Идея применения релейно-контактных схем

Введение

Математическая логика с развитием  вычислительной техники оказалась в тесной взаимосвязи с вопросами конструирования и программирования вычислительной техники. Алгебра логики нашла широкое применение первоначально при разработке релейно-контактных схем. Первым фундаментальным исследованием, обратившим внимание инженеров, занимавшихся проектированием ЭВМ, на возможность анализа электрических цепей с помощью булевой алгебры была опубликована в декабре 1938 года статья американца Клода Шеннона «Символический анализ релейно-контактных схем». После этой статьи проектирование ЭВМ не обходилось без применения булевой алгебры.

Первая  электронно-вычислительная машина была создана в 1946 г. в США. Для записи и обработки в ЭВМ числовой и символьной информации удобным с технической точки зрения оказался язык двоичных чисел — нулей и единиц. Поэтому естественно было ожидать, что методы математической науки, исследовавшей двузначные функции, рано или поздно найдут применение в процессе создания такой техники. Впервые предположение о возможности применения алгебры логики в технике было высказано в 1910 г. известным физиком П.Эренфестом (1880—1933). Булевы Функции стали математическим аппаратом для исследования релейно-контактных схем (эта связь окончательно была осознана в 1930-х гг.), а сами схемы к середине XX века нашли многочисленные применения в автоматической технике — в телефонии, железнодорожной сигнализации, централизации и блокировке, релейной защите, телемеханике и, наконец, — при проектировании быстродействующих ЭВМ.

Наиболее  используемыми простыми релейно-контактными  схемами в ЭВМ являются двоичные полусумматоры, одноразрядные двоичные сумматоры, шифраторы, дешифраторы, преобразователи  кодов. В данной работе будут подробно рассмотрены два вида релейно-контактных схем – шифраторы (кодеры) и дешифраторы (декодеры).

 

 

 

 

Идея применения релейно-контактных схем

Под релейно-контактной схемой понимается устройство из проводников и двухпозиционных контактов. Оно может быть предназначено, например, для соединения (или разъединения) полюсов источника тока с некоторым потребителем. Контакты релейно-контактной схемы могут быть двух типов: замыкающие и размыкающие. Каждый контакт подключен к некоторому реле (переключателю). К одному реле может быть подключено несколько контактов — как замыкающих, так и размыкающих. Технически реле представляет собой катушку с металлическим сердечником (магнитопроводом), вблизи которого находится соответствующий контакт.

Когда через  катушку пропускается электрический  ток, металлический сердечник намагничивается и замыкает все находящиеся при нем замыкающие контакты. Одновременно все размыкающие контакты, относящиеся к данному реле, размыкаются. Поскольку замыкающие контакты при отсутствии в реле электрического тока разомкнуты, то они называются также нормально разомкнутыми. Аналогично, размыкающие контакты называются также нормально замкнутыми. При обесточивании обмоток реле (т.е. когда реле отключается) все замыкающие контакты снова размыкаются, а все размыкающие, замыкаются.

Каждому реле ставится в соответствие своя булева переменная х₁ или х₂, ..., или х_n , которая принимает значение 1, когда реле срабатывает, и принимает значение 0 при отключении реле. На чертеже все замыкающие контакты, подключенные к реле х, обозначаются тем же символом х, а все размыкающие контакты, подключенные к этому реле, обозначаются отрицанием х'. Это означает, что при срабатывании реле х все его замыкающие контакты х проводят ток и им сопоставляется значение 1, а все размыкающие контакты х' не проводят электрический ток и им сопоставляется значение 0. При отключенном реле х создается противоположная ситуация: все его замыкающие контакты х разомкнуты, т. е. в этот момент им сопоставляется (переменная х принимает) значение 0, а все его размыкающие контакты х' замкнуты, т.е. в этот момент им сопоставляется (другими словами, переменная х' принимает) значение 1.

Всей релейно-контактной схеме тогда ставится в соответствие булева переменная у, зависящая от булевых переменных х₁, х₂, ..., x_n , сопоставленным тем реле, которые участвуют в схеме. Если при данном наборе состояний реле х₁, х₂, ..., x_n (некоторые из этих реле находятся в рабочем состоянии под током, остальные отключены, т.е. «обесточены») вся релейно-контактная схема проводит электрический ток, то переменной у ставится в соответствие (другими словами, переменная у принимает) значение 1. Если же при этом наборе состояний реле х₁, х₂, ..., x_n схема не проводит электрический ток, то считаем, что переменная у принимает значение 0. Поскольку каждый набор состояний реле х₁, х₂, ..., x_n характеризуется набором, составленным из нулей и единиц и имеющим длину п, то данная релейно-контактная схема определяет некоторое правило, по которому каждому такому набору длины п, составленному из нулей и единиц, сопоставляется либо 0, либо 1. Таким образом, каждая релейно-контактная схема, в которой занято п независимых реле (контактов в ней может быть п или больше), определяет некоторую булеву функцию у от п аргументов. Она принимает значение 1 на тех и только тех наборах значений аргументов х₁, х₂, ..., x_n , которые соответствуют тем состояниям реле х₁, х₂, ..., x_n , при которых данная схема проводит электрический ток. Такая булева функция у = f(х₁, х₂, ..., x_n) называется функцией проводимости данной релейно-контактной схемы.

Таким образом, теория булевых функций предоставляет  математические модели реальных физических релейно-контактных схем.

