Различные виды средних величин и соотношения между ними

Средняя производительность труда = объем продукции, работ, услуг / Отработанное время

Средняя трудоемкость = отработанное время / объем продукции, работ, услуг

8

Средняя фондоемкость = Средняя  стоимость основных фондов / объем  продукции, работ и услуг

Средняя фондоотдача = объем продукции, работ и услуг / средняя стоимость основных фондов

Средняя фондовооруженность = средняя величина основных производственных фондов / среднесписочная численность  производственного персонала

Средний процент брака = (стоимость бракованной продукции / Стоимость всей произведенной продукции) * 100%

Перечисленные виды средних величин можно объединить общей формулой (среднее значение исследуемого явления):

m - показатель степени  средней величины;

х - текущее значение осредняемого признака;

n - число признаков.

В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних величин, если:

m = -1 - средняя гармоническая;

m = 0 - средняя геометрическая;

m = 1 - средняя арифметическая;

m = 2 - средняя квадратичная.

В экономике используется большое количество показателей, вычисляемых в виде средних величин. К примеру, интегральным показателем доходов работающих акционерного общества (АО) служит средний доход одного рабочего, который определяется отношением суммарного фонда заработной платы и выплат социального характера за определенный период (год, квартал, месяц) к итоговой численности рабочих АО.

Для рабочих с одинаковым уровнем доходов, например, сотрудников  бюджетной сферы и пенсионеров  по старости можно определить доли расходов на покупку продуктов питания. Так можно расчитать среднюю продолжительность рабочего дня, средний тарифный разряд рабочих, средний уровень производительности труда и т.д.

9

Правило мажорантности  средних: чем выше показатель степени m, тем больше величина средней.

Средняя арифметическая величина обладает следующими свойствами:

Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.

Если все значения признака (х) увеличить (уменьшить) в одно и то же число  К раз, то средняя увеличится (уменьшится) в К раз.

Если все значения признака (x) увеличить (уменьшить) на одно и то же число A, то средняя увеличится (уменьшится) на это же число А.

Если все значения весов (f) увеличить  или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя не изменится. 

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа. Если при замене индивидуальных величин  признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменную сумму квадратов  исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной. 

Одновременное использование некоторых  свойств позволяют упростить  расчет средней арифметической: можно  из всех значений признака вычесть  постоянную величину А, разности сократить  на общий множитель K, а все веса f разделить на одно и то же число и, по измененным данным, рассчитать среднюю. Затем, если полученное значение средней умножить на K, а к произведению прибавить А, то получим искомое значение средней арифметической по формуле:

Полученная, таким образом, преобразованная средняя, называется моментом первого порядка, а вышеизложенный способ расчета средней - способом моментов, или отсчетом от условного нуля.

Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины, в качестве значения признака в группах, принимают середины этих интервалов, то есть исходят из предположения о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака необходимо определять экспертным путем, исходя из сущности свойств признака и совокупности.

10

При отсутствии возможности  экспертной оценки, значения признака в открытых интервалах для нахождения недостающей границы открытого интервала, применяют размах (разность между значениями конца и начала интервала) соседнего интервала (принцип «соседа»). Иными словами - ширину (шаг) открытого интервала определяют по величине рядом стоящего интервала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

3. Практическое применение средних величин

Средние величины используются для нахождения уравнения регрессии.

