Жазбаша көбейту мен бөлу

Жазбаша көбейту мен бөлу

Жазбаша көбейту мен бөлу алгоритмі 3-сыныптың төртінші тоқсанында қарастырылады. Жаңа және күрделі, сондай-ақ, жан-жақты қарастырылатын мәселе үш таңбалы санды бір таңбалы санға көбейту мен бөлудің алгоритмдері, яғни сәйкес амалдарды жазбаша орындаудың тағайындалған рет-тәртібі.

Көбейту мен бөлу әр сабақта негізінен қатар қарастырылады және алгоритмнің негізгі кезеңдерін бөліп көрсетуге ерекше көңіл бөлінеді, сондай-ақ сәйкес жазу үлгісінің толық және  біршама ықшамдалған түрлері көрсетеледі, сол алгоритмді қолдана отрырып, есептеулер жүргізудің мүмкіндіктері ескеріледі.

43 * 2 және 86 : 2. Мұнда ондықтарды  қөбейтіп, бірінші толымсыз көбейтіндіні, яғни ондықтардың санын, ал бірліктерді көбейтіп, екінші толымсыз көбейтіндіні, яғни бірліктердішығарып алатынымызға, оларды қосқанда толық көбейтінді шығатынына назар аударылады және «баған түрінде» жазудың үлгісі көрсетіледі. Ал бөлу кезінде бірінші толымсыз бөлінгіш 8 онд., ал екінші толымсыз бөлінгіш 6 бірл. екеніне назар аударылады. Оларды біртіндеп 2-ге бөліп, бөліндінің мәнін табамыз, бөлуді «бұрыштап» орындаудың үлгісі көрсетіледі.

76 : 6 – бұл жағдайда  қалдық шығады, яғни қалдық туралы  білетінімізді осы жерде қолданамыз.

134 * 2 – үш толымсыз  көбейтінді, ал 268 : 2- де үш толымсыз  бөлінгіш болатыны (бөліндінің мәні үш таңбалы сан) ескерілуі тиіс.

103 * 2 – үш толымсыз  көбейтінді болады, оның екіншісінің  мәні 0-ге тең, ал 206 : 2-де үш толымсыз  бөлінгіш құрастырылады, оның екіншісі  нөлге тең. Екінші толымсыз бөлінгіш 0 < 2, демек, кіші санды үлкен  санға бөлсек, бөліндінің мәні  нөлге тең болады, олай болса  бөлінді мәнінің екінші цифры, яғни ондықтары нөлге тең.

430 * 2 – үш толымсыз  көбейтінді болады, оның біріншісінің  мәні нөлге тең, ал 860 : 2- үш толымсыз  бөлінгіш қарастырылады, оның  үшіншісі  нөлге тең. Яғни 0 < 2, демек, кіші  санды үлкен санға бөлсек, бөліндінің  мәні нөлге тең болады, бөлінді  мәнінің үшінші цифры, яғни бірліктері  нөлге тең.

247 : 2 – алдыңғы жағдайлардың  жалғасы, тек қана мұнда қалдық шығады, яғни үйреншікті білім біршама өзгерген жағдайда қолданыс тауып отыр.

104 * 6 – үш толымсыз  көбейтінді  болады, 624 : 6-де үш  толымсыз бөлінгіш құрастырылады. Екінші толымсыз бөлінгіш 2 < 6, демек, бөліндінің мәнң нөлге тең болады, бөлінді мәнінің екінші цифры, яғни ондықтары нөлге тең.

Жоғарыда қарасытырылған жазбаша көбейту мен бөлудің әр түрлі жағдайларының өзіндік ерекшеліктері бар. Олардың бәрі көбейтуді «баған түрінде», ал бөлуді «бұрыштап» қысқаша жазғанда айқын көрінеді. Олар мысалы, разрядтан бірліктерді көбейткенде ғана аттау, ондықтарды көбейткенде ғана аттау, бірліктерді және ондықтарды көбейткенде аттау; ортасында немесе соңында нөл болатын санды көбейту сияқты болып келеді. Ал бөлуде: толымсыз бөлінгіштердің әрқайсысы санға қалдықсыз бөлінуі, ондықтарды бөлгенде қалдық қалуы, ортасында немесе соңында нөл болатын санды бөлу, толымсыз бөлінгіш бөлгіштен кем болу, бөлінді мәнінің соңғы немесе ортаңғы цифры нөл болуы сияқты болып келеді. Қалай болғанда да жазбаша көбейту төменгі разрядтан басталып, жоғары разрядқа қарай біртіндеп орындалады. Сондай-ақ неше толымсыз бөлінгіш құрастыру мүмкін болса, бөліндінің мәні сонша таңбалы сан болады, яғни сонша цифр арқылы жазылатын сан болады.

