Особенности изучения величин в курсе Э.И. Александровой

Таким образом, к концу дочислового периода у учащихся складывается содержательное расчлененное представление о величинах, их свойствах, операциях над ними (сравнение, сложение, вычитание), свойствах этих операций, свойствах равенствах, неравенств. Формируются умения решать уравнения и задачи в буквенно – знаковой форме, складываются благоприятные предпосылки для формирования у учащихся понятия области допустимых значений переменных, входящих в математическое выражение, уравнение или текстовую задачу.

1. Числовой период начинается  с решения задачи опосредованного сравнения величин:

Опосредованного сравнения величин, где в качестве посредника первоначально выступает мерка, равная одной из сравниваемых величин (отчасти этот способ сравнения уже применялся детьми раньше), а затем и число, которое месте с меркой (сначала меньшей, чем заданная величина) служит средством для воспроизведения такой же величины в другом месте или в другое время.

2. Задача измерения  – отмеривания ставит перед  детьми новые вопросы: какие предметы  можно использовать в качестве той или иной мерки, а какие нельзя или неудобно, какое из свойств предмета может участвовать при использовании его для измерения.

Эта исследовательская задача приводит к оценке соотношения между величиной и меркой, когда мерка либо намного меньше измеряемой величины, что делает ее неудобной – появляются составные мерки, либо больше, а иногда мерка вообще непригодна для измерения.

3. Исследование вопроса о том, какие бывают мерки, завершает  изучение понятия величины в  первом классе и приводит к  исследованию во втором классе вопроса о том, какие бывают числа, т.е. как в разное время разные люди записывали и называли числа, которые появились в процессе измерения и служат для построения нужной величины.

4. Программа 2–го класса начинается  с измерения – отмеривания и позволяет рассмотреть исторический аспект числа: от его меточной формы до арабских цифр. Рассматривается устная и письменная нумерация разных народов. Это позволяет развести в сознании ребенка смысл числа как отношения величин и цифры как знака для его обозначения (приводится аналогия между звуком и буквой в русском языке).

Измеряя, отмеривая различные величины, дети приходят к необходимости «изобретения» измерительных приборов со шкалами, а, следовательно, и к «изобретению» числовой прямой, числового луча и других числовых линий, которые характеризуются началом отсчета, направлением и единичной (исходной, основной) меркой. Процесс построения числовой прямой дает представление об упорядоченном бесконечном ряде чисел, в котором каждое число имеет собственное место, и таким образом дает возможность использовать порядковый аспект числа с опорой на его основные свойства.

Количественный аспект числа выражается результатом измерения величины меркой того же рода. Исследуется зависимость между величиной, меркой и числом. Теперь число отвечает на вопрос: «Сколько мерок Е содержится в величине А?», т.е. является характеристикой величины А. так у учащихся формируется понятие числа. Теперь можно сравнивать величины по их числовым характеристикам без построения самих величин. Это приводит к необходимости выполнения операции сравнения чисел.

5. В следующей учебной задаче (2 класс) рассматривается ситуация, когда величина оказывается намного больше мерки, что приводит к необходимости использования для измерения системы мерок. Представление о многозначном числе формируется в рамках задачи измерения величины  системой мерок с заданным или выбранным отношением, где сначала определяется количество необходимых для измерения мерок (это значит, становится известным, сколько цифр будет в записи числа), а лишь затем производится сама операция измерения (это значит, определяется цифра каждого разряда).

6. В 4–м классе продолжается  знакомство с числами, а именно, с десятичными дробями как  частным случаем позиционных  систематических дробей в различных системах счисления. Таким образом, эта учебная задача связана с измерением и восстановлением величины значительно меньшей исходной (основной) мерки.

Такая логика построения материала, когда после действий с многозначными числами появляются подобные им по способу их получения и способу действий с ними позиционные систематические дроби, позволяет гораздо глубже понять обобщенный принцип образования позиционных чисел.

7. Особое место в программе 4–го  класса принадлежит уже известным  детям с 1- го класса понятиям периметра, площади, объема и способам их нахождения. Возврат к этим понятиям обусловлен необходимостью перехода от непосредственного измерения величин с помощью заданных мерок, включая стандартные меры, к использованию готовых результатов измерения. Такой подход позволяет осмыслить основные принципы, лежащие в основе способов нахождения периметров, площадей и объемов геометрических фигур, углубляя тем самым известные геометрические понятия и открывая новые.

4. Этапы работы  над величинами.

Этапы изучения величин соответствуют последовательности постановки и решения учебных задач.

I этап (дочисловой период). Величина, отношения величин.

1. Последовательно рассматриваются  свойства предметов, которые являются  величинами в противопоставлении с теми, которые нельзя называть величиной (цвет, форма, вкус, материал и др.). Величины: длина (ширина, высота), площадь, периметр, объем, количество, масса и др.

2. Предметы сравниваются по этим  признакам и устанавливают отношения  равенства и неравенства между величинами.