Исходные данные показателей x и y, а также промежуточные расчеты  для нахождения коэффициентов уравнения  линейной регрессии представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Расчеты, необходимые для нахождения параметров регрессии

№	Надой молока на 1 корову (Y)	Продолжительность вегетативного периода(Х)	X*Y	X*X	Y*Y
1	3627	7	25389	49	13155129
2	3866	7	27062	49	14945956
3	3371	7	23597	49	11363641
4	4212	7	29484	49	17740944
5	4173	5	20865	25	17413929
6	3597	7	25179	49	12938409
7	3856	5	19280	25	14868736
8	4240	5	21200	25	17977600
9	3766	7	26362	49	14182756
10	2522	7	17654	49	6360484
11	3233	7	22631	49	10452289
12	3401	7	23807	49	11566801
13	3293	7	23051	49	10843849
14	3104	7	21728	49	9634816
15	3478	7	24346	49	12096484
16	4208	5,7	23985,6	32,49	17707264
17	4306	5	21530	25	18541636
18	3414	4,7	16045,8	22,09	11655396
19	2835	3,3	9355,5	10,89	8037225
20	3520	6	21120	36	12390400
21	2344	5	11720	25	5494336
22	2118	5	10590	25	4485924
23	1315	5	6575	25	1729225
24	2696	5	13480	25	7268416
25	3173	5	15865	25	10067929
26	1510	5	7550	25	2280100
27	3716	4,5	16722	20,25	13808656
28	3264	5	16320	25	10653696
29	3722	5	18610	25	13853284
30	3022	5	15110	25	9132484
31	3388	5	16940	25	11478544
32	4735	5	23675	25	22420225
33	1468	3,9	5725,2	15,21	2155024
34	2810	6	16860	36	7896100
35	2752	7	19264	49	7573504
36	2743	5,3	14537,9	28,09	7524049
37	3506	5	17530	25	12292036
38	1788	3,7	6615,6	13,69	3196944
39	4032	6,3	25401,6	39,69	16257024
40	2465	7	17255	49	6076225
41	2544	1,7	4324,8	2,89	6471936
Сумма	131133	229,1	744343	1343,29	445989405

Формула уравнения регрессии:

Найдем коэффициент регрессии a1

Линейное уравнение  регрессии: у = 183,7241х + 2171,751

2) Прежде, чем построить  эмпирическую и теоретическую  линии зависимости у от х,  построим таблицу значений.

Таблица 2 - Значения теоретической и эмпирической функций

№	Продолжительность вегетативного периода(Х)	Надой молока на 1 корову (Y)	Yтеор
1	7	3627	3457,82
2	7	3866	3457,82
3	7	3371	3457,82
4	7	4212	3457,82
5	5	4173	3090,372
6	7	3597	3457,82
7	5	3856	3090,372
8	5	4240	3090,372
9	7	3766	3457,82
10	7	2522	3457,82
11	7	3233	3457,82
12	7	3401	3457,82
13	7	3293	3457,82
14	7	3104	3457,82
15	7	3478	3457,82
16	5,7	4208	3218,979
17	5	4306	3090,372
18	4,7	3414	3035,255
19	3,3	2835	2778,041
20	6	3520	3274,096
21	5	2344	3090,372
22	5	2118	3090,372
23	5	1315	3090,372
24	5	2696	3090,372
25	5	3173	3090,372
26	5	1510	3090,372
27	4,5	3716	2998,51
28	5	3264	3090,372
29	5	3722	3090,372
30	5	3022	3090,372
31	5	3388	3090,372
32	5	4735	3090,372
33	3,9	1468	2888,275
34	6	2810	3274,096
35	7	2752	3457,82
36	5,3	2743	3145,489
37	5	3506	3090,372
38	3,7	1788	2851,531
39	6,3	4032	3329,213
40	7	2465	3457,82
41	1,7	2544	2484,082

Точки линейной регрессии  и эмпирические значения представлены на графике ниже (рис. 1).

Рисунок 1 - Эмпирические и теоретические значения

3) Линейный коэффициент  корреляции:

Связь между признаками прямая, несущественная.

4) Коэффициент детерминации:

R2 = (0,28*0,28)*100% = 7,84%

Коэффициент алиенации: А= 0,96

5) Рассчитаем ошибку  коэффициента корреляции и достоверность коэффициента.

Проверим значимость r с помощью критерия Стьюдента  при уровне значимости а=0,05

6) Коэффициент Спирмэна  будет невозможно правильно сравнить  с табличным значением, поскольку  объем выборки больше 40.

