Периодтық емес сигналды спектральдық талдау

 

мұндағы тарату коэффициентінің  модулі келесі формула бойынша анықталады

 

                                                                       (1.3.8)                                                                                          

 

тарарту коэффициентінің  фазасы

 

                                        (1.3.9)                                                   

 

мұндағы – тарату коэффициентінің нақты және жорамал бөліктері.

       Тарату коэффициентінің көмегімен сызықтық буынның жиіліктік және уақыттық сипаттамаларын анықтауға болады.

1.3.4 Амплитудалы-жиіліктік сипаттама (АЖС) дегеніміз шығыс дабыл амплитудасының тұрақты амлитуда мәніне ие кіріс дабылының жиілігіне тәуелділігі. АЖС (1.3.6) өрнегіне сәйкес анықталған тарату коэффициентінің комплексті шамасының модулі болып табылады.

 

                                                               (1.3.10)                                   

 

1.3.5 Фаза-жиіліктік сипаттама (ФЖС) дегеніміз шығыс дабыл фазасының тұрақты амплитудаға ие кіріс дабыл фазасына тәуелділігі. ФЖС – бұл (1.3.9) өрнегіне сәйкес анықталған тарату коэффициентінің комплексті шамасының аргументі.

Тәжірибе жүзінде АЖС  мен ФЖС анықтау кезінде  кіріс дабылы гармоникалық дабыл ретінде алынады.

1.3.6 Ауысу сипаттамасы дегеніміз кіріс дабылы бірлік функция - кернеу секірісі – ретінде берілгендегі шығыс дабылының тәуелділігі:

 

                                                                                      (1.3.11)                                               

 

1.3.7 Бірлік функцияның бейнесі . басқа, барлық жиіліктері үшін спектральді функция . Ал болғанда, , яғни дельта-функциясына тең.

Уақыттық сипаттама үшін тәуелділікті табуды шығыс дабылдың бейнесі арқылы жүзеге асыруға болады. Лаплас-карсон түрлендіруіне сәйкес, бірлік функцияның бейнесі болғандықтан, ауысу сипаттамасы – беріліс функциясының түпнұсқасы: функцияның бейнесі арқылы түпнұсқаны табу жіктеу формуласымен операциялық есептеулер жүргізу арқылы жүзеге асады. Ол үшін беріліс функциясының полюстерін, (1.3.4) өрнегіне сәйкес теңдеудің нақты және комплексті түбірлерін табу қажет.

 

                                                                                       (1.3.12)                                                   

 

Нақты коэффициенттері бар полиномның (1.3.12)                                                  нақты және комплексті түбірлерін табудың бірнеше сандық әдістері белгілі. Олардың бірі Ньютон-Рафсон әдісі. Осы тәріздес есептерді Mathcad бағдарламасының математикалық пакеті арқылы жүзеге асыруға болады.

Ауысу сипаттамасын есептеудің басқа әдісі беріліс функциясының (1.3.3) өрнегінен шығады және полиномның (1.3.12)                                                  түбірлерін алдын-ала табуды талап етпейді.

Тізбектің орнықтылық шарттарын  жүргізу барысында және болғандағы Фурье интегралының Лаплас түрлендіруімен байланысына және интеграл асты функциясының интегралдану шарттарына қайта негізделе отырып, тізбектің ауыспалы сипаттамасы үшін дәл сол объектінің (1.3.7) тарату коэффициентінің нақты бөлігі арқылы берілген келесі өрнекке қол жетуізуге болады.

 

                                                                   (1.3.13)                                              

 

1.3.8 Импульсті сипаттама дегеніміз бірлік импульс немесе бірлік функциясының (1.3.11) туындысы – дельта-функция түріндегі кіріс әсеріне объектінің үндеуі

 

                                                                                             (1.3.14)                                                    

 

Бірлік импульстің амплитудасы  , ұзақтығы , импульстің ауланы . Лапла-Карсон түрлендіруіне сәйкес бірлік импульстің бейнесі . Бірлік функция мен бірлік импульстің бейнелері қатынасымен байланысқан. Тікбұрышты импульстің спектральді функциясының талдауынан ұзақтық кезінде спектрдің ені шығады. Сондықтан бірлік импульстің спектральді функциясы барлық жиілікте , (1.3.5) өрнегін ескере отырып, жазуға мүмкіндік береді. Сонымен қоса, импульсті сипаттама Фурьенің кері түрлендіруіне сәйкес, интеграл асты функциясының интегралдану шартымен келесіге тең

 

                   (1.3.15)               

 

мұнда

 

.

 

Интегралдаушы типті тізбек үшін импульсті сипаттаманы беріліс  коэффициентінің нақты бөлігі белгілі болғанда, анықтауға мүмкіндік бар. Мұнда аталған тізбек дегеніміз полиномның, яғни көпмүшенің алымындағы дәреже бөлімінің дәрежесінен кем дегенде 1 дәрежеге артық болатын, ал амплитудалы-жиіліктік сипаттама жоғарғы жиілік аймағында нөлге дейін төмендейтін тізбек. Мұндай тізбектер үшін

 

                                                                      (1.3.16)                                                                                          

 

 (1.3.14) өрнегін ескерсек, импульсті сипаттама – бұл ауысу сипаттамасының туындысы [10,13,14].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Тапсырма

 

 

2.1-суретінде қарапайым тізбек келтірілген. Тізбек элементтерінің параметрлері мынандай: , , , , , , , , . Бұл жерде - бірлік қадамды функция ( қосылу функциясы). Бірлік импульстің графигі 2.2 суретінде келтірілген. Бірлік және импульстер реттілігінің параметрлері: , , [11].

 

2.1-сурет Талданушы тізбектің сұлбасы

 

2.2-сурет Бірлік импульстің графигі

 

 

 

 

 

 

 

2.1 Периодтық емес әсер еткенде тізбекте жүргізілетін спектральдық талдау

Таралу функциясының Амплитуда-фаза-жиіліктік(АФЖС), амплитуда-жиіліктік(АЖС) және фаза-жиіліктік(ФЖС) сипаттамаларын анықтау.   

        Амплитудалы-жиіліктік сипаттама – ол комплекстік түрде берілген, тізбектің таратушы, шығыс немесе кіріс функциясының солардың жиілік модулінен тәуелділігі. Амплитудалы-жиіліктік сипаттама (АЖС) кіріс сигналдың спектріне тізбек арқылы тигізетін бұрмалануларды зертеуге мүмкіндік беретін, кез келген тізбектің ең негізгі сипаттамаларының бірі болып табылады. Зерттелетін тізбекте жиілікті-тәуелді элементтердің (L және C) бар болуы кіріс сигналдың спектр құраушыларының әрқалай өзгеруіне алып келеді.

Тізбектің АЖС алудың ең қарапайым тәсілі – бұл  үшін p операторлық айнымалысын жорамал жиілігіне ауыстыру.

 

 

Ең алдымен спектральдық сипаттаманың нақты және жорамал  бөлігін белгілеп алайық:

 

 

 

Енді жиіліктің  комплексті функциясының модулін табамыз:

 

 

Берілген мәндер бойынша құрастырылған АЖС 2.1.1-суретте көрсетілген түрге келеді.

 

2.1.1-сурет Зерттелетін тізбектің АЖС-сы

 

Құрастырылған сипаттама  бойынша өткізу жолағы анықталуы  мүмкін.Өткізу жолағы – шектерінің арасында өшу белгілі бір мәннен төмен болып қалатын жиілік жолағы. Яғни осы жолақ үшін тарату коэффициенті оның максимал мағынасынан тен аспайтын шамаға ерекшеленеді. Бұл сигнал деңгейінің 3 дБ-ға кемуіне сәйкес келеді. Қарастырылып отырған тізбек үшін таралу функциясының максимал мәні жиілікте жетеді және құрайды. Өткізу жолағының шекарасына таралу функциясының мәні сәйкес келеді. Бұл мән жиілікте жетеді. Қорыта келгенде өткізу жолағы тең болады: .

Фаза-жиіліктік сипаттама – ол комплекстік түрде берілген, тізбектің таратушы, шығыс немесе кіріс функциясының солардың жиілік аргументінен тәуелділігі. Олай болса, берілген тізбек үшін ФЖС мынадай түрге келеді :

 

.

 

Берілген мағына бойынша  құрастырылған АЖС 2.1.2-суретте көрсетілген түрге келеді.

 

2.1.2-сурет Зерттелетін тізбектің ФЖС-сы

 

Тізбектің амплитудалық-фаза-жиіліктік сипаттамасы (годограф) тарату коэффициентінің өзгеруін (біздің жағдайымызда, тогы боынша) және шығыс пен кіріс тоқтар арасындағы фаза ауытқуын біріктіріп байланыстырады. Годограф АЖС пен ФЖС-те бар мәліметтерді қамтиды. Годограф параметрі жиілігі болып келетін параметрлі қисық болып келеді. Годографтың қандай да бір нүктесіне еоординат басынан жүргізілген вектор ұзындығы осы жиілікте таралу функциясының абсолютті мәніне, ал оның арасындағы бұрыш пен заттық осьтің тура бағыты – таралу функциясының аргументіне сәйкес келеді.  

 

 

2.1.3-суретінде қарастырылып отырған тізбек үшін годограф келтірілген. Нөлдік жиілікке (тұрақты тоққа) заттық осьтағы 0.136 координатасы бар нүкте сәйкес келеді, өте үлкен (шексіздік шамасында) жиілікке заттық осьтағы координатасы бар нүкте сәйкес келеді. Бұл жиіліктік шекараларда фазалық ауытқуға реактивті элементтердің әсері жоқ [12].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.1-сурет Талданатын тізбектің годографы

 

2.2 Кіріс сигналдың амплитудалық және фазалық спектрін анықтау

Кіріс сигналдың  спектралды сипаттамасын табу үшін Фурьенің тура түрленуін қолдануға болады. Осы тапсырманы шешудің екінші жолы Лаплас және Фурье түрленуінің арасындағы аналогияға негізделген және кіріс сигналдың операторлық бейнесіндегі p операторлық айнымалысын жорамал жиілігіне ауыстыруынан тұрады. Нәтижесінде қарапайым түрлендірулерден кейін аламыз:

     

        

Кіріс сигналдың амплитудалық спектрі сигналдың спектральді  сипаттамасының модулі ретінде табылуы  мүмкін (ол үшін Эйлер түрлендіруін қолданайық):

Кіріс сигналдың амплитудалық-жиіліктік  спектрі 2.2.1-суретте көрсетілген.

2.2.1-сурет Кіріс сигналдың амплитудалық спектрі (АЖС)

 

Спектральді сипаттама  кезінде максималды мәнге жетеді және тең болады. деңгейі бойынша анықталған сигнал спектрінің ені құрайды. Сигнал спектрінің ені мен оның ұзақтығы арасында келесі ара қатынас бар: . Сигналдың берілген түрі үшін аламыз: . Бұл константа сигналдың базасы деп аталады. Импульс ұзақтығының 10 есе азаюы тура сондай (10 есе) оның спектр енінің ұлғаюына алып келеді. Қысқа импульстарда қалың спектрлердің бар болуы сондай импульстарды түрлі тізбектердің жиіліктік қасиеттерін зерттеу үшін пайдалануға мүмкіндік береді. Математикалық мағынада синусоидальді емес сигналдың спектрі шектелмеген.

Рейли теоремасының қолданылуы сигнал энергиясының негізгі бөлігі сәйкес келетін, сигнал спектрін жиілік жолағымен шектеуге мүмкіндік береді. 1 Ом кедергідегі тоқтың импульс әрекетін қарастырып, кедергімен тұтынылатын және энергиясын табайық. Бұл энергиялар жоғарыда табылған спектр ені үшін кіріс сигналдың кіріс сигналдың спектрінен  Рейли теоремасының негізінде анықталған. 

 

 

 

Сонымен біз, спектр ені  және бойынша анықталған сигнал спектрін шектеу арқылы толық энергиясынан болатындығын ескереміз. Бұл ақпарат маңызды болуы мүмкін, мысалы өткізу жолағын таңдау үшін.

Кіріс сигналдың фазалық  спектрі спектральдық сипаттаманың кірісіндегі аргумент ретінде анықталады:

 

.

 

Фазалық спектрдің түйініндегі p бұрышына шабулар косинус таңбасының өзгеруімен байланысты. Бұрмаланбайтын тізбектің амплитудалық сипаттамасы тұрақты, ал фазалық сипаттамасы шексіз жиіліктер жолағында болуы тиіс. Сонымен қоса фазалық сипаттаманың көлбеу бұрышының тангенсі сигалдың кешігу уақытына тең болып шығады.Реалды тарататын жүйелердің жиіліктік сипаттамалары идеалды жүйелерден үнемі ерекшеленеді: амплитудалық сипаттама үнемі тұрақтыдан , ал фазалық – сызықтыдан ауытқиды. Бұрмаланулардың бағалауын тізбектің АЖС және ФЖС графиктерімен фазалық және амплитудалық спектрлердің графиктерін салыстыру арқылы жүзеге асырады. Оларды салыстырып, шығыста сигналдың шамалы бұрмалануын көруге болады. Резистивтік тізбек үшін шығыс сигнал кіріс сигналға ұқсас және тура сондай ұзақтыққа ие болар еді.Жиілікті-тәуелді элементтерді қамтитын тізбектің берілген жағдайында маңызды өзгерістер кіріс сигналдың фазалық спектрі үшін де орын алуы мүмкін. Бұл сигнал құраушыларының арасындағы фазалық қатынастардың бұзылуына және шығыс сигнал пішінінің бұрмалануына себеп болады [15,16].

Төмендегі 2.2.2-суретте кіріс сигналдың  фазалық спектрі бейнеленген.

 

 

2.2.2-сурет Кіріс сигналдың фазалық спектрі (ФЖС)

2.3 Шығыс сигналдың амплитудалық  және фазалық спектрін анықтау

 

 

Шығыс сигналдың амплитудалық-жиіліктік сипаттамасы кіріс сигналдың амплитудалық-жиіліктік сипаттамаларының ұлғаюы арқылы алынуы мүмкін.

 

 және тізбектің : .

 

 сәйкес сипаттамасымен  АЖС теңдеуі шығыс сигналдың пішінінің маңызды бұрмалануын болжауға мүмкіндік береді. Бұрмаланулар кіріс сигналдың түрлі спектр құраушылары үшін таралу функциясының өлшемінің  айырымымен байланысты. Резистивті тізбек үшін шығыс сигнал кіріс сигналға ұқсас болар еді және тура сондай ұзақтыққа ие болар еді.Төмендегі 2.3.1-суретте шығыс сигналдың АЖС-ы бейнеленген.