Расчет установившихся и переходных процессов в линейных электрических цепях

; В.

Делим на сопротивления параллельных ветвей и находим все токи:

 А;

- мгновенное значение тока . 

A;

- мгновенное значение тока .

По первому  закону Кирхгофа для узла «a»:

 А; A.

Таким образом, первый закон Кирхгофа выполняется.

3) Баланс  мощностей.

Комплексная мощность

,

где , - соответственно действительная и мнимая части произведения комплекса приложенного к цепи напряжения на сопряженный комплекс входного тока

 A; A;

Активная  и реактивная мощности, доставляемые источником в цепь, соответственно равны:

;

 В.А.

Откуда

 В.А.;   В;  вар.

Найдем активную и реактивную мощности, потребленные приемниками (сопротивлениями) заданной цепи:

  ;  

 В;

;

 вар.

Расхождение составляет:

 

  %.

4) Построение  топографической векторной диаграммы.

Для контура 1 (см. рис. 2.2):  ;

Для контура  2 (см. рис. 2.2):  ;

Для выбора масштаба рассчитаем падения напряжения на всех элементах схемы:

; B;

; B;

; B;

; B;

; B;

; B;

; B.

 

 

 

 

Рис. 2.5 –  Векторная диаграмма 

 

3. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

 

Задание:

 

Дано:E=100B; L=1мГн; C=10мкФ;

 

Определить i₃ классическим и операторным методами.

 

3.1 Расчет переходного  процесса классическим методом

Рассчитываем цепь до замыкания ключа и определяем ток через индуктивность и напряжение на емкости

. Так как E = const, то

 и 

Для любого узла схемы по первому  закону Кирхгофа имеем:

 

Следовательно,

По второму закону Кирхгофа:

 

Отсюда

Напряжение на емкости определяется из уравнения, составленного по второму  закону Кирхгофа для второго контура:

 ,

На основании законов коммутации определяем независимые начальные  значения:

После коммутации (ключ замыкается) определяем токи и напряжения для нового энергетического  состояния цепи в установившемся режиме.

Напряжение  на индуктивности U_{L пр} = 0 и ток через емкость

.

Тогда

,

Все найденные значения принужденных токов и напряжений заносим в  таблицу.

Характеристические уравнение  получим, используя метод аналогии его с

входным сопротивлением цепи на переменном токе. Для этого разрываем любую  ветвь и относительно разрыва  записываем входное сопротивление. Разорвем ветвь с сопротивлениями, тогда входное сопротивление  будет записано для цепи, указанной  на рисунке (источник закорачиваем, так как его внутреннее сопротивление равно нулю).

 

Из данного выражения получаем, заменив 

и приравняв , уравнение:

.

Для упрощения преобразований подставим  значения только сопротивлений

.

После преобразований получаем характеристическое уравнение:

.

В выражение (3.36) подставим 

Гн и Ф и получим квадратное уравнение:

.

Корни которого равны:

 и  .

Ввиду того, что корни характеристического  уравнения действительные, отрицательные, неравные, то свободная составляющая тока (напряжения) будет иметь вид:

,

а полный ток (напряжение):

.

Так как уравнение  содержит две  постоянные интегрирования, для их нахождения необходимо второе уравнение, которое получают из уравнения путем  дифференцирования по переменной t:

.

Постоянные  интегрирования А₁ и А₂ находятся из начальных значений, для этого в уравнения и необходимо подставить момент времени t = 0. После подстановки получим систему:

Следовательно, для определения  постоянных интегрировования из уравнения требуется найти значения токов (напряжений):

, , , .

Для их нахождения составим систему  уравнений по законам Кирхгофа:

 

Система уравнений содержит 5 неизвестных 

, поэтому дополним эту систему еще двумя равенствами:

,

Систему уравнения запишем для  момента времени t = 0 и подставим независимые начальные значения и значения сопротивлений. Получим

Из решения системы уравнений  получаем

.

Определяем  значения производных токов и  напряжений в момент коммутации. Так  как законы Кирхгофа справедливы  и для производных, следовательно при t = 0 можно определить производную первого тока:

Продифференцируем по переменной t равенство (3.42), получим:

 

Для определения остальных производных  продифференцируем систему и  запишем ее при

.

 

С учетом найденных  производных  и из системы находим:

Полученные  результаты заносим в таблицу

	i1	i2	i3	uC	uL
Принужденная составляющая	0	0	0	0	0
Значение в момент  t =0+	0	0	0	0	100 B
Значение производной в  момент t= 0+	A/c	A/с	0	0	0

 

 

С учетом найденных производных 

и из системы находим:

, , .

Т.к. принужденные токи и напряжения не зависят от времени производные  принужденных значений равны нулю.

Определяем из системы постоянные интегрирования А₁ и А₂ для каждого тока и напряжения, подставляя полученные нами данные в систему.

,

,

откуда 

, .

Записываем закон изменения  тока

:

 А.

Длительность переходного процесса характеризуется постоянной времени  и определяется, как обратная величина корня характеристического уравнения  по модулю, т.е.

с. Так как свободная составляющая тока равна сумме двух экспонент:

 и  ,

то каждая из составляющих тока будет  иметь свою постоянную времени, причем , следовательно, и поэтому длительность переходного процесса будет определяться постоянной времени . Переходный процесс считается практически установившимся через интервал времени 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Расчет переходных процессов  операторным методом

Для расчета операторным методом  воспользуемся  независимыми начальными значениями, которые в данном примере были уже определены при рассмотрении классического метода расчета переходного процесса и равны соответственно:

Для послекоммутационного режима и ненулевых начальных значений составляем операторную схему. Так как схема содержит  два узла, А и В, то расчет цепи проведем методом двух узлов.

По методу двух узлов определяем изображение напряжения

:

.

 

С целью упрощения преобразований в последнее выражение подставим  все числовые значения, за исключением L и C , а также приведем к общему знаменателю выражения, стоящие в числителе и знаменателе дроби, тогда  получим:

.

Изображение тока

будет равно:

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После подстановки значений L и С получим:

.

Перейдем от изображения тока I₁(p) к оригиналу тока

, используя формулу разложения.

Приравниваем 

к нулю и определяем корни полученного уравнения.

, откуда

р₁ = 0, р₂ = -5000с ^–1, р₃ = -20000с ^–1.

Находим производную 

, предварительно преобразовав его в алгебраическую сумму

.

Подставляя в формулу производной  каждый корень, получим:

Числитель равен соответственно выражению:

.

После подстановки полученных выше значений получим: