Анализ электрической цепи синусоидального тока

Так как сопротивление  R потребляет активную мощность, то его называют активным сопротивлением. Индуктивность и емкость активной мощности не потребляют, поэтому их называют реактивными сопротивлениями и обозначают соответственно [Oм] и [Oм].(Рис. 3.3)

Рис.3.3 – Зависимость индуктивного и емкостного сопротивления от угловой  частоты ω.

 

Для расчета режима в цепи синусоидального тока можно записать систему уравнений по законам  Кирхгофа, используя полученные соотношения  между напряжением и током  на элементах. Это будет система  тригонометрических уравнений. Уравнения  будут содержать синусоиды различной  амплитуды и начальной фазы и  необходимо проводить много тригонометрических преобразований, что не всегда удобно. Поэтому разработан специальный  метод анализа режимов цепей  синусоидального тока – метод  комплексных величин или символический  метод, но это уже отдельная тема.

Комплексы амплитуд напряжения и тока на элементах R,L,C связаны между собой.

Для сопротивления R: (Рис. 3.4)

 

Рис. 3.4 – участок цепи с сопротивлением R.

 

, , где U_m=RI_m,, j_u=j_i

Перейдем к проекциям  вращающихся векторов:

,

=>

 

Так как

 

,

 

Тогда

 

:

 

Для индуктивности L (Рис. 3.5)

 

Рис. 3.5 – Участок цепи с индуктивностью L

 

,

.

,

j_u=j_i + 90⁰.

: - комплексное сопротивление индуктивности.

- комплексное сопротивление  индуктивности.

Для емкости C: (Рис. 3.6)

 

Рис. 3.6 – Участок цепи с емкостью С.

 

,

 j_u=j_i - 90⁰.

: - комплексное сопротивление емкости.

 

Таким образом, для любого элемента в цепи синусоидального  тока - некоторое комплексное число по размерности соответствует сопротивлению, и поэтому его называют комплексом полного сопротивления и обозначают . Тогда:

 

,

,

.

 представляет закон Ома в символической форме.

Комплекс полного сопротивления  участка пассивной цепи синусоидального  тока рассчитывают так же, как в  цепи постоянного тока, если вместо элементов участка использовать комплексные сопротивления этих элементов.

 

,

 

где:

 

- коэффициент пропорциональности  между амплитудными или действующими  значениями напряжения и тока  на данном элементе;

 показывает на сколько фаза  напряжения больше фазы тока  на данном элементе.

Иногда строят треугольник  сопротивлений. Фактически это и  есть изображение комплекса полного  сопротивления на комплексной плоскости.

Рис. 3.7 - Изображение комплекса  полного сопротивления на комплексной  плоскости.

Величина  , как любое комплексное число, может быть представлена в показательной, тригонометрической или алгебраической форме:

,

 

где - вещественная часть комплекса полного сопротивления, ее называют активной составляющей комплекса полного сопротивления;

- мнимая часть комплекса полного  сопротивления, ее называют реактивной  составляющей комплекса полного  сопротивления;

- модуль комплекса полного сопротивления;

- фаза комплекса полного сопротивления,  изменяется в пределах  .

Величину обратную комплексу  полного сопротивления называют комплексом полной проводимости (КПП):

 

,

где

.

 

Для получения в "буквах" активной и реактивной составляющих комплекса полной проводимости по заданным в "буквах" активной и реактивной составляющим комплекса полного  сопротивления:

 

;

 

Таким образом, используя  полученные формулы, расчетным путем можно получить фазовые соотношения напряжений и токов RLC – цепи, и, построив диаграммы по этим значениям, наглядно пронаблюдать за поведением напряжений и токов, с учетов сдвигов по фазе.

 

 

3. Методы расчета электрических цепей

 

3.1 Законы Кирхгофа

Основными законами, используемыми  для анализа и расчёта электрических  цепей, являются первый и второй законы Кирхгофа.

 Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в любом узле заряд одного знака не может ни накапливаться, ни убывать. Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

При этом токи, направленные от узла, следует брать со знаком плюс, а токи, направленные к узлу,- со знаком минус.