Жаопы алғанда, бөлу алгоритмінің негізгі кезеңі – толымсыз бөлінгіштердің әрқайсысын біртіндеп бөлгішке бөлу. Әрине, бұл бөлу кезінде кейде қалдық нөлге тең болуы, кейде нөлге тең болмауы мүмкін. Егер аралық нәтижелерде, яғни жүздіктерді және ондықтарды бөлгенде қалдық нөлден басқа сан болса, бөлу процесі жалғастырылады, ал қалдық қашанда бөлгіштен кем болуы тиіс. Соңғы толымсыз бөлінгішті, яңни бірліктерді бөлгенде қалдық шықса, бөлу процесі аяқталады.

"Мыңдар" тақырыбын  үйрену барысында "үш таңбалы  санды бір таңбалы санға бөлу" сияқты мәселелерді оқып үйрену  және соның негізінде көбейту  мен бөлудің жазбаша алгоритмдерін  енгізуге болады. 

Мысалы: 24 * 3= (20 + 4) * 3=20 * 3 + 4 * 3=60 + 12=72

48 : 4= (40 + 8) : 4=40 : 4 + 8 : 4=10 + 2=12

Осыған ұқсас мысалдар:

134 * 2=(100 + 30 + 4) * 2=100 * 2 + 30 * 2 + 4 * 2= 200 + 60 + 8=268

639 : 3=(600 + 30 + 9) : 3=600 : 3 + 30 : 3 + 9 : 3= 200 + 10 + 3=213

Соның негізінде сәйкес қорытынды шығарылады, яғни үш таңбалы санды бір таңбалы санға көбейту мен бөлуді де разрядтар бойынша орындауға болады, алайда осылайша толық жазуға өте көп уақыт жұмсалады және оны толық түсіндірме келтіріп айтып шығу да біраз уақыт алады.

Сондықтан қысқа және ықшам түрде былай жазып көрсетуге болады:

134                           639  3

        х    2                        - 6 213

          268                            3

                               -  3

                                    9

                                            - 9

Көбейту мен бөлуді осы жағдайларда орындағанда алдымен сандардың разрядтық

Қосылғыштарына жіктелгеніне, ал сонан кейін қосынды санға көбейту мен бөлу жайындағы қорытындылардың қолданылғанына назар аударылуы керек.

 

 

 

Қосылғыштардың орындарын ауыстыру: 2+2+4+4. Бірдей қосылғыштардың қосындысын көбейтіндімен алмастыру: 2 * 2+4 * 2=12.

Қосылғыштарды топта: бірінші үшіншімен, екіншімен төртіншімен; (2+4)+(2+4) – бірдей қосылғыштардың қосындысын көбейтіндімен алмастыр: (2+4) * 2=12.

Өрнектер мен олардың мәндерін салыстыр: (2+4)*2=2*2+4*2.

Қорытынды: қосындыны санға көбейту үшін әр қосылғышты жеке-жеке сол санға көбейтіп, шыққан нәтижені қосу қажет. Бұл – көбейтудің үлестірімділік қасиеті.

Есептеуді тиімді тәсілмен орындауда қолданылады:

46 * 2=(40+6) * 2=40 * 2+6 * 2=80+12=92.

Кестелік көбейту мен бөлу

Көбейту – бірнеше бірдей қосылғыштарды қосу.

Бөлу – көбейтуге кері амал.

2-ге көбейту кестесі  бірдей қосылғыштарды қосу негізі  екі сабақта құралады.

2 * 2=2+2 ⇒ 2 *2=4

3 * 2=3+2 ⇒ 3 * 2=6 т.с.с.

3-ке көбейту кестесі 2-ге  көбейту кестесіне сүйеніп, екі  сабақта құралады және бірнеше  сабақтар бойында жатады.

3 * 3= 3 * 2+3 ⇒ 3 * 3=9

4 * 3= 4 * 2+4 ⇒ 4 * 3=12

5 * 3= 5 * 2+5 ⇒ 5 * 3=15

Бөлудің сәйкес жағдайларының кестесі көбейту мен бөлудің өзара кері амалдар білімі негізінде көбейту кестесімен қатар құрылады:

6 * 2=12 ⇒ 2 * 6=12 ⇒ 12:2=6 және 12:6=2.

