Дисперсионный анализ

Значимость  линейных эффектов проверяются по критерию Фишера. Если дисперсионное отношение  удовлетворяет неравенствам:

                                               (1.99)

где,

р – уровень значимости;

f₁, f₂ – число степеней свободы, равные f₁=n-1; f₂=(n-1)(n-2), принимаются нулевые гипотезы: α_i=0; β_i=0; γ_i=0.

Если  какое-нибудь дисперсионное отношение  оказывается больше табличного, соответствующая нулевая гипотеза отвергается и влияние фактора считается незначимым. Приняв гипотезу о значимости влияния фактора, т.е. гипотезу о значимости различия в средних. обычно выясняют, какие именно средние значимо различаются между собой при помощи критерия Стьюдента или множественного рангового критерия Дункана. Если же согласно условиям задачи один или два фактора являются источниками неоднородностей, влияние которых надо исключить при подсчете главного эффекта (это обеспечивается планированием по схеме латинского квадрата), то средние по источникам неоднородностей не подсчитывается и не проверяется значимость их различия по статистическим критериям.

Планирование  эксперимента по латинскому квадрату позволяет ввести в исследование три фактора. Для четырех факторов хорошими свойствами обладает план эксперимента по схеме греко-латинского квадрата. Задача состоит в том, чтобы к трем исследуемым факторам, не имея общего числа опытов n², добавить четвертый фактор D. Это удается сделать, если найти место такое расположение уровней факторов C и D, при котором в каждой строке и в каждом столбце имеются все n уровней фактора С и все n уровней фактора D и ВТО же время никакие два уровня факторов C и D не встречаются во всей таблице больше одного раза. Расположение такого типа называется латинскими квадратами второго порядка, который получается комбинацией двух ортогональных латинских квадратов.

Рассмотрим  следующие два латинских квадрата, составленных соответственно из латинских и греческих букв:

I                                                II

                                               (1.100)

Если наложить эти два квадрата один на другой и составить третий квадрат, каждая клетка которого содержит как латинскую, так и греческую букву соответствующих клеток исходных квадратов, то получим:

                                      (1.101) 

В полученном квадрате каждая буква одного квадрата связана один и только один раз  с каждой буквой другого квадрата. Такие два латинских квадрата называются ортогональными. Полученный квадрат второго порядка называют также греко-латинским квадратом. Задача о нахождении ортогональных латинских квадратов в комбинированной математике ещё полностью не решена. Доказано существование ортогональных латинских квадратов для n=3, 4, 5, 7, 8 и 9. Известно, что их нет для n=6. Для n=6 поэтому можно построить обычный латинский квадрат и нельзя построить квадрат второго порядка. Латинский квадрат n=10 не исследован. Если имеется k=n-1попарно ортогональных латинских квадратов, то они образуют так называемую полную систему ортогональных латинских квадратов. Показано, что существую полные системы латинских квадратов для n=p (р- простое число) и n=p^α (степени простого числа). Полную систему ортогональных латинских квадратов для n=p (р – простое число) можно построить, использую поля Галуа.

Планирование  эксперимента по схеме греко-латинского квадрата применяется для четырех факторов. Число уровней для всех факторов должно быть одинаково.

Греко-латинский  квадрат является частью четырех  факторного плана – по схеме греко-латинского квадрата вводят в план эксперимента фактора C и D. Однако принято греко-латинским квадратом называть весь четырехфакторный план.

В греко-латинском  квадрате имеется n² различных комбинаций уровней факторов вместо n⁴ комбинаций полного четырехфакторного эксперимента. Поэтому греко-латинский квадрат представляет собой 1/n² реплику от полного факторного эксперимента.

Дисперсионный анализ греко-латинского квадрата проводится также, как и анализ обычного латинского квадрата, с учетом четвертого фактора D (греческая буква). Сумма квадратов для греческой буквы имеет число степеней свободы n-1. Число степеней свободы остаточной суммы. Определяемой, как и ранее, в виде разности между общей суммой квадратов и суммами квадратов всех факторов, равна (n-1)(n-3). Если наложить друг на друга три ортогональных латинских квадрата, получим латинский квадрат третьего порядка, n ортогональных квадратов – латинский квадрат n-го порядка. Полученные квадраты называют также гипер-греко-латинскими квадратами.

При n уровнях в план можно ввести n+1 фактор. Число степеней свободы остаточной суммы при этом будет равно нулю. Такие планы называются насыщенными.

Основным  допущением, лежащим в основе применения греко-латинского квадрата и квадратов  высших порядков, является предположение  об отсутствии взаимодействия между  факторами. Проверить адекватность принятой лишенной модели, как и  при применении латинских квадратов, можно только при наличии параллельных опытов.

Заключение.

Важнейшей задачей современной науки является максимальное сокращение сроков перехода от лабораторных исследовании в промышленность, сокращение пути перехода от лабораторного стола к промышленной реализации. Методы кибернетики позволяют не только сократить этот путь, но и резко уменьшить число необходимых опытов, быстро выявить оптимальный вариант существования изучаемого процесса. Использование методов кибернетики и вычислительной техники изменяет старые традиционные методы проведения эксперимента – от ручного управления, контроля, сбора и обработки информации дает возможность перейти от диалоговой системе: экспериментатор – электронная управляющая машина. Эксперимент проводит машина, в которую предварительно заложена программа оптимизации эксперимента. Эта система в десятки раз ускоряет проведение эксперимента, повышает надежность полученных данных.

Оптимальное планирование эксперимента предполагает одновременное изменение всех факторов, влияющих на процесс, что позволяет  сразу установить степеней взаимодействия параметров и значительно сократить  общее число опытов.

Совместная  часть метода математического моделирования  – установление адекватности математической модели изучаемому объекту. Адекватность может быть установлена с использованием статистико-вероятностных методов, позволяющих определить значения коэффициентов математической модели или действительного времени пребывания частиц потока. переносящих вещество или энергию. Поэтому применении таких приемов, как использование метода моментов, стало мощным средством математической оценки соответствия модели и объекта.

Экспериментально-статистические методы позволяю получать математические модели таких процессов, строгое детермированное описание которых вообще отсутствует.

Понятна и общепризнанна ценность аналитических  моделей, построенных на основе анализа  физико-математических характеристик, точно описывающих процесс. Однако реальные процессы настолько сложны, что их точное описание едва ли может  быть получено в реальные сроки. Кроме  того, такие модели часто содержат громоздкие системы дифференциальных уравнений, применять которые  крайне затруднительно, а иногда и невозможно.

Список  литературы.

1. Ахназарова С.Л. Кафаров В.В. Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии – М.: «Высшая школа» 1978.

2. Гореев В.В. Математическое моделирование при расчетах и исследованиях строительных конструкций – М.: «Высшая школа» 2002.

3. Золотухин Н.Д. Испытание строительных конструкций – М.: «Высшая школа» 2003.

4. Планирование  эксперимента и статистическая  обработка результатов: методические указания. Землянский А.А., Мордовин Г.М. Балаково: БИТТиУ 2004.

5. Ровенькова Т.А. Планирование эксперимента в производстве химических волокон - М.: «Химия»1977.

6. Федоров  В.В. Теория оптимального эксперимента - М.: «Наука» 1971