Отчет по практике в компьютерном центре

В формуле (4) отсутствует  произвольная постоянная С, так как  в правой части этой формулы стоит  неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную.

Приведем некоторые часто  встречающиеся типы интегралов, вычисляемых  методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида , , (P_n(x) – многочлен степени n, k – некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить  u=P_n(x) и применить формулу (10) n раз.
2. Интегралы вида , , , , (Pn(x) – многочлен степени n относительно х). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при P_n(x).
3. Интегралы вида , (a, b – числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.

Интегрирование выражений, содержащие тригонометрические функции

Интегралы вида Универсальная подстановка. Будем рассматривать интегралы вида:

- (12)

при условии, что они не являются табличными. Вычислить их можно различными методами, изложенными  ранее. Иногда бывает достаточно преобразовать  подынтегральное выражение, использовав  тригонометрические формулы, применить  методы «подведения» множителя под  знак дифференциала, замены переменной или интегрирования по частям.

Для вычисления интеграла  вида (12) существует общая универсальная схема вычисления, основанная на универсальной тригонометрической подстановке .

Интегралы вида (m, n є Z, m ≥ 0, n ≥ 0). Если хотя бы одно из чисел m и n – нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin²x+cos²x=1 оставшуюся четную степень через кон функцию, приходим к табличному интегралу.

Интегралы вида , , (n є N, n> 1). Эти интегралы вычисляются подстановками tgx= t и ctgx=t соответственно.

Если t=tgx, то x=arctgt, . Тогда:

.

Последний интеграл при n ≥ 2 является интегралом от неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования рациональных дробей.

Аналогично если t=ctgx, то x=arcctgt, , откуда:

Интегралы вида (m, n є R). Они вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам:

 

Примеры:

Найти неопределенные интегралы:

1) .

Решение:

2) .

Решение:

3) .

Решение:

 

Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл

 

Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы

- (12)

при λ→0, не зависящий от способа разбиения τ_nотрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξ_k, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:

(13)

Если указанный предел существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится  интегральная сумма, в случае, когда  диаметр разбиения λ стремится  к нулю.

Геометрический смысл  определенного интеграла. Пусть  функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ≥ 0. Фигура, ограниченная графиком АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (рис. 1), называется криволинейной трапецией.

 Интегральная сумма и  ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры (изображенной на рис. 1). Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения τ_nотрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора точек ξ_k.

Чем меньше , k=1, n, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы при λ→0:

    (14)

Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей  криволинейной трапеции.

Рассмотрим свойства определенного интеграла:

1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

Это свойство следует из определения интеграла.

2. Если f(x)=1, то

Действительно, так как  f(x)=1, то

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

R.

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

6  (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы и то существует также интеграл и для любых чисел a, b, c;

7. Если f(x) ≥ 0 [a; b], то

a<b.

8  (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и φ(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ φ(x) [a; b], то

a>b.

9  (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то

a<b.

10 (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции  в некоторой промежуточной точке  ξ отрезка интегрирования  [a; b] и длины b-a этого отрезка.

Теорема о среднем

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции  в некоторой промежуточной точке  ξ отрезка интегрирования  [a; b] и длины b-a этого отрезка.

Производная определенного  интеграла по верхнему пределу. Формула  Ньютона-Лейбница: До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a, а верхний х изменять так, чтобы x є [a; b], то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида:

x є [a; b],

называется определенным интегралом с переменным верхним  пределом и является функцией верхнего предела х. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования – буквой х.

Теорема. Производная определенного  интеграла от непрерывной функции  f(x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

Формула Ньютона-Лейбница. Формула  Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a; b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.

- (15)

 

Замена переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле: этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a; b], а функция x=φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t₁; t₂], причем φ([t₁; t₂])=[a; b] и φ(t₁)=a, φ(t₂)=b, то справедлива формула:

- (16)

Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть  u(x) и v(x) – дифференцируемые на отрезке [a; b] функции переменной х. Тогда d(uv)=udv+vdu. Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [a; b]:

- (17)

Примеры:

Вычислить определенный интеграл:

1) .

