Контрольная работа по "Эконометрике"

Эконометрика.

Вариант №1.

Задача №1.

По территориям Южного федерального округа РФ приводятся данные за 2000 год:

Территории федерального округа	Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y	Инвестиции в основной капитал, млрд. руб., X
1. Респ. Адыгея3	5,1	1,264
2. Респ. Дагестан6	13,0	3,344
3. Респ. Ингушетия2	2,0	0,930
4. Кабардино-Балкарская Респ.5	10,5	2,382
5. Респ. Калмыкия7	2,1	6,689
6. Карачаево-Черкесская Респ.1	4,3	0,610
7. Респ. Северная Осетия – Алания4	7,6	1,600
8. Краснодарский край1)	109,1	52,773
9. Ставропольский край10	43,4	15,104
10. Астраханская обл.9	18,9	12,633
11. Волгоградская обл.8	50,0	10,936
12. Ростовская обл.11	69,0	20,014
Итого, S	225,9	75,506
Средняя	20,536	6,8642
Среднее квадратическое  отклонение, s	21,852	6,4427
Дисперсия, D	477,50	41,5079

 

¹⁾ Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной территории (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанной аномальной единицы.

Задание:

1. Расположите территории  по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте поле корреляции  и сформулируйте гипотезу о  возможной форме и направлении  связи.

3. Рассчитайте параметры а₁ и а₀ парной линейной функции .

4. Оцените тесноту  связи с помощью показателей  корреляции  (r_yx) и детерминации (r²_yx), проанализируйте их значения.

5. Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости a=0,05.

6. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

7. По лучшему уравнению  регрессии рассчитайте теоретические  значения результата ( ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'_ср., оцените её величину.

8. Рассчитайте прогнозное  значение результата , если прогнозное значение фактора ( ) составит 1,062 от среднего уровня ( ).

9. Рассчитайте интегральную  и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза ( ; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ( ), оценив точность выполненного прогноза.

Решение:

1.Для построения графика  расположим территории по возрастанию  значений фактора  . См. табл. 1.

Таблица №1.

Территории федерального округа	Инвестиции в основной капитал, млрд. руб., X	Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y
А
1. Карачаево-Черкесская Респ.	0,610	4,3
2. Респ. Ингушетия	0,930	2,0
3. Респ. Адыгея	1,264	5,1
4. Респ. Северная Осетия – Алания	1,600	7,6
5. Кабардино-Балкарская Респ.	2,382	10,5
6. Респ. Дагестан	3,344	13,0
7. Респ. Калмыкия	6,689	2,1
8. Волгоградская обл.	10,936	50,0
9. Астраханская обл.	12,633	18,9
10. Ставропольский край	15,104	43,4
11. Ростовская обл.	20,014	69,0
Итого, S	75,506	225,9
Средняя	6,8642	20,536
Среднее квадратическое  отклонение, s	6,4427	21,852
Дисперсия, D	41,5079	477,50

2. Обычно моделирование  начинается в построения уравнения  прямой: , отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

3. Расчёт неизвестных параметров  уравнения выполним методом наименьших  квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её относительно неизвестных а₀ и а₁. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа₀ и Δа₁ Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X², X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл.2.

Расчётная таблица №2

№
А	1	2	3	4	5	6	7	8
1	0,610	4,3	0,4	2,6	1,7	2,6	6,9	12,8
2	0,930	2,0	0,9	1,9	2,6	-0,6	0,4	3,1
3	1,264	5,1	1,6	6,4	3,6	1,5	2,1	7,1
4	1,600	7,6	2,6	12,2	4,7	2,9	8,6	14,3
5	2,382	10,5	5,7	25,0	7,0	3,5	12,1	17,0
6	3,344	13,0	11,2	43,5	9,9	3,1	9,5	15,0
7	6,689	2,1	44,7	14,0	20,0	-17,9	320,7	87,2
8	10,936	50,0	119,6	546,8	32,8	17,2	295,2	83,7
9	12,633	18,9	159,6	238,8	37,9	-19,0	362,4	92,7
10	15,104	43,4	228,1	655,5	45,4	-2,0	4,0	9,7
11	20,014	69,0	400,6	1381,0	60,2	8,8	77,5	42,9
Итого	75,506	225,9	974,9	2927,7	225,9	0,0	1099,4	385,4
Средняя	6,8642	20,536	—	—	—	—	—	35,03
Сигма	6,4427	21,852	—	—	—	—	—	—
Дисперсия, D	41,5079	477,50	—	—	—	—	—	—
Δ=	5022,7	—	—	—	—	—	—	—
Δа0=	-829,0		-0,165	—	—	—	—	—
Δа1=	15147,9		3,016	—	—	—	—	—

