Периодтық емес сигналды спектральдық талдау

Кіріспе

 

 

Әртүрлі техникалық мақсаттарға  арналған әрбір электротехникалық  құрылғыларда небір энергетикалық өзгерулер пайда болады. Олардың көбісінде электр энергиясы бұл құрылғының жеке бөлшектері арасына қайта бөлінеді. Электр тізбегі есебінің тәжірибелік қолданысы өте қажет. Бұл курстық жұмыста сызықты тармақты электр тізбегін талдауды спектрлі әдіспен жүргізу керек.

Мен танып біліп жатқан әдіс периодты емес әсердегі жиілік (спектральді) әдісі. Курстық жұмыстың мазмұнын ашу үшін әр термин үшін жеке-жеке анықтама беріп көрейік. Тақырыбымның өзекті мәселесі болып келетін спектральдық талдауды қарастырайық.

Спектральдық (жиіліктік) талдау бұл уақыт қатарларын қатаң периодты немесе ретті ауытқуларды зерттеуге арналған анализдеудің түрі болып табылады. Спектрлі талдау кезінде жиілік фильтрациясы үшін, өзара спектр алынады. Барлық талдау түрлері үшін тек жиілік фильтрация үшін ғана емес бағдарлама автоматты түрде зерттелетін көрсеткіште тенденцияның бар болуын анықтайды және оны тапқан жағдайда сәйкесті мәлімдеме береді. Гармоникалық талдауда бағдарламадан шығуда есептік параметрлер берілген сәйкесті хаттама шығады. Осының нәтижесі бойынша гармоник қажеттілігін талдауға болады. Спектральдық талдау жасау үшін Фурье қатары қолданылатыны белгілі. Талдаудың математикалық әдісіне қысқаша шолу жасайық [1,2].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Периодтық емес сигналды спектральдық талдау

 

 

Периодтық емес сигнал f(t), мысалы тікбұрышты бірлік импульс (1.1-сурет)

 

1. –сурет

 

Фурье қатары:

 

                                                  (1.1)                               

 

(1.1) жіктеу коэффициенттері математикадан белгілі қатынаспен анықталады:

 

                                                              (1.2)                                        

 

периоды Т => ∞ болатын периодтылық ретінде көрсетуге болады. Бұл негізде гармоникалық құраушылардың амплитудалары, (1.2) сәйкес нөлге ұмтылады , яғни шексіз кіші шамаларға айналады. Одан басқа ω₁=2π/Т  негізгі жиілікпен анықталатын спектральдық құраушылар арасындағы қашықтық та сондай шексіз кіші шамаларға айналады және спектр дискреттіктен үздіксізге түрленеді.

Қорыта келгенде, периодтық  емес тербелісті жиіліктері шексіз кіші шамаларға бөлініп, барлық жиіліктік  диапазонды толтыратын гармоникалық тербелістердің амплитудалары бойынша шексіз кіші шексіз санның жиынтығы ретінде қарауға  болады. Фурье қатары математикадан  белгілі Фурье интегралына түрленеді:

 

                                                       (1.3)

 

                                               (1.4)

 

f(t) функциясы әрбір әрбір түпкі аралықта Дирихле шарттарын қанағаттандырады деп болжанылады, ол шексіз аралықта абсолют интегралданады және f (t)=0 егер t<0. Біз үшін (1.3)  шексіз кіші амплитудалары  |F(jω)|dω/π, жиіліктері ω және үзіліссіз ω=0-ден ω→ ∞ дейін өзгеретін бастапқы фазалары φ(ω) бар гармоникалық тербелістердің шексіз үлкен шамасының интегралдық жиынтығын көрсететіндігі маңызды.

ω -дан  ω+dω-ға дейінгі әрбір шексіз кіші жиілік диапазондарының құраушы амплитудалары осы функцияның мәніне пропорционал болғандықтан |F(jω)| функциясы амплитудалардың спектральдық тығыздығы деп аталады. φ(ω) функциясы периодтық емес сигналдың фазалар спектрін сипаттайды. F(jω) комплексті функциясын комплексті спектральдық тығыздығы, ал  (1.4) қатынасын біржақты Фурье түрлендіруі деп атайды.

Фурье мен Лаплас түрлендірулерінің байланысын және аналогиясын көру қиын емес. Фурьенің біржақты түрленуі F(jω) p = jω болғандағы Лаплас түрленуінен алынуы мүмкін деген қорытынды жасауға болады.

 

F(jω)=F(p) |_p=jω                                                                                        (1.5)

 

(1.5) қатынасы Лаплас түрленулерінің көлемді кестелерін қолданып, әртүрлі сигналдардың спектральдық құрамын талдау үшін қолданылуы мүмкін.

Мысал 1. Амплитудалардың спектральдық тығыздығын және экспоненциалды функцияның f(t) =A _oe^-αt фазалар спектрін анықтау.

Берілген функция бойынша (1.1-кестесін қараңыз) Лаплас түрлендіруін және (1.5) қатынасын қолданайық. Сонда комплексті спектральдық тығыздық:

 

1. кесте

 

К		0		1		2		3		4		5		6		7
Ак		Uo		2Uo/π		0		2Uo/3π		0		2Uo/5π		0		2Uo/7π
φк		-		- π /2		-		- π/2		-		- π/2		-		- π/2

 

 

 

Осыдан амплитудалардың  спектральдық тығыздығы |F(jω)|=A _o/(a ²+ω²)^1/2 және фазалар спектрі φ(w )= - arctg(ω/a ).

Осы функциялардың графиктері 1.2-суретінде көрсетілген. Экспоненциалды сигналдың спектрі төменгі жиіліктер облысында жинақталады.

 

1.2 -сурет

 

Мысал 2. Тікбұрыш пішінді (1.1-сурет) бірлік импульстің спектральдық сипаттамасын анықтау. Шешім табу үшін комплексті спектральдық тығыздыққа арналған (1.4) қатынасын қолданайық:

 

 

Бұдан әрі алынған қатынаспен модуль мен аргументті бөліп көрсету  үшін келесі түрлендіруді жасаймыз:

 

 

Сонымен қоса

 

 

 

 

Фазалар спектрі sin(wt_и /2) функциясының нөл арқылы өтуіне (белгінің ауысуы)сәйкес келетін жиіліктерде π рад-ға ұлғаю керек. Бұл жиіліктерді (w _k t_и /2) = kp шартынан табамыз.Олар  w _k = 2kp/ t_и тең, k =1,2,3… Бұл жиіліктерде амплитудалардың спектральдық тығыздығы нөлге айналады. Егер ω=0 болғанда анықталмағандықты ашудан кейін |F(jω)|=U_o t_и аламыз.

Алдында айтылған мәселелерді есепке ала отырып, 1.3-суретінде тікбұрыш пішінді видеоимпульстің спектральді функцияларының графиктері құрастырылған.

Қарастырылып отырған  импульстің энергиясының негізгі бөлігі төменгі жиіліктер облысына тура келеді. t_и импульс ұзақтығы азаяды содан кейін оның спектрі пропорционалды кеңейгендіктен импульс неғұрлым қысқа болса, оның спектрі соғұрлым жалпақ болады [1,5,7,9].

 

 

 

1.3-сурет

 

 

       1.1 Периодты емес сигнал энергиясының жиілік бойынша таралуы

 

 

Периодтық емес кернеу u(t) Фурье интегралы түрінде берілсін:

 

 

Берілген кернеу қосылған R=1 Ом резистивтік кедергіде белгіленетін W энергиясын анықтайық.Сонда мынаны аламыз:

 

                                                                 (1.1.1)    

 

(1.1.1) -да математикадан белгілі Рэле теоремасы қолданылған. Алынған байланыстан |U(jω)|² функциясы ағымдағы жиілікте ω жиілік жолағына 1 рад/с келетін сигнал құраушыларының энергиясын сипаттайтындығы белгілі. Бұл функцияны сигнал энергиясының спектральдық тығыздығы деп атайды.

Қорыта келгенде |U(jω)|² функциясы бойынша периодтық емес сигналдың энергетикалық манызды бөліктері жайлы сөз қозғауға болады.1.1.1- суретте тікбұрыш пішінді видеоимпульс энергиясының спектральды тығыздығының графигі келтірілген. Ол мына формула бойынша есептелінген:

 

 

1.1.1-сурет

 

Импульс энергиясының негізгі бөлігі төменгі жиіліктер облысында тұрақтанған. Импульс энергиясының 90%нан көбі негізгі жолаққа келеді деп айтуға болады, яғни ω = 0ден ω = 2π / t_иға дейінгі жиілік жолағына. Көбінесе практикалық қосымшаларда бұл жиіліктер жолағы импульс спектрінің ені ретінде қабылданады. Импульс ұзақтығы неғұрлым аз болса, оның спектрінің ені  соғұрлым көп болады [2,9,10].

