Кінетичні явища в напівпровідниках

, (1.109)

де (1.109а)

- Відносна зміна обсягу в  даній точці.

З рівняння (1.109) видно, що Е1 має розмірність енергії. Позначимо і, використовуючи (1.109а), отримаємо

, (1.110)

тобто потенційну енергію або потенціал  розсіювання.

 

 

1.9. Визначення ймовірності переходу  електрона при розсіюванні

 

У теорії деформаційного потенціалу Бардіна і Шоклі доводиться, що при розгляді розсіяння електронів на коливаннях гратки можна електрон описувати не блоховской хвильовою функцією,

а плоскою хвилею, якщо потенціал  розсіювання буде визначений співвідношенням (1.110), де константа Е1 пов'язана з константою взаємодії, що має розмірність енергії.

Визначимо час релаксації, використовуючи потенціал розсіювання

і описуючи електрон плоскою хвилею

, (1.111)

де V - об'єм кристала,

Так як потенціал розсіювання, тут

. (1.112)

то з (1.112) випливає, що електрони взаємодіють тільки з поздовжньою акустичною хвилею, для якої справедливо умова: | |.

Для визначення ймовірності переходу електрона з стану в

, (1.113)

обчислимо матричний елемент:

. (1.114)

Використовуючи (1.111) і значення, отримаємо

. (1.115)

Перший інтеграл відмінний від  нуля і дорівнює V, коли, а другий у разі. Перша умова визначає поглинання електроном фонона, друге - випускання. В обох випадках:

(1.116)

Тут враховується, що.

Комплексна нормальна координата, гармонійно залежна

від часу, може мати вигляд:

, (1.117)

де (V0 - швидкість поздовжньої звукової хвилі), тоді

, (1.118)

Тут - фаза.

Амплітуда коливання атома дорівнює. Так як розсіяння пружне,

то коливання решітки можна  розглядати за законами класичної механіки. Максимальна потенційна енергія  гармонічних коливань атома за класичною  статистикою дорівнює:

, (1.119)

звідки. Підставивши в (1.116), одержимо

, (1.120)

тобто ймовірність переходу не залежить від. Тут, де С - константа зв'язку електрона з фононами.

Знайдене вираження для матричного переходу дозволяє визначити ймовірність переходу і тим самим вичислити час релаксації τ.

 

 

1.10. Визначення часу релаксації  у випадку дії декількох механізмів  розсіювання

 

Кожен з розглянутих механізмів розсіювання є основним механізмом релаксації носіїв струму по імпульсах  для певного інтервалу температур. Наприклад, при дуже низьких температурах, коли атоми домішки ще не іонізовані і коливання решітки слабкі (число  фононів мало), основним механізмом релаксації є розсіювання

на нейтральних атомах домішки  або на точкових дефектах. Зі зростанням температури стає істотним розсіювання на іонах домішки. Однак перехід від одного механізму до іншого є плавним, тобто маються температурні інтервали, в яких одночасно незалежно діють два або декілька механізмів розсіювання, тобто має місце змішаний механізм.

В атомних напівпровідниках з ковалентними зв'язками, в таких як германій (Ge) і кремній (Si), зазвичай одночасно  діють механізми розсіювання  на іонах домішки і на акустичних коливаннях,

а в напівпровідниках з іонним зв'язком, у з'єднаннях типу AIIIBV одночасно  діють механізми розсіювання  на іонах домішки

і на оптичних фононах.

Визначимо ефективний час релаксації, коли одночасно діють декілька механізмів розсіювання. Нехай електрон провідності  володіє ймовірністю в одиницю  часу перейти зі стану в у результаті взаємодії з акустичними коливаннями і ймовірністю розсіятися на іонах домішки.

У разі незалежності механізмів розсіювання можна визначити повну ймовірність розсіювання в одиницю часу виразом

. (1.121)

Якщо зіткнення пружні, то можна  ввести час релаксації:

.

(1.122)

З цього співвідношення випливає, що за наявності декількох механізмів розсіювання результуюче час релаксації визначається

із співвідношення:

. (1.123)

Тут τi - час релаксації, яке визначається i-м механізмом розсіювання.

У всіх випадках розглянутих механізмів розсіювання час релаксації може бути виражене у вигляді:

, (1.124)

де показник ступеня r має різні значення для різних механізмів розсіювання. Наприклад, у разі розсіяння на акустичних коливаннях і фононах домішки:

,, (1.124а)

тобто r = -1 / 2 і 3/2.

Згідно (1.122), ефективний час релаксації при дії обох механізмів одно

. (1.125)

Як видно з (1.125), у разі змішаного механізму розсіяння ефективний час релаксації не є степеневою функцією

від енергії носіїв струму. Для  таких процесів кінетичні коефіцієнти  виражаються складними інтегралами