Методы изучения корреляционных связей

Тема: Методы изучения корреляционных связей  

Вопросы:  
-     Корреляционный анализ (основные понятия)  
-     Коэффициент парной корреляции  
-     Ранговый коэффициент (Спирмена)  
-     Определение тесноты связи между качественными признаками (коэффициенты Шарлье, Юла, Пирсона)  
Продолжительность занятия: 4 часа  
Самостоятельная работа: лабораторная работа №7  
 
Теоретическая часть  

Корреляционный анализ

В различных областях медицины, биологии, организации здравоохранения, социально-гигиенических и клинических исследованиях проводятся статистический анализ связей, изучение закономерностей и влияющих факторов.  
Существуют два вида проявления количественных взаимосвязанностей между признаками (явлениями, факторами) – функциональные и корреляционные.  
При функциональных зависимостях каждому значению одной переменной величины соответствует одно вполне определенное значение другой переменной. Такие зависимости наблюдаются в математике и физике. Различные измерительные приборы основаны на функциональной зависимости (высота ртутного столбика дает однозначный ответ о температуре).  
Корреляционные или статистические связи, при которых численному значению одной переменной соответствует много значений другой переменной. Пример, между ростом и весом детей существует бесспорная зависимость, но это не значит, что определенному росту строго соответствует определенный вес. В силу участия в формировании веса многих других факторов, каждому значению роста соответствует несколько значений веса, которые могут быть выражены в виде распределения.  
Функциональная связь имеет место по отношению к каждому конкретному наблюдению. Корреляционная проявляется в среднем для всей совокупности наблюдений. выявления взаимодействия факторов, определение силы и направленности Практическое использование корреляционного анализа: выявление взаимодействия факторов, определение силы и направления влияния одних факторов на другие.  
Следует подчеркнуть, что определение наличия связи между явлениями и факторами – дело специалистов. Статистика лишь измеряет эту связь.  
Корреляционная зависимость отличается по форме связи, ее направлению и силе. Ориентировочное представление о характере зависимости между двумя изученными факторами дает графический анализ (так называемая «скэттер-диаграмма»), который позволяет рассмотреть концентрацию и рассеивание точек на пересечении координат изучаемых признаков в определенном направлении вокруг линии регрессии.  
Форма связи может быть прямолинейной и криволинейной. Прямолинейная связь – равномерные изменения одного признака соответствуют равномерным изменениям второго признака при незначительных отклонениях. Криволинейная связь – равномерные изменения одного признака соответствуют неравномерным изменениям второго признака.  
Направление связи может быть прямое (положительное) или обратное (отрицательное). Если с увеличением одного признака второй также увеличивается или с уменьшением одного другой тоже уменьшается, зависимость прямая, положительная. Если с увеличением одного признака другой уменьшается или с уменьшением первого признака второй увеличивается, зависимость обратная, отрицательная.  
По силе связи зависимость может быть сильная (сильно выражена), средняя (умеренно выражена), слабая (слабо выражена).  

Оценка силы связи по величине коэффициента корреляции

Количественная характеристика взаимосвязи изучаемых признаков может быть дана на основании вычисления показателей силы связи между ними (коэффициенты корреляции) и определения зависимости одного признака от изменения другого (коэффициент регрессии).  

Коэффициент парной корреляции

Коэффициент парной корреляции вычисляется по формуле:  
 или   
Алгоритм расчета коэффициента парной корреляции:  
1)     записывают исходные данные в два вариационных ряда – x и y;  
2)     вычисляют среднюю арифметическую ряда x и y;  
3)     определяют разность между членом ряда и средними величинами;  
4)     перемножают разности ряда x и y между собой;  
5)     находят сумму перемножаемых разностей (с учетом арифметического знака);  
6)     возводят в квадрат каждую разность (отклонение) ряда х и у;  
7)     определяют сумму квадратов отклонений (разностей) для ряда х и у отдельно;  
8)     подставляют полученные данные в исходную формулу и вычисляют коэффициент парной корреляции.  
 
Пример. Определить корреляционную связь между строками введения противодифтерийной сыворотки и летальностью от этого заболевания. 