 

Шифраторы

Человек привык оперировать  с числами в десятичной системе  счисления. Для ЭВМ более удобна двоичная система. Поэтому важную роль в ЭВМ играют устройства, обеспечивающие взаимопонимание человека и машины, т.е. устройства, переводящие информацию с языка человека на язык машины и обратно. Такими устройствами являются, например, шифраторы, осуществляющие перевод  чисел из десятичной системы в  двоичную, и дешифраторы, осуществляющие обратный перевод. Рассмотрим, как конструируется шифратор. Имеется следующее соответствие между десятичной и двоичной записями:

Таблица (1.1)

Десятичная запись	Двоичная запись	Десятичная запись	Двоичная запись
0	0000	5	0101
1	0001	6	0110
2	0010	7	0111
3	0011	8	1000
4	0100	9	1001

Каждую колонку из нулей  и единиц в правом столбце таблицы  можно рассматривать как колонку значений одной из булевых функций: .

В самом деле, можем считать, что каждая из этих функций зависит  от десяти аргументов

 

Причем зависимость следующая (она обусловлена таблицей (1.1)):

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1
0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	1
0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1	1	0
0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	1	1
0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	1

 

Каждая из функций f₁, f₂, f₄ и f₈  зависит от десяти аргументов. Поэтому таблица их значений должна содержать строк. Отсутствие остальных строк в приведенной таблице означает, что на указанных десяти наборах значений аргументов

 

функции должны принимать  указанные значения, а на остальных  наборах их значения могут быть какими угодно. Это, в свою очередь, означает, что в качестве каждой из функций f₁, f₂, f₄ ,f₈  можно взять довольно много (но все же конечное число) функций.

Используя СДН-форму, найдем выражения для функций f₁, f₂, f₄ ,f₈  (считая, что на всех не указанных наборах значений ее аргументов она принимает значение 0):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее рассмотрим шифраторы  шифраторы построенные на элементах ИЛИ-НЕ и И-НЕ.

Учитывая, что выражения  для функций найдены перейдем к более простой записи выражений, несущей отображение когда на соответствующую функцию приходит значение 1, тогда ранее выведенные формулы будут выглядеть так:

f₁ =x₁˅x₃˅x₅˅x₇˅x₉,                         f₄ =x₄˅x₅˅x₆˅x₇,

f₂ =x₂˅x₃˅x₆˅x₇ ,                            f₈ =x₈˅x₉.

Этой системе логических выражений соответствует следующая схема шифратора:

 

рис.1

Шифратор построенный  на элементах ИЛИ-НЕ, будет соответствовать  системе:

 

 

 

 , где ↓ - отрицание дизъюнкции (стрелка Пирса)

Шифратор имеет инверсные  выходы и соответствует схеме:

рис.2

 

Шифратору на элементах  И-НЕ соответствует система и схема:

 

 

 

 где ⃓-отрицание конъюнкции (штрих Штеффера)

рис.3

В этом случае предусмотрена  подача на входы инверсных значений, т.е. для получения на выходе двоичного  представления некоторой десятичной цифры необходимо на соответствующий вход подать 0,                                    на остальные входы -1.

Изложенным способом могут  быть построены шифраторы, выполняющие преобразование десятичных чисел в двоичное представление с использованием любого двоичного кода.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дешифраторы

Для обратного преобразования двоичных чисел в небольшие по значению десятичные числа используются дешифраторы (называемые так же декодерами). Входы дешифратора предназначаются для подачи двоичных чисел, выходы последовательно нумеруются десятичными числами. При подаче на входы двоичного числа появляется сигнал на определенном выходе, номер которого соответствует входному числу.

Дешифраторы имеют широкое применение. В частности, они используются в устройствах, печатающих на бумаге выводимые из цифрового устройства числа или текст. В таких устройствах двоичное число, поступая на вход дешифратора, вызывает появление сигнала на определенном его выходе. С помощью этого сигнала производится печать символа, соответствующего входному двоичному числу.

На  рис. 4 приведено символическое изображение дешифратора. Символ DC образован из букв английского слова Decoder. Слева показаны входы, на которых отмечены весовые коэффициенты двоичного кода, справа — выходы, пронумерованные десятичными числами, соответствующие отдельным комбинациям входного двоичного кода. На каждом выходе образуется уровень 1 при строго определенной комбинации входного кода.

рис.4

Дешифратор  может иметь парафазные входы  для подачи наряду с входными переменными  их инверсий, как показано на рис. 5.

рис.5

По способу построения различают линейные и прямоугольные дешифраторы.

Линейный дешифратор определяется следующими значениями выходных переменных:

,                    ,

,                    ,

,                      ,

,                    ,

,                    (1.2)

 

,                    ,

,                    ,

,                      ,

,                    ,

,                    (1.3)

В линейном дешифраторе  выходные переменные формируются по (1.2) либо (1.3). При выполнении дешифратора на элементах И-НЕ пользуются (1.3), получая инверсии выходных функций. В этом случае каждой комбинации входного кода будет соответствовать 0 на строго определенном выходе, на остальных выходах устанавливается 1.

Рассмотрим  схему дешифратора, исполненного на элементах И-НЕ:

рис.6

Структура имеет особенности, характерные для дешифраторов в  интегральном исполнении:

для уменьшения числа входов формирование инверсий входных переменных осуществляется в самом дешифраторе;

подключенные непосредственно  к входам дополнительные инверторы уменьшают нагрузку со стороны дешифратора на его входные цепи.

Рассмотрим  принцип построения прямоугольного дешифратора на примере дешифратора с 4 входами и 16 выходами. Разобьем входные переменные f₈,f₄,f₂,f₁ на две группы по две переменные в каждой: f₈,f₄ и f₂,f₁.

Каждую  пару переменных используем в качестве входных переменных отдельного линейного  дешифратора на 4 выхода. Выходные переменные линейных дешифраторов определяются следующим  образом:

,                          ,

,                          ,

,                        ,

,                        

Эти дешифраторы выполняют функции  первой ступени дешифратора.