Методы аппроксимации

1. Методы расчета линейных систем регулировании

1.1 Методы аппроксимации линейной характеристики объекта

1.1.1 Метод Симою (Метод площадей)

Передаточную функцию  регулируемого объекта можно  определить по кривой разгона методом  Симою. При этом передаточная функция статического объекта:

       .

                              (1)

где -постоянные коэффициенты ;

-безразмерная передаточная функция.

 

Коэффициент k_об, следует определить по статической характеристики ,

Время запаздывания τ определяется по кривой переходного процесса и равно времени, в течении которого выходная координата объекта близка к нулю. После смещения начала координат экспериментальной переходной функции на величину τ и изменения значений ординат на k_об, обозначим новую кривую σ(t). По новой переходной функции   σ(t) следует определить неизвестные коэффициенты  a₁,a₂, …,a_n; b₁,b₂,…b_m. М. П. Симою предложил для определения указанных ранее коэффициентов следующую систему уравнений:

.                                           (2)

В этой системе i=m+n и для всех i>n a_i=0, а для всех i >m b_i=0. Входящие в уравнения коэффициенты F₁,F₂,…F_i  вычисляются по следующим формулам:

,                        (3)

где θ=t/F₁; σ=Δx/Δy(∞)-отклонение выходной величины в безразмерном виде.

 

Таблица 1 . Расчет по методу площадей

 

Принята следующая последовательность расчета  для статического объекта:

1. Разбивают отрезок времени от момента нанесения возмущения до момента выхода величины x на установившееся значение на равные отрезки времени Δt так, чтобы на каждом участке кривая разгона мало отличалась от прямой. Разделив значение Δx в конце каждого интервала Δt на  Δx( ), получают безразмерные значения σ(iΔt), которые заносят в графу 3 таблицы 1.
2. Вычисляют  1 – σ(iΔt) и заносят значения в графу 4 таблицы 1.
3. Подсчитывают сумму чисел графы 4, т.е. величину .
4. Определяют площадь F1 по формуле .
5. Изменяют масштаб времени θ(iΔt)= iΔt/F1 и заносят значения в графу 5 таблицы 1.
6. В графу 6 записывают значение 1 – θ(iΔt).
7. В графу 7 заносят величину (1-θ)(1-σ), полученную перемножением величин граф 4 и 6.
8. Подсчитывают сумму чисел графы 7, т.е. величину .
9. Определяют площадь  F2 по формуле .
10. Рассчитывают и заносят в графу 8 величину 1 – 2θ + θ² /2.
11. Заносят в графу 9 величину (1-σ)( 1 – 2θ + θ² /2).
12. Подсчитывают сумму чисел графы 9.
13. Определяют площадь 3 по формуле

.

 Обычно  точность эксперимента не позволяет  использовать F4, F5 и др., поэтому останавливаются на определении F3.

14. Определяют вид передаточной функции.

1.1.2 Инженерные методы аппроксимации

Если переходная характеристика объекта имеет s-образную форму, то наклон, кривизна характеристики и её расстояние от оси ординат зависят от динамических свойств конкретного объекта (кривая 1 на рисунке 1).

Для практических расчетов системы управления таким объектом s-образную кривую переходного процесса, снятую при единичном, ступенчатом воздействии, достаточно охарактеризовать следующими параметрами, определяемыми непосредственно по графику:

1)передаточным коэффициентом  объекта k_о;

2)постоянной времени объекта  T_о;

3)полным запаздыванием t_о, которое складывается из чистого запаздывания t_ч и переходного запаздывания t_п, т.е.t_о = t_ч + t_п .

 

 

Рис. 1. Переходные характеристики реального объекта (кривая 1) и его приближенных моделей второго (кривая 2)  и первого (кривая 3) порядков с запаздыванием

a)Аппроксимация инерционным звеном первого порядка

В классе моделей первого  порядка s-образную характеристику можно приближенно заменить экспонентой с запаздыванием (см. рисунок 1, кривая 3). Параметры Т'_о и τ'_o передаточной функции

W_o(p) = k_oe^-pτ'°/(T'_op+ 1)

выбирают таким образом, чтобы экспонента пересекала аппроксимируемую кривую в двух точках и проходила в среднем наиболее близко к ней.

Очевидно, что такое математически  нестрогое требование может быть выполнено при разных сочетаниях параметров Т_о и τ'_о. Один из возможных способов определения параметров модели заключается в следующем. Полагают, что экспонента начинается в той же точке, что и характеристика модели с двумя одинаковыми постоянными времени (точка D'), т. е.

τ^'₀ ≈τ₀ -0.11T₀   ,

а постоянную времени принимают равной

Т_о' = 0,64Т_о.

б)Аппроксимация инерционным звеном второго порядка.

В классе моделей второго  порядка достаточно хорошее приближение  к s-образным переходным кривым дает передаточная функция с одинаковыми постоянными времени и запаздыванием:

где T_oi = T_o/2.72; τ^'₀ ≈τ₀ -τ_п; = τ₀ - 0,107 Т_о; τ_п — переходное запаздывание модели для n = 2. Параметры данной модели однозначно выражаются через параметры Т_о и τ₀ экспериментальной переходной характеристики.

Передаточной функции  соответствует кривая 2, которая  начинается в точке D' (см. рисунок 1). Очевидно, что при данном способе аппроксимации почти весь интервал то должен быть смоделирован как чистое запаздывание, т. е. τ_ч = τ'₀.

