Повышение вычислительной культуры учащихся

1) .

Как мы видим, данный способ дает возможность быстрее умножать и делить целое число на дробь, чем обычный способ, а поэтому следует разобранный способ использовать при умножении или делении целого числа на дробь.

2.1.2 Проценты

Устное  нахождение процентов  числа и числа по данным его процентам

Устное нахождение 5%, 25%; 12,5% числа и т.п., а также  числа по данным его процентам  основано на умножении и делении  на дроби 0,05; 0,25; 0,125 и т.п.

а) Нахождение процента от числа.

1) Найти 25% от 468.

. Но можно  заменить 25% и обыкновенной дробью. Этот пример можно решить так: .

2) Найти 12,5% от 728.

Можно 12,5% заменить обыкновенной дробью: .

б) Нахождение числа  по данным его процентам.

Найти число, если 5% его равны 492.

.

Как видим, способ замены процентов обыкновенной дробью иногда дает возможность быстрее производить вычисления, чем умножением на десятичную дробь.

2.1.3 Нахождение  квадратов числа

1. Таблица квадратов целых чисел от 1 до 25 включительно.

На основании  того, что суммы последовательных нечетных чисел: 
1 + 3 = 4; 1 + 3 + 5 = 9; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 и т.д. - представляют собой ряд квадратов, разработаны следующие способы составления таблицы квадратов.

а) Первый способ составления таблицы квадратов  чисел от 1 до 25.

Числа	Квадраты чисел
целые	нечетные
1	1	1
2	3	4
3	5	9
4	7	16
5	9	25
6	11	36
7	13	49
8	15	64
9	17	81
10	19	100
11	21	121
12	23	144
13	25	169
14	27	196
15	29	225
16	31	256
17	33	289
18	35	324
19	37	361
20	39	400
21	41	441
22	43	484
23	45	529
24	47	576
25	49	625

В первой колонке  написан ряд последовательных целых  чисел, начиная с единицы. Во второй колонке написан ряд нечетных чисел, начиная с 1. Третья колонка  содержит ряд квадратов целых  чисел, указанных в первой колонке.

Таблица составляется следующим образом: в первой строке пишут число 1; этот первый квадрат прибавляют к нечетному числу следующей строчки из второй колонки и получают второй квадрат 4. Прибавляя 4 к третьему нечетному числу (5) из второй колонки, получаем 3², т.е. 9. Вообще, квадрат числа есть сумма нечетного числа, которое стоит в одной с ним строке и непосредственно предшествующего квадрата. В одной и той же строке слева направо расположены: 1) целое число; 2) нечетное число, для которого это целое число служит номером в ряде нечетных чисел; 3) квадрат целого числа.

б) Второй способ составления таблицы квадратов  чисел от 1 до 25.

В первой вертикальной колонке пишутся по порядку целые  числа, начиная с единицы. Во второй колонке пишется ряд нечетных чисел, начиная с 3. В третьей колонке, которая должна содержать ряд, квадратов всех целых чисел, пишется сначала квадрат 1, т.е. единица. Чтобы получить каждый из следующих квадратов, прибавляют к последнему числу третьей колонки то нечетное число, которое стоит слева от него, во второй колонке. Каждое из чисел третьей колонки есть квадрат соответствующего числа первой колонки.

Числа	Квадраты чисел
целые	нечетные
1	3	1
2	5	4
3	7	9
4	9	16
5	11	25
6	13	36
7	15	49
8	17	64
9	19	81
10	21	100
11	23	121
12	25	144
13	27	169
14	29	196
15	31	225
16	33	256
17	35	289
18	37	324
19	39	361
20	41	400
21	43	441
22	45	484
23	47	529
24	49	576
25	51	625

Числа	Квадраты чисел
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100
11	121
12	144
13	169
14	196
15	225
16	256
17	289
18	324
19	361
20	400
21	441
22	484
23	529
24	576
25	625

в) Третий способ составления таблицы квадратов  чисел.

Квадраты чисел  от 1 до 10 включительно определяем по таблице умножения: в первой колонке пишем числа, во второй - их квадраты. Чтобы получить квадрат следующего числа, к квадрату данного числа прибавляем сумму данного числа и следующего числа. Рассмотрим на числовых примерах.

1) квадрат числа  11 равен 100 + (10+ 11)= 121;

2) квадрат числа  12 равен 121 + (11 + 12) = 144 и т.д.

Объяснение этого  способа нахождения квадрата числа  следующее:

(k + 1)² = k² + 2k * 1 + 1² = k² + [k + (k + 1)].

3) 75² = 5625. 76² = (75 +1)² = 75² + [75 + (75 + 1)] = 75² +  
+ (75 + 76) = 5625 + 151 = 5776. Получаем 76² = 5776.

2. Возведение в квадрат и умножение с помощью формул сокращенного умножения.

а) Вычисления по формуле .

.

б) Вычисления по формуле .

.

в) Особенно полезным оказывается применение в устных вычислениях формулы .

1) .

2) .

