045,375	2551934,363

 

Таким образом,

 

    – дисперсия

   – среднее квадратическое отклонение

   – коэффициент вариации

  – коэффициент ассиметрии

 – эксцесс

 

 

3,4)  Построим графики по полученным данным.

 

Гистограмма относительных частот строится по следующему принципу:

–  -ый столбец гистограммы по ширине занимает весь интервал от до , т.е. имеет ширину, равную ;

– высота столбца гистограммы принимается такой, чтобы его площадь была равна относительной частоте (соответствующие значения находятся в последнем столбце таблицы 2).

 

Рис. 1. Гистограмма относительных частот

 

 

Отобразив на графике точки  и соединив их ломаной линией, получим график эмпирической функции распределения:

 

Рис. 2. Эмпирическая функция распределения

 

5) Проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

 

Коэффициент вариации интервального ряда составил порядка 10%. Такой показатель свидетельствует о достаточной однородности эмпирических данных, позволяющей делать на их основе какие-либо выводы.

 

Проанализировав построенный нами эмпирический закон распределения, выяснили, что

–  (т.е. распределение практически симметрично и не скошено);

–    и находятся в пределах от 93 до 93.5 (за исключением , которое отклонилось немного больше).

 

Подобными свойствами обладает нормальное распределение, для которого ассиметрия и эксцесс равны нулю, а мода и медиана равны математическому ожиданию. Графики на рисунках 1-3 так же визуально похожи на графики нормального распределения.

 

Поэтому выдвигаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Т.е. предполагаем, что значения выборки распределены по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением .

 

Функция плотности нормального распределения с такими параметрами будет иметь вид:

 

Ее график на фоне гистограммы частот, построенной ранее:

 

Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

 

Для этого вычислим, какими теоретически должны быть частоты  , если бы данные строго соответствовали нормальному распределению с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением .

 

Вычислим вероятности попадания случайной величины в интервалы по формуле:

,

где

 – интегральная функция  Лапласа, значения которой находим по таблицам.