Второй закон  Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Изменение потенциала между двумя точками участка цепи характеризуется разностью потенциалов, которую можно измерить вольтметром. В электротехнике разность потенциалов между двумя любыми точками цепи принято называть напряжением. Поэтому согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений всех участков замкнутого контура равна нулю:

 При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа слагаемые берут со знаком плюс в случае, когда направление обхода контура совпадает с направлением соответственно напряжения, тока или э.д.с., в противном случае берут со знаком минус.

Рекомендуется следующий  порядок составления уравнений  по законам Кирхгофа: определяют число  ветвей, узлов и независимых контуров, устанавливают число независимых  уравнений по первому закону Кирхгофа, остальные уравнения составляют по второму закону Кирхгофа.

 Для определения неизвестных токов в ветвях необходимо составить уравнения по первому второму закону Кирхгофа, количество которых должно быть равно количеству неизвестных токов. По первому закону Кирхгофа можно составить y-1 независимых уравнений, где y- количество узлов цепи. Использовать все y уравнений невозможно, так как одно из них обязательно будет зависимым.

 Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, должно быть равно количеству независимых контуров. Независимым называют контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь.

 Если в результате решения этих уравнений получатся отрицательные значения токов, то это означает, что истинные направления токов в ветвях цепи противоположны тем направлениям, для которых составлялись уравнения.

 

 

3.2 Метод контурных токов

 Сложную электрическую цепь, содержащую несколько активных и пассивных элементов и имеющую много узлов и контуров, рассчитать с помощью первого и второго законов Кирхгофа будет довольно трудно, так как будет связано с решением большого количества уравнений. Вводя понятие о контурных токах, можно свести уравнения, составленные по законам Кирхгофа, к системе уравнений, составленных лишь для независимых контуров, т. е. исключить уравнения, составляемые по первому закону Кирхгофа. Благодаря этому удаётся снизить порядок системы уравнений. Под контурными токами понимают условные (расчётные) токи, замыкающиеся в соответствующих контурах. На основе составленных уравнений выписывается матрица вида Здесь квадратная матрица коэффициентов при неизвестных контурных токах; матрица- столбец неизвестных контурных токов; матрица- столбец известных контурных э.д.с. Диагональные элементы матрицы , называемые контурными сопротивлениями или собственными сопротивлениями контуров, равны сумме сопротивлений всех элементов, входящих в контур. Остальные элементы матрицы равны сопротивлениям общих ветвей смежных контуров и имеют знак минус. Если какие-либо контуры не имеют общих ветвей, то соответствующие элементы матрицы равны нулю. Решением уравнения будет , где - матрица, обратная матрице коэффициентов .

 

 

3.3 Принцип суперпозиции

Применяя принцип суперпозиции можно найти ток любой ветви  или напряжение любого участка электрической  цепи как алгебраическую сумму частичных  токов или напряжений, вызываемых отдельным действием источников э.д.с. и тока. С помощью принципа суперпозиции (наложения) расчёт сложной  цепи с несколькими источниками  э.д.с. и тока можно свести к расчёту  нескольких цепей с одним источником.

Для определения токов  в цепи вначале полагают, что в  ней действует только один источник э.д.с. (например ). При этом сопротивления всех элементов считают неизменными. Определяют частичные токи от действия этого источника. Далее проводят расчёт частичных токов от действия другого источника э.д.с. и т. д. рассматривая каждый следующий источник в отдельности и находя частичные токи от их действия. Алгебраическое суммирование частичных токов с учётом их направлений даёт значения действительных токов ветвей.

Метод расчёта электрических  цепей с использованием принципа суперпозиции является довольно громоздким и поэтому применяется редко. Он целесообразен тогда, когда электрическое состояние цепи определено для каких либо источников э.д.с. и токов и требуется проанализировать электрическое состояние цепи при изменении э.д.с. или тока одного из источников. В этом случае нет необходимости вновь рассчитывать значения токов и напряжений от действия всех источников, а достаточно определить лишь частичные токи и напряжения от действия дополнительной э.д.с. или дополнительного тока источника, а также токи и напряжения от действия нового источника как алгебраическую сумму прежних и частичных токов и напряжений.

 

 

3.4 Метод межузлового напряжения

В реальных электрических  цепях очень часто несколько  источников и приёмников электрической  энергии включаются параллельно. Схема  замещения такой цепи, содержащей активные и пассивные ветви, соединённые  параллельно, имеет только два узла, например узлы А и В. Для определения  токов во всех ветвях достаточно найти  напряжение между двумя узлами. Формулу  для этого напряжения можно получить, используя принцип суперпозиции.

 Частичное напряжение от действия источника тока J можно определить исходя из того, что ток J равен сумме токов всех ветвей. Далее необходимо определить частичные напряжения от действия каждого источника э.д.с. в отдельности. Таким образом, если схема содержит k источников тока и m источников э.д.с., то напряжение между узлами равно алгебраической сумме всех частичных напряжений, т.е.

Произведения  и берут со знаком плюс, когда направление Е и J противоположны выбранному условно-положительному направлению межузлового напряжения и со знаком минус, когда эти направления совпадают.

Зная межузловое напряжение, легко можно найти токи как  в пассивных, так и в активных ветвях.

 

4. Практическая часть

 

4.1 Исходные данные

Для электрической цепи, представленной на рис. 1 с известными параметрами:

 

U = 3,54 В;

R = 0,82 кОм = 820 Ом;

L = 4,7 мГн = 4,7*10^-3 Гн;

С₁ = 1 нФ = 1*10^-9 Ф;

С₂ = 3,6 нФ = 3,6*10^-9 Ф;

f = 50 кГц = 5*10⁴ Гц,

 

составить уравнение баланса  и рассчитать:

- фазовый угол φ;

- модуль общего тока  I;

- модули токов на всех  элементах: I_R, I_L, I_С1, I_C2.

 

Рис. 1- Параллельная RLC-цепь

 

4.2 Основные формулы

Первый закон Кирхгофа для мгновенных значений токов в  одноконтурной цепи ( рис.1), состоящей  из параллельно соединенных активного  сопротивления R, катушки индуктивности L и емкости С, описывается выражением:

 

i= iR +iL +iC .

 

Баланс токов в цепи описывается следующими соотношениями:

,

tg φ =(1/(ωL- 1/ωC))/ (1/R) = (b_L-b_C) /g=b/g, -90º< φ <90º.

 

где Y – полная комплексная  проводимость цепи,

у – модуль полной комплексной  проводимости цепи,

g=1/R - активная проводимость цепи,

b=b_L-b_C - реактивная проводимость цепи,

b_L=1/ωL - реактивная индуктивная проводимость,

b_C=ωС – реактивная емкостная проводимость цепи.

X=X_L-X_C=ωL-l/(ωC) — реактивное сопротивлением цепи

|Z| = z = — модуль полного сопротивления цепи,

φ – фазовый угол между  синусоидами напряжения (источника) и  тока цепи.

 

 

4.2.1 Рассчет цепи для первого случая (без подключенного конденсатора С₂)

C = C₁;

ω = 2πf = 2*3,14*5*10⁴ = 3,14*10⁵ (c^-1);

g = 1/820 = 1,2*10^-3 (См);

b_{L =} 1/(3,14*10⁵ *4,7*10^-3 ) = 6,776 (См);

b_c = 3,14*10⁵*1*10^-9 = 3,14*10^-4 (См);

b = b_L – b_C = 6,776 - 3,14*10^-4 = 3,7757 (См)

tg φ =3,7757 /1,2*10^-3 = 3146,42

φ = arctg 3146,42 = 90⁰.

y = √1/820² + 1/(3,14*10⁵ *4,7*10^-3 - 3,14*10⁵*1*10^-9 )² = 3,8*10^-2 (См).

I = y*U = 3,8*10^-2*3,54 = 13,45*10^-2 (А)

I_R = g*U = 1,2*10^-3 *3,54 = 4,248*10^-3 (А).