 
Коэффициент корреляции равен +0,98. Связь  положительная, сильная. Следовательно, между сроками введения сыворотки  и летальностью от дифтерии имеется  очень тесная зависимость. Число  больных в этом примере равно 900.  
Можно определить достоверность коэффициента корреляции, вычислив его среднюю ошибку для большого числа наблюдений (n>50) по формуле:  
, или при меньшем числе наблюдений:   
С достаточно большой надежностью можно утверждать, что зависимость неслучайна, если численное значение r_xy превышает свою среднюю ошибку не менее чем в 3 раза.  
 
 
Т.е. связь между признаками считается статистически значимой, если коэффициент корреляции превышает свою ошибку в 3 и более раз  
В том случае, когда отношение коэффициента корреляции к его средней ошибки меньше 3, существование связи между изучаемыми явлениями нельзя признать доказанным.  
Для малого числа наблюдений (n£30) степень надежности коэффициента корреляции может определяться по специальной таблице. При этом число наблюдений таблицы К (число степеней свободе n ) равно числу наблюдений в исследовании без двух, т.е. К = n-2. Как правило, коэффициент корреляции рассчитывается при числе коррелируемых пар не менее 5.  
В медицинских и биологических исследованиях связь между признаками считается статистически значимой, если величина коэффициента корреляции больше или равна табличной при Р=0,05  
Показатели оценки коэффициента корреляции при малом числе наблюдений 

Пример. В районах изучалась  зависимость между охватом населения  прививками и уровнем заболеваемости. Полученный коэффициент корреляции по этим двум признакам был равен 0,81. Число наблюдений – 8 районов (пар), следовательно, К равно 6 (8-2). По таблице  находим строку 6 и сравниваем полученный коэффициент. При данном числе степеней свободы (К) коэффициент корреляции превышает табличный для вероятности Р=0,05 (графа 3). Отсюда с вероятностью, большей, чем 95%, можно утверждать, что зависимость между охватом населения прививками и заболеваемостью не случайна, и эта связь сильная, т.е. чем больше процент привитых, тем меньше уровень заболеваемости.  
Ранговый коэффициент (Спирмена)  
Ранговый коэффициент корреляции более пригоден по сравнению с обычным коэффициентом для характеристики корреляций в случаях нелинейной связи и для данных, распределение которых отличается от нормального. Кроме того, данные для расчета рангового коэффициента могут быть представлены в полуколичественных измерениях. Достаточно ориентировочных данных об уровне признака. Вычисление коэффициента проводится по формуле:  
.  
Алгоритм расчета коэффициента корреляции рангов:  
1)     заменяют количественные (или полуколичественные, или качественные) признаки ряда х и у на ранги, ранжируя при этом строго от меньшей величины к большей (или строго от большей к меньшей по усмотрению исследователя);  
2)     определяют условные отклонения (а), т.е. разность рангов по каждой строке;  
3)     возводят условные отклонения в квадрат;  
4)     определяют сумму квадратов условных отклонений;  
5)     подставляют полученные данные в известную формулу и вычисляют коэффициент корреляции.  
Пример. Измерить корреляцию между смертностью от рака молочной железы и рака матки (материалы смертности 5 внеевропейских стран за 1950 – 1952 гг.), 

 
Поскольку вычисление коэффициента корреляции рангов обычно производится на малом  числе наблюдений (число пар в  рядах х, у), особое значение приобретает  оценка статистической значимости (достоверности) этого коэффициента. Это тем более важно, так как ранговый коэффициент всегда менее точен, нежели парный коэффициент корреляции.  
Оценка достоверности коэффициента корреляции рангов проводится разными методами в зависимости от числа наблюдений. При числе парных наблюдений, равномерном или менее 9 (n£9), оценка значимости производится по специальной таблице. При числе наблюдений от 10 и более оценка значимости может осуществляться с помощью критерия t по формуле:  
.  
Используя таблицу значений t Стьюдента, при числе степеней свободы без двух (n`=n-2), сравнивают вычисленное значение с табличным. Коэффициент признается значимым при условии, если расчетное t>t_0,05 табличного.  
Критическое значение коэффициентов корреляции Спирмена –  r