Исследование активных RC-фильтров

Устойчивость фильтра исследуется по расположению корней характеристического полинома или полюсов передаточной функции цепи на комплексной плоскости. Устойчивость режима работы первого звена следует определить с применением частотного критерия Найквиста.

Рассмотрим оба подхода к определению устойчивости  рассматриваемой электрической цепи. 

 

 

4.1.Определение устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции.

 

Для определения полюсов передаточной функции необходимо характеристический полином передаточной функции каждого звена электрического фильтра приравнять к нулю и найти их корни.

Знаменатель передаточной функции первого звена фильтра  приравниваем к нулю и решаем полученное уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знаменатель передаточной функции второго звена фильтра приравниваем к нулю и решаем полученное уравнение:

 

 

 

 

 

                 Построим полученные полюса на комплексной плоскости.

 

Полюса расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости, следовательно, данная электрическая цепь устойчива.

5.2. Критерий устойчивости Найквиста

Построим годограф передаточной функции по петле обратной связи для 1 звена фильтра. Для определения передаточной функции разорвем цепь обратной связи на входе усилителя и замкнем входные полюса первого звена фильтра. В результате получим расчетную схему.

Комплексная передаточная функция по петле обратной связи для нее равна:

 

Запишем узловые уравнения для узла 1 и 2 в общем виде:

Расчёт коэффициентов левой части уравнений:

   

   

Расчёт коэффициентов правой части уравнений:

 

Узловые уравнения с учетом найденных коэффициентов

(5.2.1.)                                                                                  (5.2.2)

Решаем систему узловых уравнений и находим выражение для передаточной функции:

Из(5.2.2)→                                                                         (5.2.3) 

Подставив (5.2.3) в (5.2.1.) получим:

Выражаем U2 через U3 и подставляем в выражение комплексной передаточной функции по петле обратной связи:

 

Пострим годограф по петле обратной связи первого звена фильтра с помощью Matcad.

Исходные данные:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Годограф петлевого усиления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку годограф охватывает точку (1,j0), то по критерию Найквиста данная цепь устойчива. Максимум передаточной функции приходиться на частоту .

   

Из этого следует, что для устойчивости цепи коэффициент усиления должен быть . Если , то система будет находиться на границе устойчивости, при этом частота свободных колебаний будет .

 

6. Спектральный анализ прохождения электрического сигнала через линейную электрическую цепь

 

Спектральный метод анализа процессов в электрических цепях состоит из трех частей: частотных характеристик передаточной функции электрической цепи, частотных спектров сигналов и собственно спектрального метода анализа – определение спектральной плотности выходного сигнала по спектральной плотности входного сигнала и частотным  характеристикам передаточной функции.

 

Апериодический сигнал имеет вид треугольника и выражается  функцией времени на интервале длительности импульса следующим образом:

 при 

 

 

 

 при  , где ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим - частоту, - время воздействия и - максимальное значение импульса.

 

 

 

рад/сек

 

                       

 

Тогда  время импульса будет равно: .

 

 

 

 

По представленному в функции времени выражению сигнала  определяется спектральная плотность входного сигнала на основании прямого интегрального преобразования Фурье:

 

Для рассмотренного сигнала выражение имеет вид:

 

.

 

Вычислим полученный интеграл:

 

 

 

 

 

 

 

Амплитудный спектр входного сигнала

 

 

 

 

 

График спектральной плотности амплитуд (амплитудно-частотный спектр)

 

Спектр фаз входного сигнала

 

 

 

 

График спектральной плотности фаз (фазо-частотный спектр)

 

 

 

 

Определение спектральной плотности выходного сигнала

 

 

 

где    - АЧХ передаточной функции электрического фильтра;

- амплитудный спектр входного сигнала   =| | ;

- амплитудный спектр выходного  сигнала  =| |.

, 

где   - ФЧХ передаточной функции электрического фильтра;

- спектр фаз входного сигнала   =arg( );

- спектр фаз выходного сигнала  =arg( ).

 

График амплитудного спектра выходного сигнала:

 

График спектра фаз выходного сигнала:

 

 

Ширина спектра апериодического сигнала.

Ширина спектра апериодического сигнала определяется как часть спектра, в которой сосредоточена заданная доля (90 – 95%) энергии сигнала. Решение этой задачи основано на теореме Релея – равенстве Парсеваля для интеграла Фурье. В соответствии с этой теоремой распределение энергии апериодического сигнала по частоте можно определить из выражения:

 

где - спектральная плотность энергии сигнала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 и  – энергии входного и выходного сигналов. Умножим и на 0,95, построим графики спектральной плотности энергии входного  и выходного сигналов и отметим на графиках ширину спектра апериодического сигнала, на которую приходится 95% энергии сигнала.

 

 

 

 

Спектральная плотность энергии входного сигнала:

 

 

Ширина спектра входного апериодического сигнала, на которую приходится    95%  энергии сигнала .

 

Ширина спектра выходного апериодического сигнала, на которую приходится    95%  энергии  этого сигнала.

Вывод: при исследовании активного RC-фильтра было проведено исследование каждого из двух звеньев электрической цепи, найдены выражения для АЧХ и ФЧХ передаточных функций первого, второго звена и всей схемы, построены графики АЧХ и ФЧХ передаточных функций для всех случаев. По графикам АЧХ передаточной функции фильтра в логарифмическом масштабе можно сделать вывод о том, что предложенная схема – фильтр низких частот. Проведен расчет реакции при ступенчатом воздействии на входе электрической цепи, найдено выражение для переходной характеристики в операторной форме и в действительном виде, проведен переход к действительной функции при помощи теоремы разложения, построен график переходного процесса, из которого видно, что переходный процесс имеет затухающий характер, для которого найдены период, частота и логарифмический декремент затухания колебаний, проведен расчет допустимой величины ступенчатого воздействия на входе первого звена, имея заданное ограничение по напряжению на входе второго звена.Проведен анализ на устойчивость электрической цепи по двум критериям: по расположению корней характеристического полинома передаточной функции каждого звена и по критерию Найквиста; в каждом случае цепь оказалась устойчивой. При исследовании на устойчивость по критерию Найквиста получено выражения для передаточной функции и построен годограф по петле обратной связи первого звена, найден максимум передаточной функции и допустимые значения коэффициента усиления, при которых первое звено будет устойчиво.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

1. 2. Новгородцев, А.Б. 30 лекций по теории электрических цепей: учебник / А.Б.Новгородцев.- СПб.: Политехник, 1995.- 519 с.

 

2. Электротехника и электроника. Исследование активных RC-фильтров. Методические указания, пример расчёта и задания к курсовой работе. – Вологда: ВоГТУ, 2012г. – 60 c.