Решение:

2) .

Решение:

Командой для символьных вычислений интегралов является символьный оператор ®. Результат (т.е. первообразная от подынтегрального выражения) выводится справа от стрелки. Если первообразную функцию нельзя записать в аналитическом виде, то справа от стрелки будет еще раз переписан тот же интеграл.

Для того, чтобы вычислить  в символьном виде определенный интеграл, MathCAD сначала вычисляет первообразную, т.е. повторяет действия неопределенного  интеграла. Далее, из значения первообразной  на верхней границе вычисляется  ее значение на нижней границе. Полученное в результате выражение и возвращается как ответ.

Значение переменной TOL не имеет никакого значения для символьных вычислений.

Вычисление интеграла  – это, по-видимому, самая сложная  задача для символьного процессора MathCAD. Надо отметить, что символьное интегрирование возможно только для  небольшого круга несложных подынтегральных  функций. Поэтому некоторые интегралы  не могут быть вычислены в символьном виде. Стоит отметить, что существует несколько интегралов, которые не имеют аналитического выражения, но часто встречаются в практических задачах. Эти интегралы в математике носят определенные названия и заданы в MathCAD в виде специальных символьных функций или констант. Таким образом, многие интегралы, которые не имеют  аналитического выражения через  элементарные функции, будут все  же вычислены символьным процессором  и записаны с использованием специальных  символьных функций MathCAD.

Однако следует помнить, что результат символьного интегрирования в данном случае является лишь удобной  записью того же интеграла. Если понадобится  определить значение одной из этих функций в точке на числовой оси, то придется вычислять соответствующий  интеграл численными методами.

Интегрирование функций  с параметром. Следует помнить, что MathCAD воспринимает все неопределенные параметры в функциях как произвольные комплексные функции. Поэтому интеграл от функции с параметром будет вычислен только в том случае, если он существует при всех значениях параметра на комплексной плоскости. Такое условие выполняется далеко не для всех функций. Решение данной проблемы является использование модификатора символьных вычислений assume. С его помощью можно наложить определенные ограничения на значения параметров, входящих в подынтегральное выражение.

Вводится интеграл, знак символьного вычисления с полем  ввода для модификатора, в которое  вводится ключевое слово assume и через  запятую условие, накладываемое  на параметр подынтегрального выражения  или несколько условий через  запятую.

Расходящийся интеграл. Если интеграл расходится (равен бесконечности), то вычислительный процессор может выдать сообщение об ошибке, а символьный процессор справляется с этим интегралом, совершенно правильно находя его бесконечное значение.

Кратные интегралы. Кроме однократных интегралов в MathCAD есть возможность вычислять двойные, тройные интегралы, а также интегралы более высокой точности. Для вычисления кратных интегралов не предусмотрено отдельного оператора, для этого служит уже знакомый оператор определенного интеграла, в шаблоне которого в поле ввода подынтегральной функции вводится следующий шаблон определенного интеграла ит.д.

 

2 Практический раздел

 

 

Задание 1. Принципы работы в  Mathcad

 

 

Рисунок 1. Рабочий лист Mathcad

 

Основным документом Mathcad является рабочий лист, границы которого показываются сплошной линией, а поля -  штриховой. Mathcad допускает ввод формул и текста в любом месте  рабочего документа. Каждое математическое выражение или фрагмент текста является областью. Рабочий документ Mathcad есть совокупность таких областей. Mathcad создает  три типа областей – текстовое, математическое и графическое. Чтобы сделать  области видимыми необходимо выполнить  команду Границы/Вид. Mathcad отобразит  пустое пространство серым цветом, занятые области фоновым цветом. Для отмены видимости вновь повторить  комбинацию - Границы/Вид.