Различные виды средних величин и соотношения между ними

В дискретном упорядоченном  ряду с нечётным числом членов медианой будет варианта, расположенная в  центре ряда.

Например: Стаж пяти рабочих  составил 2, 4, 7, 9 и 10 лет. В таком ряду медиана-7 лет, т.е. Ме=7 лет

Если дискретный упорядоченный  ряд состоит из чётного числа  членов, то медианой будет средняя  арифметическая из двух смежных вариант, стоящих в центре ряда.

Например: Стаж работы шести  рабочих составил 1, 3, 4, 5, 10 и 11лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 4 и 5. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда:

Ме = (4+5)/2 = 4,5 года

Чтобы определить медиану  для сгруппированных данных, необходимо считать накопленные частоты.

Например: По имеющимся данным определим медиану размера обуви

Таблица 6

Размер обуви	Количество  проданных пар	Сумма накопленных  частот
34	8	8
35	19	8+19=27
36	34	27+34=61
37	108	61+108=169
38	72	-
39	51	-
40	6	-
41	2	-
Итого	300

средний величина медиана  мода

Для определения медианы  надо подсчитать сумму накопленных  частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы  частот, превышающей половину суммы  частот ряда. В нашем примере сумма частот составила 300, её половина - 150. Накопленная сумма частот получилась равной 169. Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 37 и есть медиана ряда.

Если же сумма накопленных  частот против одной из вариант равна  точно половине суммы частот ряда, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Например: По имеющимся  данным определим медиану заработной платы рабочих

Таблица 7

Месячная заработная плата, тыс.руб.	Число рабочих, чел.	Сумма накопленных  частот
14,0	2	2
14,2	6	2+6=8
16,0	12	8+12=20
16,8	16	-
18,0	4	-
Итого:	40	-

Медиана будет равна:

Ме = (16,0+16,8)/2 = 16,4 тыс. руб.

Медиана интервального  вариационного ряда распределения  определяется по формуле:

Где ХМе - нижняя граница медианного интервала;

hMe - величина медианного интервала;

?f - сумма частот ряда;

fМе - частота медианного интервала;

18

Например: По имеющимся данным о распределении предприятий по численности промышленно - производственного персонала рассчитать медиану в интервальном вариационном ряду

Таблица 8

Группы предприятий  по численности ППП, чел.	Число предприятий	Сумма накопленных  частот
100-200	1	1
200-300	3	1+3=4
300-400	7	4+7=11
400-500	30	11+30=41
500-600	19	-
600-700	15	-
700-800	5
Итого:	80

Определим, прежде всего, медианный интервал. В данном примере  сумма накопленных частот, превышающих  половину суммы всех значений ряда, соответствует интервалу 400-500.Это  и есть медианный интервал, т.е. интервал, в котором находится медиана  ряда. Определим её значение:

Ме = 400+100х(80/2 -11)/30 = 400+96,66 = 496,66 чел.

Если же сумма накопленных  частот против одного из интервалов равна  точно половине суммы частот ряда, то медиана определяется по формуле:

где n - число единиц в совокупности.

Например: По имеющимся данным о распределении предприятий по численности промышленно - производственного персонала рассчитать медиану в интервальном вариационном ряду

Таблица 9

Группы предприятий  по численности ППП, чел.	Число предприятий	Сумма накопленных  частот
100-200	1	1
200-300	3	1+3=4
300-400	6	4+6=10
400-500	30	10+30=40
500-600	20	40+20=60
600-700	15	-
700-800	5
Итого:	80

Медиана рассчитывается следующим образом:

Ме = 500+100((80+1)/2 - 40)/20 = 502,5 чел.

Моду и медиану в  интервальном ряду можно определить графически:

- моду в дискретных  рядах - по полигону распределения;

- моду в интервальных  рядах - по гистограмме распределения;

- медиану - по кумуляте.

Мода интервального  ряда распределения определяется по гистограмме распределения определяют следующим образом.

Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который  является в данном случае модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника - с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Рисунок 2 - Графическое  определение моды по гистограмме

Медиана рассчитывается по кумуляте. Для её определения  из точки на шкале накопленных  частот (частостей), соответствующей 50%, проводится прямая, параллельная оси  абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной  прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Рисунок 3 - Графическое  определение медианы по кумуляте

Кроме моды и медианы  в вариантных рядах могут быть определены и другие структурные  характеристики - квантили.

Квантили предназначены  для более глубокого изучения структуры ряда распределения.

Квантиль - это значение признака, занимающее определенное место  в упорядоченной по данному признаку совокупности.