3. Устное возведение в квадрат смешанных чисел. Случаи возведения в степень смешанного числа по формулам сокращенного умножения.

а) Квадрат смешанного числа с дробью . Чтобы возвести в квадрат смешанное число с дробью , достаточно умножить целую часть числа на число, единицей большее, и к произведению приписать .

Дано: число  k + , где k - целое. Доказать: (k + )² = k (k + 1) + .

Доказательство: (k + )² = k² + 2 * k * + = k² + k + = k (k + 1) + .

б) Квадрат смешанного числа с дробью . Чтобы возвести в квадрат смешанное число с дробью , достаточно возвести в квадрат целую часть этого числа, затем прибавить ее половину и, наконец, к полученной сумме прибавить , если целая часть - четное число. Если же целая часть - нечетное число, то к квадрату целой части прибавляется половина числа, на единицу меньшего данной целой части смешанного числа, и к сумме прибавляется .

1) Дано: число  k + , где k - четное число. Доказать: (k + )² = k² + + .

Доказательство: (k + )² = k² + 2 * k * + = k² + + .

2) Дано: число k + , где k - нечетное число. Доказать: (k + )² = k² + + + (в данном случае k' на единицу меньше числа k).

Доказательство: k = k' + 1, следовательно,

(k + )² = k² + + = k² + + + = k² + + .

1) k - четное число

.

2) k - нечетное число

.

2.2 Приемы устных вычислений, основанные на законах и свойствах арифметических действий

2.2.1 Сложение

1. Замена нескольких слагаемых их суммой (сочетательный закон).

1) 187 + 247 + 153 = 187 + (247 + 153) (группу слагаемых заключаем  в скобки и складываем, на основании сочетательного закона) = 187 + 400 = 587.

2) 16,53 + 4,47 + 9,84 = (16,53 + 4,47) + 9,84 = 21 + 9,84 = 30,84.

2. Перестановка слагаемых (переместительный закон).

1) 238 + 487 + 362 = 238 + 362 + 487 (делаем перестановку слагаемых,  применяя переместительный закон, чтобы получить круглое число при сложении) = (238 + 362) + 487 (группу слагаемых заключаем в скобки и складываем на основании закона сочетательности) = 600 + 487 = 1087.

2) 3,57 + 4,68 + 6,43 = 3,57 + 6,43 + 4,68 = (3,57 + 6,43) + 4,68 = 14,68.

3) 235 + 47 + 7 + 265 + 3 + 53 = 235 + 265 + 47 + 53 + 7 + 3 = (235 + 265) + (47 + 53) + (7 + 3) = 500 + 100 + 10 = 610.

4) 8,3 + 3,85 + 9,7 + 5,15 + 2,25 = 8,3 + 9,7 + 3,85 + 5,15 + 2,25 = (8,3 + 9,7) + (3,85 + 5,15) + 2,25 = 18 + 9 + 2,25 = 29,25.

Близок к указанному способу прием перемещения единиц. Например:

1) 1347 + 2235 = 1347 + 33 + 2202 = (1347 + 33) + 2202 = 1380 + 2202 = 3582.

2) 13,98 + 7,12 = 13,98 + 0,02 + 7,1 = (13,98 + 0,02) + + 7,1 = 14 + 7,1 = 21,1.

Для упрощения  вычислений мы разбивали слагаемое на части с целью привести вычисления к сложению целых чисел или круглых десятков, применяя сочетательный закон.

3. Прибавление суммы к числу.

1) 384 + (416 + 548) = 384 + 416 + 548 (на основании следствия  сочетательного закона) = (384 + 416) + 548 (сочетательный закон) = 800 + 548 (правило порядка действий) = 1348.

Итак, правило  прибавления суммы можно сформулировать следующим образом: чтобы прибавить  к числу сумму, достаточно прибавить  к нему одно за другим все слагаемые.

2) 3,64 + (4,36 + 9,78) = 3,64 + 4,36 + 9,78 = (3,64 + 4,36) + 9,78 = 8 + 9,78.

4. Прибавление числа к сумме.

1) (337 + 488) + 663 =663 + (337 + 488) (переместительный закон) = 663+ + 337 + 488 (правило прибавления суммы) = (663 + 337) + 488 (сочетательный закон) = 1000 + 488 = 1488.

Примененное здесь  свойство сложения формулируется так: чтобы к сумме чисел прибавить  число, достаточно прибавить его  к одному из слагаемых.

2) (4,55 + 6,89) + 5,45 = (4,55 + 5.45) + 6,89 = 10 + 6,89 = 16,89.

5. Прибавление к сумме другой суммы.

1) (327 + 684 + 168) +(473 + 316 + 132) = (327 +684 + 168) + 473 + 316 + + 132 = 327 + 684 + 168 + 473 + 316 + 132 (правило прибавления суммы к числу) = 327 + 473 + 684 +316 +168 + 132 (переместительный закон) = (327 + 473) + + (684 + 316) + (168 + 132) (сочетательный закон) = 800 + 1000 + 300 = 2100.