Исследование активных RC-фильтров

МИНОБРНАУКИ РФ

 «Вологодский государственный  технический университет»

 

 

 

Кафедра электротехники

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине "Электротехника"

"Исследование активных RC-фильтров"

Вариант 15

 

 

 

 

 

 

 

Работу выполнил:

Студент группы

 

Работу принял:

Реутов В.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

Вологда 2014 г.

 

Техническое задание.

      1. Найти операторную передаточную функцию фильтра, составив и решив систему узловых уравнений для электрической цепи каждого звена фильтра.

       2. Получить выражения  для АЧХ и ФЧХ передаточной  функции  фильтра и каждого его звена, построить их графики и указать тип фильтра.

       3. Найти переходную  характеристику первого звена  фильтра и построить ее график. Определить по графику период, частоту  и затухание (логарифмический декремент затухания) свободных колебаний.

       4. Оценить допустимую  величину ступенчатого воздействия  на фильтр для заданного напряжения  на входе усилителя второго  звена фильтра во избежание  его перегрузки ( по заданию преподавателя).

       5. Убедиться в устойчивости фильтра по расположению полюсов его передаточной функции, показав их на комплексной плоскости.

      6. Построить годограф передаточной функции по петле обратной связи первого звена фильтра, разомкнув цепь обратной связи на входе первого усилителя звена. Убедиться в устойчивости фильтра по критерию Найквиста.

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема ARC-фильтра

 

 

Параметры фильтра

 

R = 100 кОм

K1 = 3,2

K2 = 1,7

С1 = 2,4 нФ

С2 = 1,4 нФ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Операторная передаточная функция фильтра.

Операторной передаточной функцией называется отношение изображений выходного и входного напряжений (или токов). Для рассматриваемого в

курсовой работе электрического фильтра, в котором звенья соединены каскадом,  передаточная функция имеет вид:

 

                                                                                     (1.1)

 

где - передаточная функция фильтра;

- передаточная функция по напряжению  первого звена фильтра;

- передаточная функция по напряжению  второго звена фильтра.

 

1.1. Расчет передаточной функции первого звена фильтра.

 

Принципиальная схема электрической цепи звена представлена на рис.1.1.

Рис.1.1

 

 

 

 

 

 

Представим схему замещения первого звена (рис. 1.2).

 

 

Рис.1.2

 

  1.1.1.Узловые уравнения 1-го звена в общем виде.

 

Выберем узел №6 в качестве опорного узла. Тогда U6(p) = U0(p)=0.

Для выходных узлов узловое уравнение не может быть составлено, так как при нулевых выходных сопротивлениях идеальных усилителей их выходные проводимости равны бесконечности. Поэтому для расчета передаточной функции достаточно записать уравнения для узлов (3) и (4):

 

Узел №3:

  (1.2)

Узел №5:

         (1.3)

Как было сказано выше, в электрических цепях, содержащих идеальные усилители,  узловое уравнение для выходного узла не составляют. Вместо этого рекомендуется использовать уравнение связи. Для данного звена нужно составить  уравнение связи:

                                                                                              (1.4)

 

1.1.2.Расчёт коэффициентов левой части уравнений (1.2) и (1.3).

 

,        ,        ,

,           

 

 

,         ,         ,

         

.

1.1.3. Расчёт правой части уравнений.

 

,                     

 

1.1.4.Уравнения (1.2) – (1.4) с учетом найденных коэффициентов.

                 (1.5)

                                              (1.6)                    

                                                                         (1.7)              

 

 

    1.1.5. Расчет передаточной функции первого звена.

 

Из уравнения  (1.7)  выразим :

,                           (1.8)

 

 

Выражения (1.7) и (1.8) подставим в (1.6) и выразим :

                                                                                (1.9)

Уравнение (1.9) подставим в (1.5) и выразим через :

, (1.10)

В результате решения уравнений найдем передаточную функцию звена:

                                                                (1.11)

Знаменатель передаточной функции звена содержит характеристический полином второго порядка, формально совпадающий с характеристическим полиномом резонансного колебательного контура.

где и - резонансная частота и добротность контура соответственно.

Аналогичные коэффициенты знаменателя передаточной функции звена называются добротностью и частотой полюса:

 

Численно они будут посчитаны ниже.

          

 

1.2. Расчет передаточной функции второго звена электрического  фильтра.

Принципиальная схема электрической цепи звена представлена на рис.1.1.

 

Рис.1.1

 

 

1.2.1. Узловые уравнения 2-го звена в общем виде

 

       (1)

       (2)

В электрических цепях, содержащих идеальные усилители,  узловое уравнение для выходного узла не составляют. Вместо этого рекомендуется использовать уравнение связи. Для данного звена нужно составить два уравнения связи:

Для узла 2 составляем замещающее уравнение связи:

 

                      (3)

 

 

 

Расчёт коэффициентов левой части уравнений (1) и (2):

 

,       ,         

,          .

