Анализ структуры массовых явлений

Распределение вероятностей непрерывной CВ Х, принимающие  все свои значения из отрезка [а;b] называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю:

Распределение Стьюдента

Это распределение  связано с нормальным. Если СВ x1, x2, … xn – независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение N(0,1), то СВ имеет распределение, называемое распределением Стьюдента:⁵

 

 

 

Глава 3. Нормальный закон распределения, закон распределения Пуассона

Закон распределения Пуассона

Дискретная  случайная величина X имеет закон  распределения Пуассона с параметром X > 0, если она принимает значения 0, 1, 2,..., /я,... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями.

Ряд распределения  закона Пуассона имеет вид:

Очевидно, что  определение закона Пуассона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, ибо сумма ряда равна

На рис. 4.1 показан  многоугольник (полигон) распределения  случайной величины,  распределенной по закону Пуассона P{X=zm)=zPm{x) с  параметрами X = 0,5, А. = 1, X = 2, Л =3,5.

Теорема.  Математическое ожидание и дисперсия случайной величины,  распределенной по закону  Пуассона, совпадают и равны  раметру X этого закона, т.е.

Найдем математическое ожидание случайной величины X:

При достаточно больших и малых значениях при условии, что произведение постоянная величина (пр -> X = const), закон распределения  Пуассона является хорошим приближением биномиального закона, так как в этом случае функция вероятностей Пуассона (4.8)  хорошо аппроксимирует функцию вероятностей (4.1). Иначе, при X = const закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность р события А в каждом испытании мала, то  закон распределения Пуассона называют часто законом редких  явлений.⁶

Нормальное (гауссовское) распределение

Нормальное (гауссовское) распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. В качестве непрерывной аппроксимации к биномиальному распределению его впервые рассматривал А.Муавр в 1733 г. Через некоторое время нормальное распределение снова открыли и изучили К.Гаусс (1809 г.) и  П.Лаплас, которые пришли к нормальной функции в связи с работой по теории ошибок наблюдений.

Непрерывная случайная  величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна

  (3)

 

Где совпадает с математическим ожиданием величины Х: =М(Х), параметр s совпадает со средним квадратическим отклонением величины Х: s =s(Х). График функции нормального распределения, как видно из рисунка, имеет вид куполообразной кривой, называемой Гауссовой, точка максимума имеет координаты (а; Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения s (кривая «сжимается» к оси Ох) и возрастает с убыванием значения s (кривая «растягивается» в положительном направлении оси Оу). Изменение значений параметра (при неизменном значении s) не влияет на форму кривой, а лишь перемещает кривую вдоль оси Ох.

Нормальное  распределение с параметрами =0 и s=1 называется нормированным. Функция распределения СВ в этом случае будет иметь вид:

Для μ=0, σ=1 график принимает вид:

Эта кривая при  μ=0, σ=1 получила статус стандарта, ее называют единичной нормальной кривой, то есть любые собранные данные стремятся  преобразовать так, чтобы кривая их распределения была максимально  близка к этой стандартной кривой.

Нормализованную кривую изобрели для решения задач  теории вероятности, но оказалось на практике, что она отлично аппроксимирует распределение частот при большом  числе наблюдений для множества  переменных. Можно предположить, что  не имея материальных ограничений на количество объектов и время проведения эксперимента, статистическое исследование приводится к нормально кривой.⁷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  используемой литературы:

1. Балинова В.С.  Статистика в вопросах и ответах:  учеб. пособие. – М.: ТК. Велби, «Проспект», 2008.

2. Гусаров В.М.  Статистика: Учеб. Пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

3. Теория статистики: Учеб. Пособие/ под ред. Р.А.  Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2006.

4. Курс социально-экономической  статистики. учеб. для вузов/ под ред. проф. М.Г. Назарова. – М.: Финстатиформ, ЮНИТИ-ДАНА, 2005.

5. Российский статистический ежегодник. 2007 – М.: Госкомстат России, 2007 г.

6. Электронный ресурс, http://nikolle.narod.ru/Stat.html;

7. Коник Н. В. ,Общая теория статистики: конспект лекций, 2008 г.

¹ Балинова В.С. Статистика в вопросах и ответах: учеб. пособие. – М.: ТК. Велби, «Проспект», 2008.

² Российский статистический ежегодник. 2007 – М.: Госкомстат России, 2007 г.

³ Гусаров В.М. Статистика: Учеб. Пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

⁴ Теория статистики: Учеб. Пособие/ под ред. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2006.

⁵ Электронный ресурс, http://nikolle.narod.ru/Stat.html.

⁶ Курс социально-экономической статистики. учеб. для вузов/ под ред. проф. М.Г. Назарова. – М.: Финстатиформ, ЮНИТИ-ДАНА, 2005.

⁷ Коник Н. В. ,Общая теория статистики: конспект лекций, 2008 г.