Анализ эффективности использования трудовых ресурсов

  Есть правило сложения дисперсий. Оно означает, что общая дисперсия складывается из двух слагаемых, одно из которых измеряет вариацию внутри частей совокупности, а второе- различия (вариацию) между этими частями (представленными средними).

Общая дисперсия:

               

  Сумма ВВП по районам отклоняется от совокупности под влиянием всех факторов (в среднем) на +- 58,8 млн.ден. ед

2.5.Корреляционно-регрессионный  анализ

  Статистические распределения характеризуются наличием более или менее значительной вариации в величине признака у отдельных единиц совокупности. Естественно, возникает вопрос о том, какие же причины формируют уровень  признака в данной совокупности и каков конкретный вклад каждой из них. Изучение зависимости вариации признака от окружающих условий и составляет содержание теории корреляции.

  Корреляционный и регрессионный методы решают две основные задачи:

• Определение с помощью уравнений регрессии аналитической формы связей между вариацией признаков x и y;
• Установление меры тесноты связи между признаками (в какой мере вариация x обуславливает вариацию y);

  Путём построения и анализа регрессионных моделей можно ответить на вопрос, как каждый фактор влияет на изучаемое явление. Корреляционный и регрессионный методы дают возможность количественно исследовать влияние факторов на изучаемое явление, позволяют отделить мнимые связи от действительных.

 В статистике принято различать следующие виды корреляции.

Парная корреляция – связь между двумя признаками.

Частная корреляция – зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков.

Множественная корреляция – зависимость результативного и двух и более факторных признаков, включенных в исследование.

 Для этого анализа  в качестве факторного признака  принимается показатель суммы ВВП, млн. ден. ед.

Таблица7- Затраты труда и сумма ВВП

Х1, тыс. руб.	2,2	0,8	1,5	1.9	2,7	1,0	1,4	1,3	1,0	2,0	1,2	2,4
У, млн. ден.ед	155	103	86	45	33	115	67	80	350	150	95	85

 

Х1- затраты труда на тысячу денежных единиц ВВП, чел.-час.

У- ВВП, млн. ден. ед.

  По каждому из случаев в параллельных рядах в среднем должна проявляться зависимость между Х1 и У. упорядочим эти первичные данные втаблице-8, где значения Х1 расположим по ранжиру, а затем в соответствии.

 

Таблица8- Паралельные ряды

Х1, тыс. ден. ед.	0,8	1,0	1,0	1,2	1,3	1,4	1,5	1,9	2,0	2,2	2,4	2,7
У, млн. ден. ед.	103	115	350	95	80	67	86	45	150	155	85	33

 

  Данные таблицы 8 показывают, что с увеличением затрат труда Х1 в среднем значения суммы ВВП у  уменьшаются.

  В системе координат на графике наносятся точки, соответственно значениям Х1 и У в результате получается корреляционное поле, а соединённые отрезками точки по данным таблицы параллельных рядов (табл.8) будем иметь ломанную регрессию (рис.1)

Рис.1- Зависимость суммы ВВП от затрат труда.

  Корреляционное поле показывает, что связь между затратами труда и суммой ВВП проявилась не сильная, в среднем.

  Статистическая ломанная так же показывает обратную связь между затратами труда и суммой ВВП.

  Конкретнее на цифрах количественная оценка тесноты и направления связи между двумя признаками в данном случае Х1 и У нами будет рассчитываться показатель связи- коэффициент корреляции.

   Простейшим случаем определения парного коэффициента корреляции является:

  

   Можно использовать и другие формулы.

   Коэффициент корреляции принимает значение в интервале от -1 до 1, принято считать если:

|r |или |R|< 0,30 то между связь между изученными признаками является слабой.

От 0,31 до 0,70- средняя

  Выше 0,70- сильная (высокая)

  Когда |r |=1 связь считается функциональной

             |r |=0 отсутствие линейной связи, но может быть нелинейное взаимодействие.

  Данные обработки цифровой информации ручным способом для изучения связи между Х1 и У, Х2 и У нами приводится дополнительная таблица.

Таблица9- Информация для изучения связей.

  В каждом периоде ВВП отклоняется от совокупности на 79,3 млн. ден. ед.

  Затраты труда на тыс. ден. ед. ВВП в каждом районе отклоняются от совокупности на 0,44 чел.-час.

  По силе связь проявилась средняя, т. к. |r | больше > 0,30.

  Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

%

знак – у коэффициента корреляции характеризует отрицательную (обратную) связь, т.е. с увеличением затрат труда ВВП снижается. 

  Аналитическое выражение связи, исходя из параллельных рядов, корреляционных полей будет характеризоваться уравнением прямой.

 

    

 коэффициент регрессии , который характеризует насколько изменяется уровень  ВВП, если увеличить фактор, Х1- затраты труда на тыс. ден. ед.

 условное начало, которое характеризует влияние  других факторов при Х1=0

  Приводится система уравнений:

åy = na0 + a1åx1

åyх1 = a0åx1 + a1åx12

=166,82-33,2

=-33,2 показывает  каждую затрату труда на тыс. ден. ед. при прочих равных условиях снижает ВВП по 12 районам на -33,2 млн. ден. ед. При =0 ВВП составляет =166,82 млн. ден. ед. за счёт других факторов.

  В дальнейшем прогнозирование делается на основании этого уравнения.

Для прогнозирования необходимо найденный коэффициент проверить на адекватность. Аналогично в такой же последовательности рассматривается связь между объёмом затрат труда и ВВП.

     

Численность работников в каждом районе отклоняется от совокупности на

56,7 тыс. чел.

