Теория по математическому анализу

1) Игра - это упрощенная математическая модель в конкретной ситуации. Была разработана в начале 20-ого века Дж. Фон Нейманом.  Любая игра включает в себя следующие компоненты:

1. количество субъектов (участников  игры), которые участвуют в данной  ситуации.

2. набор возможных действий  для каждого игрока (стратегий).

3. функции выигрыша (платежа)/проигрыша, отражающие степень удовлетворенности  интересов каждого игрока.

4. результаты игры, к которым  привели выбранные игроками стратегии, которые определяют выигрыш и  проигрыш игроков. (Цена, сумма)

Суть игры состоит в том, что каждый участник принимает такое решение, которое, как он полагает, обеспечит ему наилучший исход. Исходом игры называется значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться в матричном или аналитическом виде.

Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроком.

Стратегия - это совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным. В зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Игра состоит из отдельный партий.

Партия- каждый вариант реализации игры. В партии игроки совершаю ходы.

Ход- это выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения.

Антагонистическая игра – игра двух лиц, когда один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой. В этой игре интересы игроков прямо противоположны друг другу. Суммарный выигрыш равен 0.

Оптимальной стратегией называется та, применение которой не уменьшает (не увеличивает) выигрыш (проигрыш) игрока, какими бы стратегиями не пользовался другой игрок.

Выбор оптимальной стратегии  основан на принципе осторожности: каждый игрок считает своего партнера по игре разумным противником и исходит из предположения, что другой игрок не упустит возможности воспользоваться его промахом. Это означает, что надо стараться уменьшить риск.

Следуя принципу осторожности, каждый из игроков анализирует:

1) первый игрок – какой минимальный выигрыш может быть получен (далее выбираем максимальный).

2) второй игрок – какой максимальный выигрыш может быть получен.

Оптимальность стратегии будет получена, если верхняя и нижняя цена игры совпадут, тогда же будет найдена седловая точка игры.

Седловая точка - точка, в которой значение функции двух переменных достигает максимума (maximum) в изменении в одних направлениях и минимума (minimum) в изменении в других направлениях.

Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии , то его выигрыш остается неизменным и равным цене игры, независимо от того, что делает другой игрок, если он не выходит за рамки своих активных стратегий.

Принцип, на котором основан поиск решения игры, называется минимакса.

В отличие от антагонистических игр, где интересы игроков прямо противоположны друг другу, в кооперативных игрокам выгодно объединяться.

Игра с непостоянной суммой называется кооперативной, если игроки в интересах получения большего выигрыша имеют возможность создавать коалиции.

I – множество игроков

V – цена игры

S– коалиции.

Смысл игры- получить большую прибыль.

Дележ – это вектор, возникающий как результат соглашения игроков, он является решением игры. Для того, чтобы правильно организовать игры, вводится понятие доминируемых дележей.

Сущностные характеристики игры. Специфика:

1 – участники игры стремятся  к кооперации, которая разрешена  правилами;

2 – критерий экономической  полезности может быть не едиственным для игроков, стремящихся к объединению;

3 – кроме игроков в  игре присутствует арбитр, в функции  которго входит нахождение дележа для участников рассматриваемого неантагонистического конфликта.

Прежде, чем найти дележ, арбитр формулирует систему принципов. В ходе игры все игроки придерживаются следующих правил:

1) Если все игроки одобрили  сформулировнные принципы, то впоследствии никто не может возражать против схемы дележа.

2) Если игроки не согласны, то каждый из них остается  при своей прибыли, выигрыше, который  могут получить самостоятельно.

Требования к дележу:

1) Дележ должен быть  справедливым по отношению к  каждому игроку

2) Дележ должен иметь  четкий алгоритм

3) Дележ должен быть  единственным, который удовлетворяет  этим требованиям.

 

2) Теория графов изучает математические объекты, которые можно изображать в виде рисунков или схем, содержащих точки и соединяющие их вершины. Точки называются вершинами, а соединяющие линии – ребрами. 
2 вершины, соединенные ребром называются – смежными. 
Для описания графа часто используют матрицу смежности, которая отражает, то,  как соединены в графе вершины.

Две смежные вершины называют граничными вершинами соединяющего их ребра. 
Графы бывают ориентированными и неориентированными. 
Ориентированный граф, между рёбрам которого присвоено направление.

Ребро, соединяющее две смежные вершины, называют ребром инцидентным этим вершинам.

Для каждого графа может быть построена таблица инцидентности (Таблица, где как столбцы, так и строки соответствуют вершинам графа)

Число ребер инцидентных вершине графа называют степенью вершины.

Теория Эйлера

∑degVi = 2m 

Сумма всех вершин графа = 2n

N – количество вершин

M – количество ребер

Следствие: в любом графе число нечетной степени – четно.

Последовательность смежных вершин графа и связывающих их ребер называют – цепью.

Каждая цепь состоит из звеньев (это две последовательные вершины цепи и связывающее их ребро)

Простой цепью называют цепь,  у которой все вершины различны.

Замкнутую цепь называют циклом. Связный неориентированный граф называется деревом.

Граф является деревом, если любые его две вершины связаны единой цепью.

Для построения минимального остовного дерева, на каждом шаге, рассматриваются все возможные случаи присоединения новой вершины к любой из возможных. (в качестве первой вершины может быть любая)

3) Динамическое программирование – это математический метод поиска оптимального управления, специально приспособленный к многошаговым процессам.

Решение задач математического программирования, которые могут быть представлены в виде многошагового (многоэтапного) процесса, составляет предмет динамического программирования. Вместе с этим динамическим программированием называют особый математический метод оптимизации решений, специально приспособленный к многошаговым процессам. Одна из особенностей метода динамического программирования состоит в том, что принятие решения по отношению к многошаговым процессам рассматривается не как единичный акт, а как целый комплекс взаимосвязанных решений. Эту последовательность взаимосвязанных решений называют стратегией. Цель оптимального планирования - выбрать стратегию, обеспечивающую получение наилучшего результата с точки зрения заранее выбранного критерия.

Суть метода динамического программирования состоит в том, что вместо поиска оптимального решения сразу для всей сложной задачи предпочитают находить оптимальные решения для нескольких более простых задач аналогичного содержания, на которые расчленяется исходная задача.

Другой важной особенностью метода динамического программирования является независимость оптимального решения, принимаемого на очередном шаге, от предыстории, т.е. от того, каким образом оптимизируемый процесс достиг теперешнего состояния. Оптимальное решение выбирается лишь с учетом факторов, характеризующих процесс в данный момент.

Динамическое программирование - это дальновидное планирование, планирование с учетом перспективы. Из всего сказанного следует, что поэтапное планирование многошагового процесса должно производиться так, чтобы при планировании каждого шага учитывалась не выгода, получаемая только на данном шаге, а общая выгода, получаемая по окончании всего процесса, и именно относительно общей выгоды производится оптимальное планирование.

4) Под названием транспортная задача объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены известным симплексным методом.

Симплекс метод – это алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Метод был разработан советским математиком Канторовичем Л. В. в 1939 г.

Цель транспортной задачи — нахождение оптимального плана перевозок, при котором все грузы будут вывезены, все заявки удовлетворены, а стоимость перевозок минимальна. Для классической транспортной задачи выделяют два типа задач: критерий стоимости (достижение минимума затрат на перевозку) или расстояний и критерий времени (затрачивается минимум времени на перевозку).

Основные свойства транспортной задачи: 
Математические модели любых транспортных задач ЛП обладают общими чертами, а именно,  
1) коэффициенты  целевой функции неотрицательны (стоимости перевозок не могут быть отрицательными величинами);  
2) коэффициенты правых частей ограничений неотрицательны (запасы и потребности продукта);  
3) коэффициенты в ограничениях принимают только два значения, это нули и единицы.

