Линии разделяющей плоскости

Пенза 2013 г

РЕФЕРАТ

Пояснительная записка содержит 20 страниц, 6 рисунков.

Объект исследования курсовой работы – линейная разделяющая функция и разделяющая гиперплоскость.

Цель работы: изучение линейных разделяющих  функций и обобщенного алгоритма  нахождения разделяющей гиперплоскости, а также процедуры построения разделяющей гиперплоскости в пространстве признаков для диагностики технического состояния исследуемых систем и  объектов.

При выполнении первого задания  необходимо построить разделяющую  функцию, найти значения коэффициентов весового вектора и по ним определить линейную разделяющую функции.

При выполнении второго задания  необходимо представить разделяющую функцию,определить значения коэффициентов весового вектора, по ним найти необходимое достаточное условие сходимости процесса, обеспечивающее приближение к точному решению в процессе последовательных приближений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

                                                                                                                  с.

Введение……………………………….…………………………………...……..5

1 Линейные разделяющие функции………...…………….……………………..8

2 Обобщенный алгоритм нахождения  разделяющей гиперплоскости .……...13

3 Практическая часть……………………………………………………………16

Заключение…………………..……….………………………………..…………19

Список литературы……………………………..……………………..…………20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Методы  распознавания диагнозов в пространстве параметров основываются на том, что каждый объект подписывается набором комплексов диагностических параметров, которые принимаются в качестве компонентовn-мерного вектора, поэтому каждому объекту можно поставить в соответствии точку в пространстве параметров, в которой находится конец этого вектора.

Считается, что точки, отображающие одинаковые технические состояния (диагнозы), группируются в одной области. Следовательно, каждому диагнозу соответствует некоторая область в пространстве параметров.

Рассмотрим  некоторые свойства пространственных параметров:

1. Каждый объект может характеризоваться комплексом диагностических признаков или параметров, которые могут приниматься в качестве компонентовn-мерного вектора.

В зависимости  от того, что используется для описания объекта (параметры или признаки), компоненты могут быть:

• дискретными;
• непрерывными.

2. Если для описания технического состояния объекта используются простые бинарные (двухразрядные) признаки, то компоненты вектора выражаются двоичными числами (т.е. сочетаниями 0 и 1).

При таком  описании объектов диагностики любое  техническое состояние будет  находиться в вершине единичного куба. Пример трехмерного пространства параметров представлен на рисунке 1, где координаты вектора  = (0;1;1).

Рисунок 1

3. Областью диагноза называется множество точек пространства признаков, которые соответствуют техническим объектам, обладающих состоянием .

По принадлежности x к состоянию выделяют 2 свойства:

• объект находится в состоянии ;
• точка, описываемая вектором x, попадает в область .

При использовании  понятий пространство диагностических  параметров и определение каждого  состояния в виде области диагноза, задача диагностики может решаться путем отыскания уравнения разделяющей  функции. Уравнение разделяющей  функции выводятся через дискриминантную  функцию.

Пусть в n-мерном пространстве параметров содержатся точки, принадлежащие различным диагнозам , , ,…, . Для каждой области пространства параметров диагноза определим скалярную функцию:

( ) = ( , ,…, ,…, ).                                    (1)

Функция ( )называется дискриминантной функцией диагноза , если она отвечает условию:

( ) > ( ) при , где i ≠ j, а j = 1,2,3,…, m.               (2)

Т.е. дискриминантная  функция ( )принимает для точек области n-мерного пространства параметров наибольшее значение по сравнению с дискриминантными функциями других диагнозов.

Линейная  дискриминантная функция диагноза будет иметь вид:

( ) = + +…+ + , где                       (3)

, ,…, и т.д. – весовые коэффициенты линейной дискриминантной функции.

Пусть мы имеем 2 диагноза и . Техническое состояние объектов диагностики характеризуется двумя параметрами и .Для этих диагнозов заданы некоторые функции, которые определяются следующими выражениями:

( , ) = + + ;                                 (4)

( , ) = + + .                                 (5)

Функция ( , ) называется дискриминантной функцией диагноза , если она всегда больше ( , ), при условии, что объект относится к диагнозу :

( , )> ( , ), если = .                     (6)

В данной работе нам предстоит изучитьлинейные  разделяющие функции, обобщенный алгоритм нахождения разделяющей гиперплоскости в пространстве признаков и применить  процедуру построения разделяющей  гиперплоскости для диагностики  технического состояния исследуемых  систем и объектов.[1]

 

1 Линейные разделяющие функции

Цель  работы: изучение линейных разделяющих функций и процедуры построения разделяющей гиперплоскости для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов.

Методические  указания

Один  из важнейших классов разделяющих  функций связан с линейными дискриминантными функциями. Тогда разделяющая функция  при распознавании двух классов:

f(x) = (x) (x) = + +…+ + ,               (7)

= , где j = 1, 2,…, N+1.                          (8)

Величины  называются весовыми коэффициентами. Методы распознавания с помощью линейных разделяющих функций называются линейными методами разделения. Диагнозы, для которых возможно такое распознавание, считаются линейно-разделимыми.

