Основные виды простого нагружения

Содержание.

 

1.  Основные виды простого нагружения	2
2. Совместные действия изгиба и кручения	5
3. Устойчивость сжатых стержней	9
4. Формула Эйлера для определения  критической силы	14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Основные виды простого нагружения.

 

Под простым сопротивлением бруса деформированию понимают такие нагружения, при которых в поперечных сечениях элементов конструкций возникает один силовой фактор (растяжение или сжатие, сдвиг, кручение, изгиб).

Исключением является поперечный изгиб.

Осевым (центральным) растяжением  или сжатием называют такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила, обозначаемая N.

На растяжение работают тросы, линии высоковольтных передач, винты и болты. Сжатие возникает в колоннах, поддерживающих перекрытия, в фабричной трубе, в кирпичной кладке от собственного веса. Например, растяжение возникает в тросе ВС подъемника (рис. 1). рисрис 1.

 Элементы фермы (жесткой конструкции из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами) могут быть растянутыми и сжатыми.

Сдвиг – это такой случай нагружения, при котором в поперечном сечении возникает только поперечная сила Q.

 

Однородный чистый сдвиг можно получить нагружением пластины, захваченной в жесткие контурные шарнирно соединенные накладки (рис. 2, а)

Рис. 2

Кручение– вид деформации бруса, при котором поперечных сечениях

Возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент,

Обозначаемый M_Z или M_K

Кручению подвергаются валы двигателей, станков и машин, оси моторных вагонов и локомотивов, элементы пространственных конструкций.

Изгиб– вид деформирования бруса, при котором в поперечном сечении возникает изгибающий момент.

Чистый изгиб имеет место, если в сечении возникает только изгибающий момент (рис. 3, а), поперечный изгиб если одновременно с моментом возникает поперечная сила (рис. 3, б)

Рис. 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Совместное действие изгиба и кручения

 
Исследуем этот вид деформации стержня  на примере расчета вала кругового (кольцевого) поперечного сечения  на совместное действие изгиба и кручения (рис. 4).

 
 
Рис.4. Расчетная схема изогнутого и скрученного вала 

 

Примем следующий  порядок расчета.

1. Разлагаем все внешние  силы на составляющие

P_1x, P_2x,..., P_nx и P_1y, P_2y,..., P_ny.

2. Строим эпюры изгибающих моментов My и My. от этих групп сил.   

У кругового и кольцевого поперечного сечений все центральные  оси главные, поэтому косого изгиба у вала вообще не может быть, следовательно, нет смысла в каждом сечении иметь  два изгибающих момента M_x, и M_y а целесообразно их заменить результирующим (суммарным) изгибающим моментом (рис. 5)

,

который вызывает прямой изгиб  в плоскости его действия относительно нейтральной оси п—п, перпендикулярной вектору М_изг. Эпюра суммарного момента имеет пространственное очертание и поэтому неудобна для построения и анализа. Поскольку все направления у круга с точки зрения прочности равноценны, то обычно эпюру М_ИЗГ спрямляют, помещая все ординаты в одну (например, вертикальную) плоскость. Обратим внимание на то, что центральный участок этой эпюры является нелинейным.

 
 
Рис.5. Формирование результирующего изгибающего момента  

 

          3. Строится эпюра крутящего момента М_z.

Наибольшие напряжения изгиба возникают в точках k и k^/, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 3),

.

где W_изг — момент сопротивления при изгибе.

В этих же точках имеют место  и наибольшие касательные напряжения кручения

,

где W_р— момент сопротивления при кручении.

 
 
а) эпюры напряжений б) распределение  напряжений 
Рис.6. Напряженное состояние вала: 

 

 

   Как следует из рис. 6, напряженное  состояние является упрощенным плоским (сочетание одноосного растяжения и  чистого сдвига). Если вал выполнен из пластичного материала, оценка его  прочности должна быть произведена  по одному из критериев текучести. Например, по критерию Треска—Сен-Венана имеем

.

Учитывая, что W_р=2 W_изг, для эквивалентных напряжений получаем

,

где  —эквивалентный момент, с введением которого задача расчета вала на совместное действие изгиба и кручения, сводится к расчету на эквивалентный изгиб.

Аналогично для М_экв по.критерию Губера—Мизеса получаем

Тогда условие прочности  для вала из пластичного материала  будет иметь вид

.

Для стержня из хрупкого материала условие прочности  следует записать в виде

,

где М_экв должен быть записан применительно к одному из критериев хрупкого разрушения. Например, по критерию Мора

где  .   

Обратим внимание на особенности  расчета при сочетании изгиба, растяжения и кручения стержня прямоугольного поперечного сечения (рис. 7.) Для  выявления опасной точки здесь  должны быть сравнены напряжения косого изгиба с растяжением в точке А, с эквивалентными напряжениями в точках В и С.

 
 
Рис.7. Модель расчета напряжений при сочетании кручения, растяжения и изгиба. 

 

 

3. Устойчивость сжатых стержней.

 

 

   Во всем предыдущем изложении мы определяли поперечные размеры стержней из условий прочности. Однако разрушение стержня может произойти не только потому, что будет нарушена прочность, но и оттого, что стержень не сохранит той формы, которая ему придана конструктором; при этом изменится и характер напряженного состояния в стержне.    

Наиболее типичным примером является работа стержня, сжатого силами Р. До сих пор для проверки прочности мы имели условие

   

Это условие предполагает, что стержень все время, вплоть до разрушения работает на осевое сжатие. Уже простейший опыт показывает, что  далеко не всегда возможно разрушить  стержень путем доведения напряжений сжатия до предела текучести или  до предела прочности материала.    