ауыстырымдылық қасиеті көбейту мен бөлудің өзара

байланысы

шаманы санға көбейту мен бөлу есептеудің ұқсас тәсілдері ретінде білімнің дидактикалық бірлігін ірілендіруді жүзеге асыру негізінде енгізіледі.

4 * 2      6 : 2

4 см * 2     6 см : 2

40 см * 2     60 см : 2

400 см * 2      600 см :2

Ауызша көбейту мен бөлу тәсілдері

Ауызша көбейту мен бөлу тәсілдерінің теориялық негізі – қосындыны санға көбейту мен бөлу.

Қосындыны санға көбейту тәсілдерін әр түсті екі бөліктен құрастырылған ABCD тік төртбұрыштың ауданын табу арқылы түсіндіруге болады. Кестелік жағдайларға келтіру мүмкін болса, қосындыны санға көбейтуді екі тәсілмен:

1. қосындының мәнін санға көбейту арқылы;
2. қосылғыштарды санға жеке-жеке көбейтіп, көбейтінділер мәндерінің қосындысын табу арқылы жүзгізуге болады.

Ал қосындының мәнін санға көбейту қиындық келтіретін жағдайларда қосылғыштарды жеке-жеке санға көбейтіп, көбейтінділердің мәндерін қосумен шектелу керек. Екі таңбалы және үш таңбалы сандарды бір таңбалы санға ауызша көбейту үшін, алдымен екі таңбалы санды ондықтар мен бірліктердің, ал үш таңбалы санды жүздіктердің, ондықтардың және бірліктердің қосындысына келтіріп алады да, оларды біртіндеп бір таңбалы санға көбейтеді, сонда шыққан көбейтінділердің мәндерін қосады.

Қосындыны санға бөлу тәсілдерінде әр түрсі екі тең бөліктен тұратын EKDM тік төртбұрышын пайдаланып түсіндіруге болады.

Кестелік жағдайларға келтіру мүмкін болса, қосындыны санға бөлуді екі тәсілмен:

1. қосыныдының мәнін санға бөлу арқылы;
2. қосылғыштарды жеке-жеке санға бөліп, бөлінділер мәндерінің қосындысын табу арқылы жүргізуге болады.

Ал қосындының мәнін санға бөлу қиындық келтіретін жағдайларда қосылғыштарды жеке-жеке санға бөліп, бөлінділер мәндерінің қосындысын табумен шектелу керек. Ал қосылғыштар санға жеке-жеке бөлінбеген жағдайларда олардың қосындыларының мәнін санға бөлуге тура келеді.

Қосындыны құрайтын қосылғыштар әр түрлі болуы мүмкін:

1. ондықтар мен бірліктердің әрқайсысы, сондай-ақ жүздіктер, ондықтар мен бірліктердің әрқайсысы, яғни разрядтық қосылғыштары санға бөлінеді;
2. қосылғыштар кез келген сандар (ондықтар және тағы екі таңбалы сан, жүздіктер мен ондықтар және екі таңбалы сан және т.б.) және олардың әрқайсысы, яғни ыңғайлы қосылғыштар санға бөлінеді.

Санды разрядтық қосылғыштардың қосындысын (егер олардың әрқайсысы санға бөлінсе) келтіреді немесе санды ыңғайлы қосылғыштардың қосындысына (егер разрядтық қосылғыштар санға бөлінсе) келтіреді.

Қосындыны санға көбейту мен бөлу тәсілдеріне негізделген ауызша есептеулер біртіндеп күрделене түсетін ретпен қарастырылады.

 34 * 2 және 68 : 2 – бірліктерді көбейткенде қосымша ондық шықпайды, бөлінгіш  - разрядтық қосылғыштардың қосындысына келтіріледі;

16 * 5 және 80 : 5 – бірліктерді  көбейткенде қосымша ондық шығады және бірлік нөлге тең болады, бөлінгіш ыңғайлы қосылғыштардың қосындысына келтіріледі;

26 * 3 және 78 : 3 – бірліктерді көбейткенде қосымша ондық шығады және бірлік нөлден өзгеше, бөлінгіш ыңғайлы қосылғыштардың қосындысына келтіріледі;

32 * 5 және 160 : 5 – бірліктерді  көбейткенде қосымша ондық шығады  және бірлік нөлге тең және  ондықтарды көбейткенде қосымша  жүздік шығады, бөлінгіш ыңғайлы қосылғыштардың қосындысына келтіріледі.