5) Страховым риском называют предполагаемое событие, на случай наступления, которого проводится страхование. События, определенные в качестве страховых рисков, могут, как произойти, так и не произойти.

Если событие, определенное в качестве страхового риска, произошло, то его называют страховым событием. 
Страховая премия может быть уплачена единовременно или в рассрочку при помощи страховых взносов. В случае уплаты страховой премии в рассрочку со страхователя взимается дополнительная комиссия. 
Страховой суммой называют денежную сумму, на которую в соответствии со страховым договором застрахованы риски. 
Размером ущерба называют стоимость, которая теряется в результате наступления страхового события. Размеры ущербов, вызываемых страховыми событиями, заранее не известны. 
Возмещением ущерба называют денежную сумму, которую выплачивает страховщик в результате возникновения страхового события.

Принцип страхового возмещения ущерба является одним из базисных страховых принципов и заключается в следующем: 
• Страховая сумма не может превышать реальной цены застрахованного объекта; 
• Размер ущерба не может превышать реальной цены застрахованного объекта; 
• Размер страхового возмещения ущерба не может превышать страховой суммы.

В страховых договорах используется несколько различных систем страхового возмещения ущерба, построенных на основе принципа страхового возмещения ущерба.

Системы страхования:

1. Возмещение ущерба по  системе первого риска.

• Ущерб, размер которого не превышает страховую сумму, возмещается в полном объеме
• Ущерб, размер которого превышает страховую сумму, возмещается в размере страховой суммы

2. Система пропорционального  возмещения ущерба в случае  неполного страхования.

Неполным страхованием называется страхование, при котором объект страхуется на сумму, меньшую его реальной стоимости, в этом случае страховое возмещение рассчитывается по формуле:

 

 

3. Система возмещения ущерба, предусматривающая франшизу.

Франшиза – определенная часть убытков страхователя, не подлежащая возмещению страховщиков в соответствии с условиями договора, может быть условной и безусловной.

При условной франшизе страховщик не возмещает ущерб, размер которого не превышает франшизы, если же размер превышает франшизу, он возмещается полностью.

Безусловная франшиза – страховщик не возмещает ущерб, размер которого не превышает франшизу, если же превышает – возмещается разница.

4. Страхование предпринимательского  риска по системе предельной  ответственности.

• Страхователь и страховщик на основе экспертного заключения статистических данных, накопленных за несколько лет, прогнозируют предприним. доход
• Если по прошествии указанного в договоре промежутка времени полученный от застрахованной предпринимательской деятельности доход не меньше прогнозируемого, то страховое возмещение не выплачивается
• В противном случае

 

 

а % от страховщика

5. Сострахование – система страхования ответственности, при которой объект страхования по одному страховому договору совместно с несколькими страховщиками.

Если в договоре не оговорено противное, то страховщики солидарно отвечают перед страхователем. Существует возможность возмещения из долей, принятых страховщиками. Для возмещения ущерба при состраховании может приниматься система 1-ого риска, пропорциональной ответственности и франшиза.

6. Двойное (множественное) страхование.

Система, при которой один и тот же объект страхуется по двум или более договорам несколькими страховщиками. 
Страховое возмещение ущерба вне зависимости от числа приобретенных страхователем полисов не может превышать размера ущерба, понесенного страхователем. 
1) Фабрика «Nestle» выпускает 4 вида продукции А1- Почемучка фрукт.лёд, А2 – Бон Пари"ДЖАНГЛИ", А3 - "48 КОПЕЕК" пломбир, А4 - Сэнд"Максибон", получая при этом прибыль. Её величина определяется состоянием спроса   B1, B2, B3. Элементы  матрицы характеризуют величину прибыли, которая соответствует выпуску продукции. Необходимо определить оптимальную стоимость выпускаемой продукции, продажа которых обеспечивает максимальную выручку.