Дисперсионный анализ

                                                (1.68)

9. квадрат  общего итога, деленный на число  всех наблюдений (корректирующий член)

             (1.69)

10. сумма  квадратов для столбца

                                       (1.70)

11. сумма квадратов строки

                                       (1.71)

12. сумму  квадратов для дисперсии воспроизводимости

                         (1.72)

13. общую  сумму квадратов, равную разнице  между суммой квадратов всех  наблюдений и корректирующим  членом

                                  (1.73)

14. остаточную  сумму квадратов отклонения для  эффекта взаимодействия

                        (1.74)

15. дисперсию 

                                             (1.75)

16. дисперсию

                                            (1.76)

17. дисперсию 

                                    (1.77)

18. дисперсию воспроизводимости

                                    (1.78)

Поверка гипотезы о значимости взаимодействия фактора А и В поводится по F-критерию одинаково для моделей со случайными и фиксированными уровнями. Однако для проверки гипотез о значимости фактора А и В проводят неодинаково для разных моделей. В таблице № 5 приведен двухфакторный дисперсионный анализ с повторными опытами для модели со случайными связями.

Таблицы №5.

Двухфакторный дисперсионный анализ для модели со случайными уровнями (с повторениями опытов).

Источник дисперсии	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат	Математическое ожидание среднего квадрата
А	k-1
В	m-1
АВ	(k-1)(m-1)
Остаток (ошибка)	mk(n-1)
Общая сумма	mkn-1

Из таблицы  видно, что для оценки значимости фактора А необходимо составить дисперсионное отношение виды

                                                   (1.79)

Влияние фактора А признается значимым, если

                                        (1.80)

где,

р – уровень значимости;

f₁=k-1; f₂=(k-1)(m-1)

Аналогично. влияние фактора В считается значимым, если

                                        (1.80а)

где,

f₁=m-1; f₂=(k-1)(m-1)

Если  неравенства (1.80) и (1.80а) не выполняются, влияние фактора А и В следует считать незначимым.

Для математической модели с фиксированными уровнями члены. соответствующие взаимодействию, исчезают из сумм квадратов отклонений SS_A и SS_B.

Вследствие  этого для оценки значимости фактора А составляют дисперсионное отношение вида

                                                   (1.81)

в знаменателе которого стоит оценка для дисперсии воспроизводимости. Полученное дисперсионное отношение сравнивается с табличными для чисел свободы f₁=k-1; f₂=mk(n-1). Аналогично, для оценки фактора В рассматривают отношение

                                                   (1.81а)

которое сравнивают с табличными для чисел степеней свободы f₁=m-1; f₂=mk(n-1).

Если  дисперсионное отношение (1.81) и (1.81а) больше табличных

                                        

                                        (1.81б)

влияние факторов А и В следует считать значимыми. Если же неравенства (1.81б) не выполняются, влияние факторов А и В незначимо. Для проверки значимости эффекта взаимодействия составляют дисперсионное отношение вида

 

и сравнивают его с табличными  при уровне значимости р и числа степеней свободы f₁=k-1; f₂=mk(n-1). Если полученное дисперсионное отношение больше табличного

 

влияние эффекта  взаимодействия факторов надо считать  значимым. В противном случае, если

 

влияние эффекта  взаимодействия следует считать  незначительным.

4. Планирование эксперимента при  дисперсионном анализе. Латинские  и гипер-греко-латинские квадраты.

При изучении влияния на процесс двух факторов число необходимых экспериментов N (без повторения опытов) определялось произведением уровней изучаемых факторов. Если число уровней n одинаково, то объем эксперимента при двухфаторном дисперсионном анализе равен N-n². При таком числе опытов в эксперименте встречаются все возможные сочетания уровней изучаемых факторов. Такой эксперимент называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Эксперимент, в котором пропущены некоторые сочетания уровней, называют дробным факторным экспериментом (ДФЭ)

Сокращение  перебора уровней всегда приводит к  потере части информации. Поэтому  при ДФЭ важно так спланировать эксперимент, чтобы терялась наименее существенная при данной постановке задачи информация. Особенно широко используются ДФЭ, в котором теряется лишь информация о взаимодействиях изучаемых факторов. Это правомерно в тех случаях, когда эффекты взаимодействия заведомо отсутствуют или несколько малы, что их можно не учитывать. Рассмотрим трехфакторный дисперсионный анализ при одинаковом числе уровней n для каждого фактора. Полный перебор сочетания уровней факторов требует N опытов:

                                                          (1.82)

Число опытов значимо сократить, если воспользоваться  ДФЭ по схеме латинского квадрата, введенного впервые Фишером. Латинский квадрат n×n – это квадратная таблица, составленная из n элементов (чисел или букв) таким образом, что каждый элемент повтряется в каждой строке и каждом столбце только один раз. Из трех элементов образуется латинский квадрат 3×3:

 

Из четырех  элементов – латинский квадрат 4×4:

 

Стандартными  или каноническими латинскими квадратами называют такие квадраты, у которых  первая строка и первый столбец построены  в алфавитном порядке (элементы квадрата – буквы) или в порядке натурального ряда (элементы квадрат – числа). Построены эти квадраты путем одношаговой циклической перестановки: вторая строка строится перестановкой в конец строки первого элемента первой строки, третья строка – перестановкой в конец первого элемента второй строки и т.д. Одношаговая циклическая перестановка – это наиболее простой способ построения латинского квадрата. В общем случае n×n латинский квадрат может быть построен при n-1 одношаговых циклических перестановках. Число латинских квадратов зависит от размера квадрата и для n>3 оно достаточно велико. Так, имеется 576 латинских квадратов 4×4, 161280 латинских квадратов 5×5.

К планированию эксперимента по схеме латинского квадрата прибегают при исследовании влияния  на процесс трех факторов А, В и С. При этом факторы могут быть связаны с самим исследованием. а в качестве фактора С рассматривается неоднородный материал. Все три фактора имеют одинаковое число уровней (a_i, b_i, c_i).

Латинский квадрат является частью плана –  по схеме латинского квадрата введен в планирование третий фактор С. Однако весь этот план принято называть латинским квадратом. В латинском квадрате каждый элемент повторяется только один раз в каждой строке и в каждом столбце. поэтому каковы бы ни были нарушающие свойства элемента квадрата, они в равной степени скажутся при подсчете средних по столбцам и по строкам.

Результаты  наблюдений, полученного по полному факторному эксперименту, можно представить в виде следующей модели:

                       (1.83)

В модель (1.83) помимо линейных эффектов входят три  эффекта парного и один тройной  эффект взаимодействия. Сокращение числа  опытов в дробной реплике приводит к тому, что линейные эффекты оказываются смешанными с эффектами взаимодействия:

- эффект А с ВС взаимодействием;

- эффект В с АС взаимодействием;

- эффект С с АВ взаимодействием.

При применении латинского квадрата обычно исходят  из предложения , что эффекты взаимодействия между факторами незначимы. Тогда результаты эксперимента можно представить в виде линейной модели:

                            (1.84)

Таблицы №6.

Латинский квадрат 3×3.

А	В			Итоги
	b1	b2	b3
а1	c1 y1	c2 y2	c3 y3	А1
а2	c2 y4	c3 y5	c1 y6	А2
а3	c3 y7	c1 y6	c2 y9	А3
Итоги	В1	В2	В3

 

В таблице  №6 приведен план эксперимента по схеме  латинского квадрата 3×3.

Латинский квадрат 3×3 со структурной точки  зрения можно рассматривать как 1/3 реплику от полного факторного эксперимента 3³. В общем случае латинский квадрат n×n можно рассматривать как реплику 1/n от ПФЭ n³.

При проведении дисперсионного анализа латинского квадрата без повторных опытов удобно использовать следующий алгоритм расчета. Для этого определяют: 1. итоги по срокам A_i, столбцам B_j и латинским буквам С_q. Например, для приведенного в таблице №6 латинского квадрата 3×3 итоги по строкам

 

итоги по столбцам:

 

итоги по латинским  буквам

 

2. сумму  квадратов всех наблюдений

                                      (1.85)

3. сумму квадратов итогов по строкам, деленную на число наблюдений в строке,

                                         (1.86)

4. сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце,

                                         (1.87)

5. сумму квадратов итогов по латинским буквам, деленную на число наблюдений, соответствующей каждой букве

                                         (1.88)

6. квадрат  общего итоги, деленный на число  всех наблюдений (корректирующий член)

               (1.89)

7. сумму квадратов для строки

                                       (1.90)

8. сумму  квадратов для столбца

                                       (1.91)

9. сумму  квадратов для латинской буквы

                                       (1.92)

10. общую  сумму квадратов, равную разнице  между суммой квадратов всех  наблюдений и корректирующим  членом

                                    (1.93)

11. остаточную  сумму квадратов

                                                           (1.94)

Остаточная  сумма квадратов складывается из дисперсии, обусловленной ошибкой  опыта, и дисперсии, обусловленной  взаимодействием факторов, если такие имеются;

12. дисперсию 

                                                    (1.95)

13. дисперсию

                                                    (1.96)

14. дисперсию

                                                    (1.97)

15. дисперсию 

                                                    (1.98)

Результаты  расчета приведены в таблице  дисперсионного анализа (таблица №7)

Таблицы №5.

Дисперсионный анализ латинского квадрата (без повторных  опытов).

Источник дисперсии	Число степеней свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат	Математическое ожидание среднего квадрата
А	n-1
В	n-1
С	n-1
Остаток (ошибка)	(n-1)(n-2)
Общая сумма	n2-1