Жоғарыда айтылғандай, әр жағдайдың өзіндік ерекшелігі бар. Дегенмен ауызша көбейту де, бөлу де жоғары разрядтан бастап орындалады. Егер екі таңбалы санды бір таңбалы санға көбейту керек болса, онда алдымен оның ондықтарын, содан кейін бірліктерін санға көбейтіп, шыққан нәтижелерді қосу керек. Егер үш таңбалы санды бір таңбалы санға көбейту керек болса, онда оның жүздіктерін, ондықтарын және бірліктерін жеке-жеке санға көбейтіп алып, шыққан нәтижелерді қосу керек.

Ал екі таңбалы санды бір таңбалы санға бөлу үшін, оның ондықтары және бірліктері бөлінсе, біртіндеп бөліп, шыққан нәтижелерді қосу керек, ал егер оның ондықтары бөлінбесе, онда алдымен одан аспайтын және осы санға бөлінетін ең үлкен ондықтарды, содан соң қалған ондықтардан және бірліктерден құралатын санды біртіндеп бөліп, шыққан нәтижелерді қосу керек.

Ал үш таңбалы санды бір таңбалы санға бөлу үшін оның жүздіктері, ондықтары және бірліктері бөлінсе, біртіндеп бөліп, шыққан нәтижелерді қосу керек. Егер оның жүздіктері бөлінбесе, онда алдымен одан аспайтын және осы санға бөлінетін ең үлкен жүздіктерді, содан соң қалған жүздіктерден жүздіктерден және ондықтардан құралатын барлық ондықтарды (егер бөлінсе, ал егер бөлінбесе, одан аспайтын және осы санға бөлінетін ең үлкен ондықтарды және ең соңында қалған ондықтар мен бірліктерден құралатын санды), бірліктерді санға біртіндеп бөліп, шыққан нәтижелерді қосу керек.

Екі таңбалы санды екі таңбалы санға бөлуді ауызша орындау «сынап көру» тәсілімен жүзеге асырылады. Мұнда бір таңбалы сандарды кішісінен бастап біртіндеп сынап көреді, яғни екі таңбалы бөлгішті бір таңбалы санға ауызша көбейтіп, бөлінгіштің шығатынына көз жеткізеді. «Сынап көру» дұрыс жауап табылғанша жалғастырылады.

Көбейту амалы қатесіз орындалып, бөлгішті бір таңбалы санға көбейткенде бөлінгіш шықса, соол сан бөліндінің мәні болып табылады.

Қалдықпен бөлу жаңа ұғым қатарына жатпайды. Екі таңбалы санды бір таңбалы санға қалдықпен бөлу, бөлінгіштен кем бөлгішке бөлінетін кестелік сандарының ішінен үлкенін анықтау қажет. Осы үлкен санды берілген екі таңбалы саннан азайтқанда шығатын айырма бөлінгіштен аспайды. Мәселен, 39 : 7 , 39-дан кем және 7-ге бөлінетін кестелік сандар: 14, 21, 28, 35. Осы сандардың ең үлкені 35 және 35 : 7= 5,  39 – 35 =4. Демек, 39 : 7 – 5 (қалд. 4). Тексеру: 7 * 5+4=39.

Қалдықпен бөлу  - ілгеріде қарастырылатын бөлу алгоритмінің (жазбаша бөлудің) ең негізгі кезеңдерінің бірі. Ендеше, оған машықтандыру – бөлудің дұрыс және шапшаң орындаудың алғы шарттарының бірі. Осыны ескерген жөн. Өйткені, осы арқылы үш таңбалы санды бір таңбалы санға жазбаша бөлуді оқытып – үйретуге дайындық жасалады. Қалдықтың бөлгіштен кем болуы ескеруі қажет.

 

 

 

Ауызша көбейту мен бөлудің тәсілдері амалдарды орындаудың кестелік жағдайларына, нөл мен бірдің қасиеттеріне және  қосындыны  санға көбейту мен бөлу ережелеріне негізделе енгізіледі.

1. 0, 1, 10, 100 сандарын көбейту мен бөлудің ерекше жағдайлары.

1. Теңдіктерді салыстыру негізі:

3 * 1=3,     5 * 1=5,    10 * 1=10,   100 * 1=100,  999 * 1=999

қорытынды жасалады: кез келген санды 1-ге көбейткенде сол санның өзі шығады.

3 * 0=0,     5 * 0 =0,   10 * 0=0,   100 * 0=0,    999 * 0=0 

қорытынды жасалады: кез келген санды 0-ге көбейткенде нөл шығады.

2. Бірдей қосылғыштарды қосу ретіндегі көбейтудің анықтамасы.