Предоставляют важную информацию о структуре вариационного ряда какого-либо признака. Вместе с медианой они делят вариационный ряд на 4 равные части. Квартилей две, их обозначают символами Q, верхняя и нижняя

20

квартиль. 25% значений меньше, чем нижняя квартиль, 75% значений меньше, чем верхняя квартиль.

Для расчёта квартили надо поделить вариационный ряд медианой на две равные части, а затем в  каждой из них найти медиану. К  примеру, если выборка состоит из 6 элементов, тогда за начальную квартиль выборки принимается второй элемент, а за нижнюю квартиль пятый элемент.

Различают следующие  виды квантилей:

- квартили - значения  признака, делящие упорядоченную  совокупность на четыре равные  части;

- децили - значения признака, делящие упорядоченную совокупность  на десять равных частей;

- перцентели - значения признака, делящие упорядоченную совокупность на сто равных частей.

Таким образом, для характеристики положения центра ряда распределения  можно использовать 3 показателя: среднее  значение признака, мода, медиана.

При выборе вида и формы  конкретного показателя центра распределения необходимо исходить из следующих рекомендаций:

- для устойчивых социально-экономических  процессов в качестве показателя  центра используют среднюю арифметическую.

Такие процессы характеризуются  симметричными распределениями, в  которых

;

- для неустойчивых  процессов положение центра распределения  характеризуется с помощью Mo или  Me.

Для асимметричных процессов  предпочтительной характеристикой  центра распределения является медиана, поскольку занимает положение между  средней арифметической и модой.

 

 

21

 

Заключение

Подводя итог можно сказать, что область применения и использования  средних величин в статистике довольно широка.

Средние величины - это  обобщающие показатели, в которых  находят выражения действие общих  условий, закономерность изучаемого явления. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного.

Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте, именно по - этому средняя имеет большое значение для выявления закономерностей присущих массовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях.

Отклонение индивидуального  от общего - проявление процесса развития. В отдельных единичных случаях  могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретных фактор, взятые на фоне средних величин, характеризует процесс развития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Характеристики этих уровней и их изменений во времени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, изменение благосостояния населения находит свое отражение в средних показателях заработной платы, доходов семьи в целом и по отдельным социальным группам, уровня потребления продуктов, товаров и услуг.

Средний показатель - это  значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковым оно является потому, что формируется в нормальных, естественных условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом. Средняя отображает объективное свойство явления. В действительности часто существует только отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотя понятие типичности явления и заимствуется из действительности.

Средняя величина является отражением значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той  же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков,

22

непосредственно не сравнимых  между собой, например средняя численность  населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.

Сочетание общих средних  с групповыми средними дает возможность  ограничить качественно однородные совокупности. Расчленяя массу объектов, составляющих то или иное сложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы, характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесс нарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходу позволяет выявить формирование новых социальных групп.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

Литература

1. Батурина И., Непринцева  Е. Производство и предложение.  Издержки и прибыль. \\ Жур. «Российский  экономический журнал». № 3., 2009, с. 119.

2. Беложецкий И.А. Прибыль предприятия. // Жур. «Финансы», № 3, 2009, с. 40.

3. Булатова А.С. Экономика:  Учебник. - М.: Изд-во БЕК. - 2008. - с. 632.

4. Вероятность. Примеры  и задачи: А. Шень - Москва, МЦНМО, 2009 г.- 64 с.

5. Долан Э. Дж., Линдсей  Д. Микроэкономика. - 2009. - с. 448.

6. Елисеева И.И. Общая  теория статистики: учебник для  вузов / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев;  под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы  и статистика, 2009. - 656 с.

7. Ефимова М.Р. Практикум  по общей теории статистики: учебное  пособие для вузов / М.Р. Ефимова и др. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 368 с.

8. Зубко Н.М. Экономическая  теория - Мн.: НТЦ АПИ. - 2008. - с. 311.

9. Емцов Р.Г., Лукин М.Ю. Микроэкономика: Учебник. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд-во ДИС. - 2009. - с. 320.

10. Эдвин Дж. Долан, Дейвид Е.  Линдсей. Рынок: микроэкономическая  модель. Пер. с англ. СПб.: 2010. - с. 224.

11. Хайман Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение. Пер. с  англ. М.: Финансы и статистика, 2008 г., т. 1 с. 116.

12. Кодацкий В.П. Проблемы формирования прибыли. // Жур. «Экономист», № 3, 2010, с. 49-60.

13. Общая теория статистики: Статистическая  методология в изучении коммерческой  деятельности: учебник для вузов  / О.Э. Башина и др.; под ред.  О.Э. Башиной, А.А. Спирина. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 440 с.

14. Салин В.Н. Курс теории статистики  для подготовки специалистов  финансово-экономического профиля:  учебник / В.Н. Салин, Э.Ю. Чурилова. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 480 с.