Весовые коэффициенты образуют весовой вектор с числом компонентов N + 1:

λ = .                                    (9)

Для удобства геометрической интерпретации дополним вектор х еще одним компонентом:

1.                                             (10)

Тогда дополненный  вектор признаков:

= .                                (11)

Разделяющую функцию при диагностике на два  состояния можно представить  в виде скалярного произведения:

f( ) = λ .                                           (12)

 

Условия разделения (решающее правило):

f( ) =λ > 0 при ;                                  (13)

f( ) =λ < 0 при .                                  (14)

Разделяющая поверхность является плоскостью в (N+1)-мерном пространстве или гиперплоскостью. Уравнение разделяющей гиперплоскости:

f( ) =λ = + +…+ = 0.                   (15)

Уравнение (15) означает, что весовой вектор λ перпендикулярен разделяющей гиперплоскости (рис.2). В дополненном пространстве признаков разделяющая гиперплоскость всегда проходит через начало координат.

Рисунок 2

Линейная  разделяющая функция в дополненном  пространстве признаков имеет простой  геометрический смыслf( ) =λ = h, где h– проекции вектора на направление весового вектора λ, что вытекает из смысла скалярного произведения. Абсолютная величина h равна расстоянию точки до разделяющей плоскости = 0. Значение h положительно, если точка находится в полупространстве, векторы точек которого дают положительную проекцию на вектор λ.

Нахождение  разделяющей гиперплоскости. Разделяющая гиперплоскость проходит через начало координат (в дополненном пространстве признаков) и нормальна весовому вектору λ. 

Следовательно, векторλ однозначно определяет положение разделяющей плоскости в пространстве признаков, и задача сводится к нахождению вектора λ. Рассмотрим процедуру определения весового вектора с помощью обучающей последовательности. Под обучающей последовательностью понимается совокупность образцов с известным диагнозом (совокупность «верифицированных образцов»). Эта последовательность используется для «обучения», в данном случае – нахождения весового вектора (разделяющей гиперплоскости).

Пусть в  пространстве признаков имеются две области диагнозов и . Они изображены для трехмерного пространства признаков на рис.3. Разделяющая плоскость должна удовлетворять условиям (13 и 14), которые можно упростить, если ввести в рассмотрение объединенную областьдиагнозов и : D= , где - область диагноза , симметрично отображенная относительно начала координат (рис.4). Знак означает объединение множеств. Область получается из , если знак у векторовx Dизменить на противоположный. Отметим, что области и могут иметь общие точки. Теперь разделяющая функция вместо соотношений (13 и 14) будет удовлетворять условию:

f( ) =λ > 0 при .                               (16)

                        Рисунок 3                                     Рисунок 4 

Следовательно, объединенная область D должна располагаться по одну сторону от разделяющей гиперплоскости (15) или, что равносильно, гиперплоскость не должна пересекать объединенную область диагноза.

В дальнейшем придется часто рассматривать векторы  в дополненном пространстве ( =1) признаков и для простоты опустим индекс * у вектора х. Уравнение гиперплоскости запишем так:

f(x) = λx = 0.                                              (17)

При определении  вектора λ применяетсяпроцедура последовательных приближений. Для обучения предъявляется первый образец , относительно которого диагноз известен. В качестве первого приближения: для вектора λ принимается:

= , если ,                                (18)

= , если .                              (19)

На рис.4 показан случай, когда первый образец принадлежит области . Разделяющая плоскость для первого приближения описывается уравнением:

= 0,                                              (20)

т. е. разделяющая  плоскость перпендикулярна вектору  первой точки. Далее предъявляется  второй образец, описываемый вектором . На рис.5 этот образец относится к диагнозу .

Рисунок5 

Сначала проверяется правильность предыдущего  приближения для разделяющей  плоскости. Если выполняется условие  >0, то весовой вектор не требует корректировки и во втором приближении принимается = .Случай, когда во втором приближении не требуется внесения поправки, показан на рис.5.

Далее предъявляется  третий образец и проводится проверка предыдущего значения весового вектора. Если >0, то исправления вектора не требуется и принимается = (точки , , лежат по одну сторону от разделяющей плоскости). Если <0 (этот случай показан на рис.5), то условие разделения (16) λx>0 не выполняется и требуется скорректировать весовой вектор. Принимают теперь = + и далее переходят к показу следующего образца. В общем виде описанную процедуру можно представить так:

= + .                                (21)

В последнем  равенстве:

при =      (22)

при =      (23)

Иными словами, при неправильных ответах к вектору добавляется вектор точки, относительно которой была совершена ошибка.[2]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Обобщенный алгоритм нахождения разделяющей гиперплоскости

Цель  работы: изучение обобщенного алгоритма нахождения разделяющей гиперплоскости в пространстве признаков для диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов.

Методические  указания