Если мы подвергнем продольному  сжатию тонкую деревянную линейку, то она может сломаться, изогнувшись; перед изломом сжимающие силы, при которых произойдет разрушение линейки, будут значительно меньше тех, которые вызвали бы при простом  сжатии напряжение, равное пределу  прочности материала. Разрушение линейки  произойдет потому, что она не сможет сохранить приданную ей форму  прямолинейного, сжатого стержня, а  искривится, что вызовет появление  изгибающих моментов от сжимающих сил Р и, стало быть, добавочные напряжения от изгиба; линейка потеряет устойчивость.   

Поэтому для надежной работы конструкции мало, чтобы она была прочна; надо, чтобы все ее элементы были устойчивы: они должны при действии нагрузок деформироваться в таких пределах, чтобы характер их работы оставался неизменным. Поэтому в целом ряде случаев, в частности, для сжатых стержней, помимо проверки на прочность, необходима и проверка на устойчивость. Для осуществления этой проверки надо ближе ознакомиться с условиями, при которых устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня нарушается.

 

 
 
Рис.8. Расчетная схема 

 

 

   Возьмем достаточно длинный по сравнению  с его поперечными размерами  стержень, шарнирно-прикрепленный к опорам (Рис.8), и нагрузим его сверху центрально силой Р, постепенно возрастающей. Мы увидим, что пока сила Р сравнительно мала, стержень будет сохранять прямолинейную форму. При попытках отклонить его в сторону, например путем приложения кратковременно действующей горизонтальной силы, он будет после ряда колебаний возвращаться к первоначальной прямолинейной форме, как только будет удалена добавочная сила, вызвавшая отклонение.    

При постепенном увеличении силы Р стержень будет все медленнее возвращаться к первоначальному положению при проверках его устойчивости; наконец, можно довести силу Р до такой величины, при которой стержень, после небольшого отклонения его в сторону, уже не выпрямится, а останется искривленным. Если мы, не удаляя силы Р, выпрямим стержень, он уже, как правило, не сможет сохранить прямолинейную форму. Другими словами, при этом значении силы Р, называемом критическим  , мы будем иметь такое состояние равновесия, когда исключается вероятность сохранения стержнем заданной ему прямолинейной формы).   

Переход к критическому значению силы Р происходит внезапно; стоит нам очень немного уменьшить сжимающую силу по сравнению с ее критической величиной, как прямолинейная форма равновесия вновь делается устойчивой.   

С другой стороны, при очень  небольшом превышении сжимающей  силой Р ее критического значения прямолинейная форма стержня делается крайне неустойчивой; достаточно при этом небольшого эксцентриситета приложенной силы, неоднородности материала по сечению, чтобы стержень искривился, и не только не вернулся к прежней форме, а продолжал искривляться под действием все возрастающих при искривлении изгибающих моментов; процесс искривления заканчивается либо достижением совершенно новой (устойчивой) формы равновесия, либо разрушением.   

Исходя из этого, мы должны практически считать критическую  величину сжимающей силы   эквивалентной нагрузке, «разрушающей» сжатый стержень, выводящей его (и связанную с ним конструкцию) из условий нормальной работы. Конечно, при этом надо помнить, что «разрушение» стержня нагрузкой, превышающей критическую, может происходить при непременном условии беспрепятственного возрастания искривления стержня; поэтому если при боковом выпучивании стержень встретит боковую опору, ограничивающую его дальнейшее искривление, то разрушение может и не наступить.   

Обычно подобная возможность  является исключением; поэтому практически  следует считать критическую  сжимающую силу низшим пределом «разрушающей»  стержень силы.

 

 
 
Рис.9. Аналогия понятия устойчивости из механики твердого тела 

 

 

   Явление потери устойчивости при сжатии можно по аналогии иллюстрировать следующим  примером из механики твердого тела (рис.9). Будем вкатывать цилиндр на наклонную плоскость ab, которая потом переходит в короткую горизонтальную площадку bс и наклонную плоскость обратного направления cd. Пока мы поднимаем цилиндр по плоскости ab, поддерживая его при помощи упора, перпендикулярного к наклонной плоскости, он будет в.состоянии устойчивого равновесия; на площадке bс его равновесие делается безразличным; стоит же нам поместить цилиндр в точку с, как его равновесие сделается неустойчивым— при малейшем толчке вправо цилиндр начнет двигаться вниз.   

Описанную выше физическую картину потери устойчивости сжатым стержнем легко осуществить в  действительности в любой механической лаборатории на очень элементарной установке. Это описание не является какой-то теоретической, идеализированной схемой, а отражает поведение реального  стержня под действием сжимающих  сил.   

Потерю устойчивости прямолинейной  формы сжатого стержня иногда называют «продольным изгибом», так  как она влечет за собой значительное искривление стержня под действием  продольных сил. Для проверки на устойчивость сохранился и до сих пор термин «проверка на продольный изгиб», являющийся условным, так как здесь речь должна идти не о проверке на изгиб, а о проверке на устойчивость прямолинейной формы стержня.    

Установив понятие о критической  силе, как о «разрушающей» нагрузке, выводящей стержень из условий его  нормальной работы, мы легко можем  составить условие для проверки на устойчивость, аналогичное условию  прочности.   

Критическая сила   вызывает в сжатом стержне напряжение, называемое «критическим напряжением» и обозначаемое буквой  . Критические напряжения являются опасными напряжениями для сжатого стержня. Поэтому, чтобы обеспечить устойчивость прямолинейной формы стержня, сжатого силами Р, необходимо к условию прочности   добавить еще условие устойчивости:

где   — допускаемое напряжение на устойчивость, равное критическому, деленному на коэффициент запаса на устойчивость, т. е.  .   

Для возможности осуществить  проверку на устойчивость мы должны показать, как определять   и как выбрать коэффициент запаса  .