Основные виды простого нагружения

 

 

 

 

 

 

 

4. Формула Эйлера для определения критической силы.

 

 

   Для нахождения критических напряжений   надо вычислить критическую силу  , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.

Эту задачу впервые решил  академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.   

Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных  отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует  определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.   

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый  по концам; одна из опор допускает возможность  продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.10). Собственным весом стержня пренебрегаем.

 

 
 
Рис.10. Расчетная схема в «задаче Эйлера» 

 

 

   Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами   и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как  .   

Деформация изгиба стержня  предположена весьма малой, поэтому  для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой  оси стержня. Выбрав начало координат  в точке А и направление координатных осей, как показано на рис.10, имеем:

(1)

 

   Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у, а изгибающий момент равен

   

По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении  оси у оказываются положительными. (Если бы стержень искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у — отрицательным и  .)

Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:

деля обе части уравнения  на EJ и обозначая дробь   через   приводим его к виду:

Общий интеграл этого уравнения  имеет вид:

Это решение заключает  в себе три неизвестных: постоянные интегрирования а и b и значение  , так как величина критической силы нам неизвестна.

Краевые условия на концах стержня дают два уравнения:

в точке А при х = 0 прогиб у = 0,

В х = 1 у = 0.

Из первого условия  следует (так как   и cos kx =1)

0 = b.

Таким образом, изогнутая  ось является синусоидой с уравнением

(2)

Применяя второе условие, подставляем в это уравнение

у = 0 и х = l

получаем:

Отсюда следует, что или а или kl равны нулю.    

Если а равно нулю, то из уравнения (2) следует, что прогиб в любом сечении стержня равен нулю, т. е. стержень остался прямым. Это противоречит исходным предпосылкам нашего вывода. Следовательно, sin kl = 0, и величина   может иметь следующий бесконечный ряд значений:

где   — любое целое число.

Отсюда  , а так как   то

 и     

Иначе говоря, нагрузка, способная  удержать слегка искривленный стержень в равновесии, теоретически может  иметь целый ряд значений. Но так  как отыскивается, и интересно  с практической точки зрения, наименьшее значение осевой сжимающей силы, при  которой становится возможным продольный изгиб, то следует принять  .   

Первый корень  =0 требует, чтобы   было равно нулю, что не отвечает исходным данным задачи; поэтому этот корень должен быть отброшен и наименьшим корнем принимается значение  . Тогда получаем выражение для критической силы:

(3)

(Здесь J—минимальный момент инерции поперечного сечения стержня.) Это — так называемая формула Эйлера для сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами. Значению критической силы (3) соответствует изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной [формула (2)]