 

 

2. Спектральді талдау

 

Берілген әдістің негізі ретінде Фурьенің кері түрлендіруі  алынады. Кіріс дабылдың спектральді  тығыздығы және сызықтық буынның  тарату коэффициенті белгілі болған жағдайда, шығыс дабылының спектральді  тығыздығы (1.3.5) өрнегіне сәйкес келесідей жазылады

 

                                                                       (1.2.1)                                                                                             

 

Әрі қарай Фурьенің кері түрлендіруіне сәйкес, шығыс дабылы есептеледі. Ескеретін жайт, Фурье түрлендіруін қолданылу шарты – интеграл астындағы функцияның абсолютті интегралдануы. Бұл шарт берілген әдісте қолданылатын дабылдар класын азайтады [6,8,9].

 

 

3. Сызықтық буындар және олардың қосылуларының параметрлері мен сипаттамалары

 

 Талдаудың екі түрі  мен сипаттамалардың екі типі. Талдаудың екі түрі – уақыттық  және спектральді (басқаша атауы  – жиіліктік) – сызықтық динамикалық  жүйелерді зерттеуде қолданылады.  Сәйкесінше, сипаттамалардың екі  типі сызықтық құралдың жұмысын  анықтайды, олар: уақыттық және  жиіліктік.

Уақыттық зерттеудің негізі болып Лапластың кері және тура түрлендіруі  алынсса, ал спектральді зерттеу  үшін Фурьенің кері және тура түрлендіруі  алынады.

Лапластың түрлендіруіне  сәйкес, құрылғының уақыттық сипаттамаларды табуға мүмкіндік беретін беріліс  функциясы  анықталса, Фурье түрлендіруіне сәйкес, объектінің жиіліктік қасиеттерін анықтайтын тарату коэффициентін табады. Фурье интегралдары Лаплас түрлендіріуінің жеке жағдайы болып саналғандықтан,  мен арасында уақыттық сипаттамалардан жиіліктікке және керісінше көшуге мүмкіндік беретін тура байланыс бар.

Сызықтық жүйенің қарапайым  буынын – төртұштықты қарастырайық.

Жоғарыда айтылған сипаттамаларды дәл осы төртұштыққа үш тестілік кіріс дабылы барысында анықтайық: синусоидалы, бірлік секіріске және бірлік импульске ие. [6]

 беріліс функциясы. Сызықтық  төртұштықтың қасиетін n-ші дәрежелі  сызықтық дифференциалды теңдеудің  көмегімен анықтауға болады.

 

                                          (1.3.1)

 

мұндағы – шығыс дабылы;

                – кіріс.

 

Сызықтық буындарды операциялық  әдіспен талдау барысында Лаплас-Карсон түрлендіруі қолданылады.

Оған сәйкес (1.3.1) теңдігі операциялық формада келесі түрге ие болады:

 

                                                       (1.3.2)     

 

Шығыс дабыл бейнесінің кіріс  дабыл бейнесіне қатынасына тең  болатын құрылғының беріліс функциясы үшін (1.3.2) теңдігі келесі түрге ие болады:

 

                                       (1.3.3)   

 

Немесе алымы мен мен  бөлімін көбейткіштерге жіктесек ( )

 

                                                     (1.3.4)                    

 

мұндағы , , , – беріліс функциясының нөлдері деп аталатын теңдеуінің түбірлері;

, , , – беріліс функциясының полюстері деп аталатын теңдеудің түбірлері.

 

Орнықты жүйеде, яғни автотербеліс режиміне өтпейтін жүйеде, операторының барлық полюстері   комплексті  айнымалының жартыжазықтығының сол жағында орналасады, яғни барлық полюстердің нақты бөлігі , мұнда [7].

1.3.3 тарату коэффициенті. Фурьенің тура түрлендіруіне сәйкес кіріс және шығыс дабылдарының спектральді тығыздықтарын анықтайық.

Бұл спектральді тығыздықтардың қатынасы буынның тарату коэффициентінің  дәл өзі

 

                                                                     (1.3.5)                                                 

 

 шамасын Фурье интегралы  Лаплас түрлендіруінің жеке жағдайы  екендігін негізге ала отырып, барысында қарапайымырақ жолмен табуға болады.

Сондықтан алмастыру арқылы беріліс функциясы (1.3.5) арқылы буынды тарату коэффициентінің комплексті шамасын аламыз

 

          (1.3.6)                                                  

 

(1.3.6) өрнегін келесі түрге келтірейік:

 

                                                    (1.3.7)