3. Расчёт определителя  системы выполним по формуле:

 11*974,9 – 75,506*75,506 = 5022,7;

  Расчёт определителя  свободного члена уравнения выполним  по формуле:

225,9*974,9 – 2927,7*75,506 = -829,0.

   Расчёт определителя  коэффициента регрессии выполним  по формуле:

 11*2927,7 – 225,9*75,506 = 15147,9.

 

4.Расчёт параметров уравнения  регрессии даёт следующие результаты:

;     .

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:

В уравнении коэффициент  регрессии а₁ = 3,016 означает, что при увеличении инвестиций в основной капитал на 1 млрд. руб. (от своей средней) валовой региональный продукт повысится на 3,016 млрд. руб. (от своей средней).

Свободный член уравнения  а₀ = - 0,165 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на валовой региональный продукт.

5.Относительную оценку  силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:

В нашем случае, когда  рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:

Это означает, что при увеличении инвестиций в основной капитал на 1% от своей средней валовой региональный продукт увеличивается на 1,008 процента от своей средней.

6. Для оценки тесноты  связи рассчитаем линейный коэффициент  парной корреляции:

    

Коэффициент корреляции, равный 0,81, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей суммой инвестиций в основной капитал и валовым региональным продуктом. Коэффициент детерминации, равный 0,81, устанавливает, что вариация валового регионального продукта на 81% из 100% предопределена вариацией инвестиций в основной капитал; роль прочих факторов, влияющих на розничный товарооборот, определяется в 19%, что является сравнительно небольшой величиной.

7.Для оценки статистической  надёжности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – F_{фактич.} и сравним его с табличным значением – F_табл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).

В нашем случае, .

Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата в 38 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия валовой региональной продукции и инвестиций в основной капитал. Для обоснованного вывода сравним полученный результат  с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.₁=k-1=1 и d.f.₂=n-k=11-2=9 и уровне значимости α=0,05.

Значения  представлены в таблице «Значения F-критерия Фишера для уровня значимости 0,05 (или 0,01)». См. приложение 1 данных «Методических указаний…».

В силу того, что  , нулевую гипотезу о статистической незначимости  выявленной зависимости оборота розничной торговли от общей суммы доходов населения и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

8. Определим теоретические  значения результата Y_теор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчёт.

Например, . См. гр. 5 расчётной таблицы. По парам значений Y_теор. и X_факт. строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся  с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1.

 

 

График 1.

 

 

9. Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:

.

 В нашем случае  скорректированная ошибка аппроксимации  составляет 35,03%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).

10. Заключительным этапом  решения данной задачи является  выполнение прогноза и его оценка.

Если предположить, что прогнозное значение инвестиций в основной капитал, в среднем по территории Южного федерального округа возрастёт с 6,8642 млрд. руб.на 6,2 % и составит 7,2898 млрд. руб., то есть X_{прогнозн}.= 6,8642*1,062=7,2898, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: Y_{прогнозн.} =-0,165+3,016*7,2898=21,82 (млрд. руб.). То есть, прирост фактора на 6,2% приводит к приросту результата на 6,3 процента ( .

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии- и ошибки прогноза положения регрессии - . То есть, .

В нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1. Тогда (млрд. руб.).

Ошибка положения регрессии  составит: =

=  =  = 0,022 (млрд. руб.).

Интегральная ошибка прогноза составит: = = 11,05 (млрд. руб.).

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,26*11,05 = 24,973 ≈ 25,0 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 9-1-1=7  составит 2,26. (См. табл. приложения 2). Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза составит млрд. руб.