Модель является наиболее рациональной для рассматриваемых  объектов, так как, с одной стороны, она обеспечивает достаточно хорошую  аппроксимацию, а с другой, ее параметры  легко определяются по переходной характеристике.

Если на графике переходной функции объекта h₀(t) не просматривается характерный для s-образных кривых прямолинейный участок, а сама переходная кривая приближается к установившемуся значению h₀ (∞) = k₀ сравнительно медленно, пересекая вертикаль из точки В ниже значения h_o = 0,80 k₀, то более точную, чем модель, аппроксимацию может обеспечить передаточная функция с запаздыванием τ_ч и различными постоянными времени:

Постоянные времени Т₁ и T₂ определяют не через параметры Т_о и τ_п, а по некоторым характерным точкам графика переходного процесса.

В большинстве случаев  модель обеспечивает достаточную для  практических расчетов точность, если принять Т₀₁/Т₀₂ = = 0,5. При этом постоянные времени T₀₁ и T₀₂ определяют следующим образом: по ординате h (t₂) = 0,63 k_o экспериментальной переходной характеристики находят момент времени t₂, отсчитываемый от точки D (т. е. без учета чистого запаздывания τ_ч), а затем вычисляют T₀₂ = 0,64 t₂ и Т₀₁ = 0,5 Т₀₂. Такая аппроксимация целесообразна, когда h (0,5 t₂) > 0,3 k₀.

2. Метод динамической компенсации

Задача синтеза регулятора заключается  в нахождении передаточных функций  регулятора таких, чтобы замкнутая  система обладала эталонными динамическими  характеристиками. Таким образом, постановка рассматриваемой задачи полностью  совпадает с задачей синтеза  регуляторов в классе линейных систем. Предполагается, что неизменяемые элементы системы (объект управления) представляют собой  соединение линейных инерционных  и нелинейных безынерционных звеньев. При этом линейные элементы предполагаются минимально-фазовыми, а нелинейные — аналитическими функциями, имеющими обратные для всех возможных входных воздействий. Такое предположение обусловлено положениями принципа динамической  компенсации.

Поскольку предполагается, что заданы эталонная система, имеющая передаточную функцию  , и объект управления, описываемый передаточной функцией ,…, то задача синтеза сводится к нахождению передаточной функции регулятора i=1,2.

Рисунок 6- К постановке задачи синтеза регулятора.

 

Запишем формулы, связывающие передаточные функции замкнутой и разомкнутой систем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что в задаче синтеза  регулятора для передаточной функции  замкнутой системы должны быть выполнены  равенства:

находим:

 

Из последних соотношений легко  получить формулы, определяющие передаточную функцию  разомкнутой системы через передаточную функцию замкнутой системы:

Поскольку разомкнутая система  представляет собой последовательное соединение

регулятора и объекта управления, то справедливы зависимости:

Теперь легко найти  соотношения, определяющие передаточную функциию регулятора:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3 Динамические звенья

Динамическим  звеном называется элемент системы, обладающий определенными динамическими свойствами.

Рассмотрим основные звенья и их характеристики.

Усилительное  звено (безынерционное, пропорциональное). Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:

 (1)

или передаточной функцией:

(2)

При этом переходная функция усилительного  звена (рис. 1а) и его фун-кция веса (рис. 1б) соответственно имеют вид:

 

 

 

 

 

а)                                                                            б)

Рис. 1

Частотные характеристики звена (рис. 2) можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:

 

.

 

 

 

 

 

Рис. 2

 

Апериодическое (инерционное) звено. Апериодическим называют звено, которое описывается уравнением:

 (3)

или передаточной функцией:

(4)

где Т – постоянная времени звена, которая характеризует его инерционность, k – коэффициент передачи.

При этом переходная функция апериодического  звена (рис. 3а) и его функция веса (рис. 3б) соответственно имеют вид:

 

 

 

 

 

 

а)

Рис. 3

Интегрирующее звено. Интегрирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением:

 

 (5)

 

или передаточной функцией:

 

(6)

При этом переходная функция интегрирующего звена (рис. 4а) и его функция веса (рис. 4б) соответственно имеют вид:

 

 

 

 

 

а)                                                                                          б)

Рис. 4

Дифференцирующее  звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением:

 (7)

или передаточной функцией:

(8)

При этом переходная функция звена (рис. 5а) и его функция веса (рис. 5б) соответственно имеют вид:

 

 

 

 

 

 

Рис. 5

 

 

Колебательное звено.

Колебательным называют звено, которое описывается уравнением:

 

 (9)

или передаточной функцией:

(10)

 

где x – демпфирование (0 £ x £ 1).

Если x = 0, то демпфирование отсутствует (консервативное звено – без потерь), если x = 1, то имеем два апериодических звена.

При этом переходная функция звена  и его функция веса (рис. 6) соответственно имеют вид:

 

(11)

а)                                                      б)

Рис. 6

1.4 Устойчивость  САР

Устойчивость  САР

Понятие устойчивости системы  регулирования связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Понятие устойчивости можно  распространить и на случай движения САР:

• невозмущенное движение,
• возмущенное движение.

Определение устойчивости по М. Я. Ляпунову

Невозмущенное движение (при Δx_i∞=0) называется устойчивым по отношению к переменным x_i, если при всяком заданном положительном числе A², как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число λ²(A²) так, что для всех возмущенийΔx_i0, удовлетворяющих условию:

_i=0ⁿ∑(μ_i²(Δx_i0)²)≤λ²,

возмущенное движение будет  для времени t≥T удовлетворять неравенству:

_i=0ⁿ∑(μ_i²(Δx_i)²)≤A²,