 

Расчёт  правой части уравнений (1) и (2):

 

,          

 

Запишем уравнения (1) и (2) с учётом найденных коэффициентов:

 

                    (1)

                                                 (2)

                                                                      (3)

Выразим из уравнения (3) U4 :

 

          (3.1)

 

Выразим из уравнения (2)  U3  и подставим в уравнение (1):

 

        (2.1)

 

         (1.1)

.                    (1.22)

 

 

 

 

В результате получили передаточную функцию первого звена фильтра:

 

 

                                                          (4)

 

 

Знаменатель передаточной функции звена содержит характеристический полином второго порядка, формально совпадающий с характеристическим полиномом резонансного колебательного контура.

где − резонансная частота, Q − добротность контура соответственно.

Приравняем знаменатель передаточной функции звена к нулю и найдём резонансную частоту и добротность контура.

 

 

 

Резонансная частота:

 

Добротность контура:

       

=0,615 =5.051*10^3рад/c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Расчет операторной передаточной функции электрического фильтра.

 

 

Передаточная функция фильтра при каскадном соединении звеньев:

        (1.25)

         

 

2. Расчетные выражения и графики АЧХ и ФЧХ передаточных функций фильтра.

 

Расчётные выражения для частотных характеристик АЧХ и ФЧХ фильтра получим путём подстановки в выражение (1.25). Обе зависимости, построенные в широком диапазоне частот, определяют характер преобразования сигнала и тип фильтра.

 

2.1. АЧХ и ФЧХ передаточной функции первого звена фильтра.

 

Передаточная функция первого звена фильтра,

полученная в пункте 1.1.3

                                    

                                     (2.1)

 

 

 

 

 – комплексная передаточная функция первого звена фильтра.

Выражение для АЧХ передаточной функции первого звена фильтра:

                                  (2.2)

Выражение для ФЧХ передаточной функции первого звена фильтра:

                                                                  (2.3)

 

 

На рис. 2.1и рис. 2. 2 представлены графики АЧХ передаточной функции первого звена фильтра соответственно в линейном и логарифмическом  масштабах. ФЧХ передаточной функции первого звена приведена на рис. 2.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.3

 

 

 

 

 

 

 

2.2. АЧХ и ФЧХ передаточной функции второго звена фильтра.

2.2.1Выражение для АЧХ второго звена:

 

2.2.2 Выражение для ФЧХ второго звена:

 

 

2.2.3 График АЧХ передаточной функции второго звена фильтра в линейном масштабе:

 

Рис 2.4

 

 

 

 

2.2.4 График АЧХ передаточной функции второго звена фильтра в логарифмическом масштабе:

 

 

Рис 2.5

2.2.5 График ФЧХ передаточной функции второго звена фильтра в логарифмическом масштабе:

2.3. АЧХ и ФЧХ передаточной функции фильтра.

2.3. АЧХ и ФЧХ передаточной функции фильтра.

 

Выражения для комплексной передаточной функции фильтра получим на основании (1.26), подставив в него :

(2.3)

2.3.1 Выражение для АЧХ фильтра:

 

2.3.2  Выражение для ФЧХ фильтра:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.3 График АЧХ

 

Рис. 2.7 График H(ω) в линейном масштабе

 

 

Рис. 2.8 График АЧХ передаточной функции фильтра

в логарифмическом масштабе

 

2.3.4График ФЧХ

Рис.2.9 График ФЧХ передаточной функции фильтра.

 

3. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПЕРВОГО ЗВЕНА ФИЛЬТРА

 

Расчет переходной характеристики в операторной форме

Расчет переходной характеристики в операторной форме производится по формуле:

                          (3.1)

 

                  

3.2. Нахождение числового значения h1(t) при помощи MathCAD

 

 

 

 

 

 

 

3.4. График действительной функции

Рис. 3.1.

По графику (рис. 3.1.) определим максимальное значение  , период, частоту   и затухание (логарифмический декремент затухания) свободных колебаний.

 

 

 

 

Логарифмический декремент затухания

U1 =0.33; U2 =0.15

3.1 Расчёт допустимой величины  ступенчатого воздействия на входе фильтра.

 

РАСЧЕТ РЕАКЦИИ ПРИ СТУПЕНЧАТОМ ВОЗДЕЙСТВИИ НА ВХОДЕ ЦЕПИ

Для оценки допустимого ступенчатого воздействия на входе электрического фильтра по заданному ограничению напряжения на входе второго звена воспользуемся следующей формулой:

 

,   где

  

  -  заданное ограничение по напряжению на входе второго звена (0,2 В);

 1.7 – максимальное значение . 

 

 

 

Итак,

 

Допустимая величина ступенчатого воздействия равна 0,1176 В.

4. Исследование устойчивости электрического фильтра.

 

В данной работе анализ устойчивости производится для фильтра и дополнительно для первого звена.