 

Связь между численностью работников и ВВП проявляется по направлению- прямая (с увеличением численности работников ВВП повышается и по силе слабая , т.е. ВВП зависит от численности работниковна 77,44%.

Аналитическое выравнивание связи изучается параллельными рядами, корреляционными полями и решением соответствующего уравнения.

Таблица10- Параллельные ряды.

Х2, тыс. чел.	56	72	86	90	98	110	125	135	162	180	214	250
У, млн. ден. ед.	33	45	85	67	86	80	103	115	95	150	155	350

 

  Если не учитывать отдельные случаи, с увеличением численности работников ВВП повышается. Связь проявляется прямая и прямолинейная.

  Строится корреляционное поле.

Рис.3- Зависимость суммы ВВП от численности работников.

  Если не учитывать резкое колебание, то можно сказать, что в среднем зависимость проявляется прямолинейная и прямая.

=

åy = na0 + a2åx2

åyх2 = a0åx2 + a2åx22

-46,73+1,22

  Проверка адекватности регрессионной модели .

Вычисляются расчетные (фактические значения) t-критерия:

• Для параметра :

 

• Для параметра :

Где n- объём выборки.

  или

0,05   n-2

  Параметр признаётся значимым (адекватным) при условии если t-расчетное t-табличного.

  Для проверки значимости коэффициента регрессии исследуется уравнением:

166,82-33,2

  Исчисляется t-критерий Стьюдента при 12-2=10

  Составляется дополнительная таблица.

Таблица11- Расчетные значения для исчисления остаточной

∑(у-= 66904,5

0,44

  По таблице распределения Стьюдента для 10 и 0,05 на пересечении 10 и 0,05 t-табличное= 2,23

(-0,0073, то параметр считается не значительным. Для проверки значимости коэффициента регрессии при следующем уравнении:

=-46,73+1,22

 значимость.

10

 

Таблица13- Расчётные значения для исчисления остаточной.

∑(у-= 16710,67

56,86

 

0,16

Так как Параметры при этом факторе признаётся незначимым, следовательно, фактор так же не значимый.

После проверки адекватности установление точности и надёжности построенного уровня регрессии его надо проанализировать.

Для удобства параметра используют коэффициент эластичности.  Он показывает среднее изменения результативного признака при изменении факторного признака на 1% и вычисляется по формуле (в %):

  Следовательно, с увеличением затрат труда и с уменьшением численности работников в расчёте на 1% следует ожидать ВВП на- -0,66 и повышение ВВП на 1,92%, соответственно.

  Если данная совокупность и условия работы типичны коэффициенту регрессии могут быть использованы для нормирования и планирования ВВП.

  Так же показатели тесноты связи исчислены по данным статистической совокупности могут исключаться действием случайных причин, поэтому необходимо проверить существенный коэффициент корреляции.

  Для оценки значимости коэффициента корреляции так же используют t-критерий Стьюдента, который применяется при t-распределении, отличное от нормального.

  При линейной однофакторной связи t-критерий рассчитывается по формуле:

 r* , где

n-2- число степеней свободы, при заданном уровне значимости.

 сравнивается  с 

  

 

 

При n-2=10 и , на пересечении

Следовательно коэффициент - значимый.

                                                  значимый.

   Многофакторный корреляционный и регрессионный анализ позволяет оценить меру влияния на исследуемый результативный признак каждого из включаемых в модель факторов. Важным является отсутствие фактора функциональной связи. Это называется мультиколлениарностью.

0,8

  Математическая задача формируется следующим образом:

  Требуется найти аналитическое выражение независимых признаков с результатами, т.е.:

f(

  После выбора типа функции приступаем к многофакторному корреляционному и регрессионному анализу.

   В нашем случае для расчёта параметров уравнения множественной связи рассматривается простейшая линейная двухфакторная регрессия.

 

- расчётные значения.

- факторные признаки

 параметры уравнения.

коэффициент регрессии.

условное начало, т.е. то, чему равно у при =0

=-6808,7+4816,08+1,4- уравнение множественной регрессии.

=-6808,7 – характеризует уровень ВВП при =0 и =0, т.е. сформированная под влиянием всех других факторов.

=4816,08 показывает  увеличение ВВП на 4816,08 млн. ден. ед., при прочих равных условиях.

 =104 говорит о том, что каждая тыс. чел. при прочих равных условиях повышает ВВП на 1,4 млн. ден. ед.

  После построения регрессионной модели, исчисляются характеристики тесноты связи (множественный коэффициент корреляции и детерминации), а затем проверяется адекватность данной модели.

  В случае линейной, двухфакторной связи, совокупность коэффициента множественной связи определяется по формуле:

 

0,35< 0,80

Мультиколлениарность (межфакторной сильной связи) не наблюдается.

= 0,89

()= 79%

  При совместном влиянии численности работников и затрат труда отклонение ВВП в каждом районе от средней по совокупности зависит на 79% (связь сильная). Значит рассмотренные факторы влияют на ВВП существенно. Оценка адекватности (значимости) по множественному коэффициенту корреляции не проводится, оценка адекватности проводится по множественным уравнениям регрессии с помощью дисперсионного F- критерия Фишера:

  , где m – число параметров в уравнении регрессии.

  Табличное значение F- критерия при 0,05 и

Составляет 4,67-  

  Поскольку т.е. 18,14,67 уравнение множественной регрессии выглядит так:

(min)=0,8 чел.-час.

(max)=250 тыс. руб.

-6808,7+4816,08*0,8+1,4*250=-6808,7+3852,86+350= -2605,84 млн. ден. ед.