3. Моделирование: предметное (полоски), графическое (копирующий рисунок, отрезки), знаковое («=», «¹») и с помощью букв и знаков (А = В,  А > В, А < В и т.п.) отношений равенства и неравенства величин.

4. Класс величин. Сравнение величин с помощью посредника, равного одной из них. Транзитивность отношений «равно» (если А = В и В = С, то А = С), «больше», «меньше» (если А > В и В > С, то А > С; если А < В и В < С, то А < С).

5. Переход от действий с предметами  к схеме и формуле. Восстановление схемы по формуле и наоборот. Преобразования схем и формул. Связь между ними.

6. Сравнение «по красоте» способов  написания цифры 1. классификация всех цифр на основании сравнения их по составу элементов и форме на три группы:

а) цифры 1, 4, 7;

б) цифры 3, 5, 2;

в) цифры 6, 9, 8 и 0 и их последующее написание.

II этап сложение и вычитание величин (дочисловой период):

1. Сложение и вычитание величин  как  способ перехода от неравенства  к равенству и наоборот.

Три способа уравнивания величин. Введение знаков «плюс» и «минус». Выбор способа уравнивания в зависимости от условий его выполнения. Описание операции уравнивания  с помощью схем и формул. Связь между схемой и формулой. Изменение схемы при изменении формулы и наоборот, тождественные преобразования формул.

2. Сложение и вычитание величин  как способ решения задачи  на восстановление целого или  части.

Понятие части и целого. Моделирование отношений между частями и целым в виде схемы, формулы и записи с помощью «лучиков» (знаково-графический запись):

                                                                                        К             Величина А состоит из трех частей В, С и D

                                                                                        М                (В+С)+D= К+D=А

 

                                                                                                           B+(C+D)= D+M=A

 

                                             Рис.6

 

 

Взаимопереходы от одних средств фиксации отношений к другим. Введение специальных обозначений для части и целого:                                      C=A+B=B+A

                                                                                                         C-B=A

+ =                                                                                            C-A=B

                                                                                                                                                       A              B

 

              Рис.7                                                                                                                                       C

                                                                    Рис.8

 

Названия компонентов при сложении и вычитании и их связь с понятием части и целого.

III этап. Введение понятия числа (2 класс).

1. Переход от непосредственного  сравнения величин к опосредованному.

Сравнение:

а) с помощью посредника, равного одной из сравниваемых величин (на основе транзитивности отношений);

б) с помощью мерки для измерения сравниваемых величин, благодаря которой обнаруживается кратность отношений: и , где А и В сравниваемые величины, а Е – третья величина того же рода, т.е. мерка.

Подбор мерок, удобных для измерения данной величины, и подбор величин, удобных для измерения данной меркой. Простые и составные мерки.

Подбор подходящих предметов, используемых в качестве мерки.

Инструменты: циркуль, линейка, угольник. Ознакомление со стандартными мерами длины, площади, объема, массы, величины углов.

Знакомство с другими видами величин: время, скорость, стоимость.

2. Действие измерения.

Число как результат измерения величины и как средство для ее восстановления. Компоненты действия измерения: величина (А), мерка (Е), число (n) и связь между ними. Запись числа как результата измерения и счета с помощью меток, считалок и с помощью цифр в различных нумерациях (арабская, римская, славянская и др.).

Построение величины по мерке и числу; подбор и изготовление мерки по заданной величине и числу. Зависимость одного из трех компонентов ( = n) от изменения другого при постоянном третьем (фактически речь идет о функциональной зависимости).

3.Числовая прямая.

Сравнение величин с помощью числовых значений. Построение числовой прямой. Изображение чисел на числовой прямой (отрезком и точкой). Понятие шкалы. Знакомство с приборами и предметами, имеющими шкалы: линейка, весы, часы, мерные емкости, динамометр, спидометр, термометр, транспортир и др.

IV этап. Многозначные числа (2-3 классы).

Набор и система мерок. Позиционные системы счисления (многозначное позиционное число как результат измерения величины системой мерок), в частности, - десятичная система счисления. Сложение и вычитание многозначных чисел. Табличное сложение и вычитание.

Умножение и деление (3 класс): понятие, свойства, умножение и деление многозначных чисел.

V этап. Десятичные дроби (4 класс).

Как частный случай позиционных систематических дробей. Измерение величины меньшей, чем заданная исходная мерка. Запись результат измерения табличной формой, введение запятой. Действия с десятичными дробями.

VI этап.  Стандартные системы мер, используемые для измерения величин.

Десятичные дроби и стандартные системы мерю перевод одних мер в другие. Меры длины, площади, массы, объема.

Деньги как мера стоимости. Валюта в России, Америке, странах СНГ. Курс одних величин по отношению к другим. Стандартные меры измерения времени: век, год, месяц, сутки, час, минута, секунда. Стандартные меры измерения углов: градус, минута, секунда, радиан.

VII этап. Периметр, площадь, объем.

Сравнение фигур по периметру, площади, объему. Нахождение этих величин по формулам. Решение задач с геометрическими величинами.