7) Коэффициент корреляции знаков Ферхена

Таблица 3 - Число  С, Н

№	Надой молока на 1 корову (Y)	Продолжительность вегетативного периода(Х)	Откл.Y	Откл.Х	С/Н
1	3627	7	+	+	1
2	3866	7	+	+	1
3	3371	7	+	+	1
4	4212	7	+	+	1
5	4173	5	+	-	0
6	3597	7	+	+	1
7	3856	5	+	-	0
8	4240	5	+	-	0
9	3766	7	+	+	1
10	2522	7	-	+	0
11	3233	7	+	+	1
12	3401	7	+	+	1
13	3293	7	+	+	1
14	3104	7	-	+	0
15	3478	7	+	+	1
16	4208	5,7	+	+	1
17	4306	5	+	-	0
18	3414	4,7	+	-	0
19	2835	3,3	-	-	1
20	3520	6	+	+	1
21	2344	5	-	-	1
22	2118	5	-	-	1
23	1315	5	-	-	1
24	2696	5	-	-	1
25	3173	5	-	-	1
26	1510	5	-	-	1
27	3716	4,5	+	-	0
28	3264	5	+	-	0
29	3722	5	+	-	0
30	3022	5	-	-	1
31	3388	5	+	-	0
32	4735	5	+	-	0
33	1468	3,9	-	-	1
34	2810	6	-	+	0
35	2752	7	-	+	0
36	2743	5,3	-	-	1
37	3506	5	+	-	0
38	1788	3,7	-	-	1
39	4032	6,3	+	+	1
40	2465	7	-	+	0
41	2544	1,7	+	-	0
Сред.	3198,366	5,587805	Сумма С	24

С=24; Н=41-24 = 17

Кф = (24-17)/41 = 0,17<0,3 => связь  несущественная

8) Коэффициент корреляции  показывает, что связь между продолжительностью  вегетативного периода и надоем  молока на 1 корову 

15

прямая, но несущественная. Коэффициент детерминации намного меньше 50%, следовательно, зависимость между двумя признаками слабая. По всем способам проверки значимости коэффициента детерминации было выяснено, что коэффициент линейной корреляции незначим.

Модой называется значение признака (варианта), чаще всего встречающееся в изучаемой совокупности. В дискретном ряду распределения модой будет варианта с наибольшей частотой.

Например: Распределение  проданной женской обуви по размерам характеризуется следующим образом:

Таблица 4 - Проданная  женская обувь по размерам

Размер обуви	34	35	36	37	38	39	40	41
Количество  проданных пар	8	19	34	108	72	51	6	2

В этом ряду распределения  модой является 37 размер, т.е. Мо = 37.

Для интервального ряда распределения мода определяется по формуле:

где ХMo - нижняя граница модального интервала;

hMo - величина модального интервала;

fMo - частота модального интервала;

fMo-1 и fMo+1 - частота интервала соответственно

предшествующего модальному и следующего за ним.

Например: Распределение  рабочих по стажу работы характеризуется следующими данными.

Таблица 5

Стаж работы, лет	до 2	2-4	4-6	6-8	8-10	10 и более
Число рабочих, чел.	4	23	20	35	11	7

Определить моду интервального  ряда распределения.

Мода интервального  ряда составляет:

16

Мо = 6+2х(35-20)/(35-20+35-11) = 6,77 года.

Мода всегда бывает несколько  неопределённой, т.к. она зависит  от величины групп и точного положения  границ групп. Мода широко применяется  в коммерческой практике при изучении покупательского спроса, при регистрации  цен и т.п.

Медианой в статистике называется варианта, расположенная в середине упорядоченного ряда данных, и которая делит статистическую совокупность на две равные части так, что у одной половины значения меньше медианы, а у другой половины - больше её. Для определения медианы необходимо построить ранжированный ряд, т.е. ряд в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака.