О формулах расчета идеального веса, индексах массы тела и сопутствующие вопросы

Видно, что из приведенных 4-х формул для мужчин три практически  дают одни результаты (идеальный вес для нормостеников), и лишь формула Габса отчего-то рассчитана на гиперстеников, при этом ближе к верхней границе веса.

 

Рисунок 8. Сравнение различных формул идеального веса для мужчин

 

На рисунке 9 приведены подобные же зависимости для женщин.

Рисунок 9. Сравнение различных формул идеального веса для женщин

 

Похоже, возможности простых линейных однопараметрических моделей исчерпаны. Из рисунка 1 ясно, что зависимости нелинейные. Переходим к нелинейным моделям. Аппроксимировать зависимости рисунка 1 не удается ни логарифмической, ни экспоненциальной функцией. Полиномиальные функции, несмотря на возможность хорошего приближения, отвергаются с ходу, поскольку трудно представить себе, что нечто внутри человека одновременно откликается на рост, рост в квадрате и рост в кубе, и на все это с чередующимися знаками.

Остается степенная  функция: , т.е. рост возводится в некоторую (пока неизвестную) степень b, и умножается на коэффициент a. Чтобы коэффициент a не был чрезмерно мал, рост лучше измерять не в сантиметрах, а в метрах. На рисунках 10 и 11 представлены статистические кривые и их аппроксимации степенной функцией, соответственно для мужчин и для женщин.

Рисунок 10. Аппроксимация идеального веса мужчин степенной функцией

Рисунок 11. Аппроксимация  идеального веса женщин степенной функцией

 

По сравнению с линейными приближениями табличные данные аппроксимируются гораздо лучше. Лучшее приближение фиксируется и достоверностью аппроксимации R², которая также вычисляется в программе MS Excel.  Сведем в таблицу значения a и b.

 

		Астеники		Нормостеники		Гиперстеники
		Нижняя	Верхняя	Нижняя	Верхняя	Нижняя	Верхняя
Мужчины	a	0,0033	0,0051	0,0035	0,0058	0,0043	0,0055
	b	1,9059	1,8286	1,9032	1,8149	1,8798	1,8470
Женщины	a	0,0019	0,0022	0,0025	0,0034	0,0026	0,0069
	b	1,9970	1,9762	1,9579	1,9050	1,9633	1,7907

 

Наиболее интересующие нас значения показателя степени колеблются в пределах 1,81–1,91 со средним значением 1,86 для мужчин и в пределах 1,79–2,00 со средним значением 1,93 для женщин. Если бы люди разного роста были строго пропорциональны в своих размерах и не различались по плотности (что определяется составом тела), вес возрастал бы пропорционально кубу роста, и показатель степени был бы равен 3. Показатель степени 1,86 отражает тот факт, что поперечные размеры людей увеличиваются в меньшей степени, чем продольные размеры, и если какой-то смысл еще имеют продольные пропорции (например, отношение длина ног/рост и т.п.) или поперечные пропорции (например, отношение окружность талии/окружность бедер), то эталоны каких-либо соотношений между поперечными и продольными размерами (например, окружность талии/рост и т.п.) бессмысленны даже для людей одного типа телосложения. Так, при вычисленных степенных коэффициентах при увеличении роста (продольных размеров) на 15% вес, как у мужчин, так и женщин,  увеличивается на 30–31%, а поперечные размеры увеличиваются всего лишь на 6–7%, и тем самым все отношения обхватов к росту уменьшаются на 7–8%. Сказанное справедливо, разумеется, лишь при сравнении людей с одинаковым телосложением. Примером показателя, где поперечные размеры сравниваются с продольными, является показатель Эрисмана, равный разности между окружностью грудной клетки и половиной роста. Русский врач А.К. Анохин также предлагал оценивать физическое развитие человека в зависимости от пропорций его тела. Так, согласно ему, отношение талия/рост должно равняться 0,44. А знаменитое соотношение "Человек с распростертыми руками вписывается в квадрат" никогда никем статистически не проверялось и является мифом, в который можно верить или нет, в зависимости от принятых допусков.

Исключая из рассмотрения индексы с нецелочисленным значением коэффициента b, имеем 2 варианта конструирования индекса, связывающего вес и рост, а именно: полагать или . Интуитивно мы чувствуем, что значение лучше, поскольку значительно ближе к истинному значению, чем . При имеем , и . Значение a из этой формулы носит название весо-ростового индекса Кетле, и принято получать его, деля вес в граммах на рост в сантиметрах. Найдем по методу наименьших квадратов индекс Кетле для 6 наших статистических кривых. Результаты сведем в таблицу.

 

	Астеники		Нормостеники		Гиперстеники
	Нижняя	Верхняя	Нижняя	Верхняя	Нижняя	Верхняя
Мужчины	349	373	365	401	387	436
Женщины	313	336	328	365	351	397

 

Считается, что средний индекс Кетле равен 350–450. Видно, что это значение перекрывает весь диапазон изменения индекса для мужчин, от нижней границы астеников до верхней границы гиперстеников. Исхуданием считается значение индекса Кетле меньше 300, а ожирением – больше 550. В соответствии с расчетными значениями индекса Кетле (из таблицы) построим кривые веса в зависимости от роста и сравним их со статистическими кривыми (рисунки 12, 13). Видно, что результаты далеко не идеальны. И действительно, индекс Кетле получается из формулы канонической зависимости при условии . А у нас значение b в формулах линейной зависимости всегда получалось существенно отрицательным. Индексом Кетле уже давно не пользуются, его заменил индекс массы тела ИМТ, но в некоторых изданиях индекс Кетле еще встречается как руководство к действию. Из рисунков видно, что по индексу Кетле можно судить о верности веса идеальному лишь для мужчин ростом 174 см и женщин роста 169 см.

Рисунок 12. Зависимость идеального веса от роста на основании индекса Кетле для мужчин

Рисунок 13. Зависимость  веса от роста на основании индекса  Кетле для женщин

 

Теперь положим  , т.е. будем искать приближение в виде . В данном варианте a принято называть индексом массы тела (ИМТ), рост измерять в метрах, а вес – в килограммах. Найденные по методу наименьших квадратов значения приведены в таблице.

 

	Астеники		Нормостеники		Гиперстеники
	Нижняя	Верхняя	Нижняя	Верхняя	Нижняя	Верхняя
Мужчины	20,1	21,5	21,1	23,1	22,4	25,2
Женщины	18,6	20,0	19,5	21,7	20,9	23,6

 

Индекс ИМТ рекомендован к применению Всемирной организацией здравоохранения, и широко применяется. Из таблицы видно, что для мужчин-астеников значения ИМТ колеблются в пределах 20,1–21,5, для нормостеников в пределах 21,1–23,1, и для гиперстеников – 22,4–25,2. Для женщин соответственно 18,6–20,0; 19,5–21,7 и 20,9–23,6. Таким образом, установить, имеется ли у человека избыточный или недостаточный вес, можно лишь с учетом его телосложения. Распространенные на интернетовских сайтах считалки типа "Введите Ваш рост и вес и мы посчитаем ИМТ" с последующими суждениями о весе не имеют под собой прочной основы. На основе средних для мужчин и для женщин можно сконструировать формулу определения идеального веса для мужчин и для женщин. На рисунках 14 и 15 нанесены подобные зависимости. Видно, что пригодны они лишь для нормостеников.

Рисунок 14. Зависимость идеального веса мужчин от роста на основании ИМТ

Рисунок 15. Зависимость идеального веса женщин от роста на основании ИМТ

 

Во всех вышеприведенных  формулах вес зависел лишь от одного параметра – роста, но мы имели возможность, заметив изменение коэффициентов в зависимости от типа телосложения, пользоваться тремя одинаковыми формулами, но с различными коэффициентами. Но это путь тоже тупиковый. Границы между типами телосложений размыты, границы перехлестываются, и самым разумным будет ввести в формулы некий "коэффициент телосложения", плавно отмечающий переходы астенического телосложения в нормостеническое и далее в гиперстеническое. Одним из признаков принадлежности к типу телосложения является окружность грудной клетки. Существуют и таблицы рекомендуемой массы тела с колонками "Грудная клетка: узкая, нормальная, широкая", что соответствует 3 типам телосложения. Существует возможность косвенного определения типа телосложения по окружности грудной клетки и подстановки окружности грудной клетки в формулу идеального веса. Перепишем вышеприведенную формулу для мужчин , измеряя рост в сантиметрах. Получаем . Нормальное значение показателя Эрисмана, равного разности между окружностью груди (ОГ) и половиной роста, составляет для мужчин 5,8 см, тем самым . При среднем росте (170–175 см) можно написать , откуда следует . Во взятой за основу формуле разобьем сомножитель на произведение двух сомножителей: и , откуда вытекает формула . На рисунке 16 нанесен график этой зависимости при (равном 5,8 см показателе Эрисмана). Совпадение прекрасное (для нормостеников). Для мужчин с другим типом телосложения можно добиться хорошего приближения, считая показатель Эрисмана равным 0 для астеников и 13 для гиперстеников. Формула известна, носит название формулы Бонгарда и рекомендовалась для вычисления идеального веса как мужчин, так и женщин.

Рисунок 16. Идеальный вес по формуле Бонгарда для мужчин

 

Для женщин-нормостеников, исходя из формулы идеального веса и показателя Эрисмана для женщин, равного 3,3 см, в формулу Бонгарда необходимо подставить другой знаменатель: . На рисунке 17 нанесен график этой зависимости при показателе Эрисмана, равном 3,3. Для женщин с другим типом телосложения можно добиться хорошего приближения, считая показатель Эрисмана равным (–2) для астеников и 10 для гиперстеников.

Рисунок 17. Идеальный  вес по формуле Бонгарда для женщин

 

Формула Бонгарда превосходно  подходит для расчета идеального веса, поскольку учитывает не только рост, но и телосложение. Ее можно рассматривать как формулу, основанную на переменном ИМТ. С целью лучшего приближения идеального веса для женщин целесообразно заменять значение знаменателя 240 (из канонической формулы Бонгарда в широко распространившемся ее варианте) на 250.

Формула Бонгарда позволяет  разобраться, что же представляет собой  т.н. индекс Пинье , равный росту минус сумма фактического веса и окружности грудной клетки. В разных руководствах индекс Пинье назывался то показателем крепости телосложения (крепкое телосложение: 10–15; хорошее 16–20; среднее 21–25; слабое 26–30; очень слабое: 31 и более), то индикатором типа телосложения (конституции) (гипостеники: индекс Пинье больше 30; нормостеники: от 10 до 30, гиперстеники: меньше 10). Фактический вес можно представить как (идеальный вес + D), где D – избыток веса (в случае недостаточного веса D будет иметь отрицательный знак).

Перепишем выражение  для индекса Пинье, подставляя вместо идеального веса вычисленное по формуле Бонгарда значение, а окружность грудной клетки выражая через рост и показатель Эрисмана: . На рисунке 18 приведены вычисленные для ряда значений роста значения индекса Пинье  в зависимости от показателя Эрисмана при (т.е. при условии соответствия фактического веса идеальному).

Рисунок 18. Зависимость индекса Пинье от показателя Эрисмана

 

Видно, что индекс Пинье незначительно  зависит от роста и определяется в основном показателем Эрисмана. Эту зависимость можно аппроксимировать формулой . Никакой необходимости, в таком разе, в индексе Пинье нет. Он является масштабированным показателем Эрисмана (умноженным на 1,7), взятым с обратным знаком (что только сбивает с толку, поскольку индекс Пинье и показатель Эрисмана, измеряя практически одно и то же свойство, начинают действовать в противоположных направлениях), и смещенным на 26, что, впрочем, исключает отрицательные его значения.

При неравенстве D нулю (вес неидеален) складывается совершенно абсурдная ситуация – излишний вес становится индикатором либо якобы крепкого телосложения, либо способен сделать из астеника гиперстеника. Но окружность талии, определяющая в основном избыток веса, никогда не являлась индикатором телосложения – для этого есть окружность грудной клетки или окружность запястья. Впрочем, этот недостаток индекса Пинье был всегда известен и отмечалось, что индекс Пинье имеет смысл только при отсутствии признаков ожирения. А поскольку согласно индексу Пинье исхудавшего нормостеника можно признать астеником, какого-либо практического значения этот индекс не имеет.